Fiche de révision : Analyse des contraintes en mécanique des matériaux

📋 Plan du Cours

1. Contraintes 2D dans une surface fine
2. Contraintes sur une facette inclinée
3. Directions principales et cercle de Mohr
4. Critères de résistance des matériaux
5. Déformations 2D et loi de Hooke
6. Enveloppes minces cylindriques et sphériques
7. Poutre en extension-compression
8. Poutre en cisaillement pur
9. Poutre : cas général

📖 1. Contraintes 2D dans une surface fine

🔑 Notions clés & Définitions

• Surface fine : Surface fine : élément dont l’épaisseur est négligeable, ce qui permet de modéliser l’état de contraintes dans le plan.
• Contraintes normales : Contraintes normales : composantes de contrainte perpendiculaires aux facettes, notées  sur les schémas.
• Contraintes tangentielles : Contraintes tangentielles : composantes de contrainte tangentes aux facettes, notées  sur les schémas.
• Théorème de Cauchy : Théorème de Cauchy : réciprocité des contraintes tangentielles sur deux facettes opposées conduisant à une égalité entre  correspondantes.

📝 Points essentiels

• Dans un élément de surface fine, les efforts appliqués sont dans le plan $O,\vec x,\vec y$.
• L’équilibre impose que les contraintes normales sur deux facettes opposées ont même norme et sens opposé.
• La réciprocité (théorème de Cauchy) donne $\tau_{xy}=\tau_{yx}$ (contrainte tangente sur une facette opposée égale à la tangente correspondante).

📖 2. Contraintes sur une facette inclinée

🔑 Notions clés & Définitions

• Facette de direction quelconque : Facette de direction quelconque : facette orientée d’un angle $\theta$ par rapport à une direction repère, où l’on cherche $\sigma_n$ et $\tau_{nt}$.
• Angle $\theta$ : Angle $\theta$ : angle entre la direction repère (ou une direction principale) et la normale (ou la direction) de la facette considérée.
• Formules de changement de base : Changement de base contraintes : expressions reliant $\sigma$ et $\tau$ d’une facette inclinée aux contraintes de deux directions perpendiculaires.

📝 Points essentiels

• L’équilibre projeté sur la normale $\vec n$ conduit à $\sigma_n=\sigma_1\cos^2\theta+\sigma_2\sin^2\theta+2\tau\sin\theta\cos\theta$.
• La même méthode sur la tangente $\vec t$ donne $\tau_{nt}=-(\sigma_1-\sigma_2)\sin\theta\cos\theta+\tau(\sin^2\theta-\cos^2\theta)$.
• En réécrivant avec $\cos2\theta$ et $\sin2\theta$, on obtient les formes $\sigma_n=\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2}+\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}\cos2\theta+\tau\sin2\theta$ et $\tau_{nt}= -\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}\sin2\theta+\tau\cos2\theta$, ce qui permet d’étudier les extremums.
• Les extrémums de $\sigma_n(\theta)$ se produisent quand $\tau_{nt}(\theta)=0$.

📖 3. Directions principales et cercle de Mohr

🔑 Notions clés & Définitions

• Directions principales : Directions principales : deux directions perpendiculaires où la contrainte tangentielle sur la facette est nulle.
• Contraintes principales : Contraintes principales : valeurs extrêmes des contraintes normales, notées $\sigma^*$ et $\sigma^{**}$.
• Cercle de Mohr : Cercle de Mohr : représentation géométrique des variations de $(\sigma_n,\tau_{nt})$ en fonction de l’orientation de la facette dans un état 2D.

📝 Points essentiels

• Les directions principales $\vec I$ et $\vec{II}$ sont perpendiculaires, et $\tau^*=\tau^{**}=0$ dans ces directions.
• L’écart angulaire entre deux extrémums de $\sigma_n$ vaut $90^\circ$.
• Les contraintes principales sont prises aux extrémums : $\sigma^*=\sigma_{n}(\theta)_{\tau=0}$ et $\sigma^{**}=\sigma_{n}(\theta)_{\tau=0}$ avec l’une maximale et l’autre minimale.
• Dans le plan $(\sigma,\tau)$, la contrainte $(\sigma_n,\tau_{nt})$ se lit sur le cercle de Mohr : le centre vaut $\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2}$ et le rayon vaut $\sqrt{\left(\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}\right)^2+\tau^2}$ (avec  la tangente associée).

💡 Astuce mémo

Extremum de $\sigma$ ⇔ $\tau=0$ : sur le cercle, le plus haut/plus bas correspond au zéro tangentiel.

📖 4. Critères de résistance des matériaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Critère de résistance : Critère de résistance : méthode qui prédit l’apparition de la défaillance à partir de l’état de contraintes au point étudié.
• Matériaux ductiles : Matériaux ductiles : matériaux pour lesquels la contrainte admissible est atteinte via un critère lié à la plastification (élasto-plastique) selon le cours.
• Matériaux fragiles : Matériaux fragiles : matériaux pour lesquels la contrainte admissible est associée au dépassement d’une limite de contrainte.
• Contraintes admissibles $\sigma_{(}$ : Contraintes admissibles : valeur limite notée $\sigma_{(}$ utilisée dans les inégalités des critères.

📝 Points essentiels

• Le critère de résistance compare un indicateur calculé à une valeur admissible $\sigma_{(}$, éventuellement avec un coefficient de sécurité.
• Critère de Rankine : \max(\sigma^*,\sigma^{**})\le \sigma_{(}$ (dépassement de la plus grande contrainte principale en valeur absolue selon l’énoncé du cas limite).
• Critère de Tresca : \tau_{max}=\max\left(\frac{\sigma^*-\sigma^{**}}{2},\frac{\sigma^*}{2},\frac{-\sigma^{**}}{2}\right)\le \tau_{(}$.
• Critère de Von Mises : l’énergie de distorsion liée à $\sigma^*,\sigma^{**}$ doit vérifier une inégalité d’admissibilité, conduisant à une condition équivalente sur $\sigma^*,\sigma^{**}$ (expression dans le cours).

📖 5. Déformations 2D et loi de Hooke

🔑 Notions clés & Définitions

• Déformations principales : Déformations principales : composantes de déformation associées aux directions principales, notées $\varepsilon^*$ et $\varepsilon^{**}$ (et $\varepsilon^{***}$ hors plan).
• Loi de Hooke généralisée en 2D : Loi de Hooke généralisée en 2D : relation entre $\sigma^*,\sigma^{**}$ et $\varepsilon^*,\varepsilon^{**}$ avec $E$ et $\nu$.
• Constantes $E$ et $\nu$ : Module d’Young $E$ et coefficient de Poisson $\nu$ : paramètres élastiques reliant contraintes et déformations.

📝 Points essentiels

• En 2D, bien que la contrainte hors plan soit nulle, $\varepsilon^{***}$ n’est pas forcément nulle (effet de Poisson).
• Les déformations principales vérifient $\varepsilon^* = \frac{\sigma^*}{E}-\frac{\nu}{E}\sigma^{**}$ et $\varepsilon^{**}=\frac{-\nu}{E}\sigma^*+\frac{\sigma^{**}}{E}$ (formes du cours).
• L’inversion donne la loi de Hooke en 2D : $\sigma^*=\frac{E}{1-\nu^2}\varepsilon^*+\frac{E\nu}{1-\nu^2}\varepsilon^{**}$ et $\sigma^{**}=\frac{E}{1-\nu^2}\varepsilon^{**}+\frac{E\nu}{1-\nu^2}\varepsilon^*$.
• Les relations donnent aussi les expressions $\varepsilon_\#=\frac{\varepsilon^*+\varepsilon^{**}}{2}+\frac{\varepsilon^*-\varepsilon^{**}}{2}\cos2\theta$ et $\gamma_\#/\%$ via les termes en $\sin2\theta$ (selon le cours).

📖 6. Enveloppes minces cylindriques et sphériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Enveloppe mince : Enveloppe mince : structure dont l’épaisseur est faible devant les autres dimensions, avec $e<5\%$ du diamètre.
• Pression effective $p$ : Pression effective : différence entre pression interne et pression externe, $p=p_{int}-p_{ext}$.
• Section résistante : Section résistante : surface utilisée pour exprimer la contrainte dans le matériau, notée $S_6$ dans le cours.
• Enveloppe mince cylindrique : Enveloppe mince cylindrique : enveloppe de révolution où apparaissent une contrainte longitudinale et une contrainte transversale.
• Enveloppe mince sphérique : Enveloppe mince sphérique : enveloppe où les contraintes sont symétriques (deux contraintes principales identiques).

📝 Points essentiels

• Condition d’emploi : l’enveloppe doit travailler avec une pression interne $p_{int}$ et une pression externe $p_{ext}$ (souvent $\approx0{,}1\,\text{MPa}$) via $p=p_{int}-p_{ext}$.
• Cylindre : contrainte longitudinale $\sigma_8=\frac{p\,d}{4e}$ obtenue avec $\sigma_8\,\frac{dS_6}{dS_8}=p\,\frac{d}{4e}$ (expression du cours).
• Cylindre : contrainte transversale $\sigma_9=\frac{p\,d}{2e}$.
• Sphère : par symétrie $\sigma_8=\sigma_9$ et la contrainte prend la forme $\sigma=\frac{p\,d}{4e}$ (conditions de résistance données).

📖 7. Poutre en extension-compression

🔑 Notions clés & Définitions

• Poutre en extension-compression : Poutre en extension-compression : cas où la contrainte tangentielle sur la section droite est nulle et une direction principale coïncide avec la direction de la poutre.
• Directions principales dans une poutre : Directions principales : $\vec x$ et $\vec y$ deviennent directions principales car les tangentielles de la section droite sont nulles.
• Cercle de Mohr de la poutre : Cercle de Mohr dans une poutre : construction obtenue avec $\sigma^*$ et $\sigma^{**}$ valables pour l’orientation des facettes dans la section.

📝 Points essentiels

• Dans une poutre en extension-compression, les contraintes tangentielles dans la section droite sont nulles, donc $\vec x$ et $\vec y$ sont directions principales.
• En extension : $\sigma^*=\sigma_!$ et $\sigma^{**}=0$, tandis qu’en compression : $\sigma^*=0$ et $\sigma^{**}=\sigma_!$ (selon le signe du cours).
• Pour une facette inclinée d’angle $\theta$, le cours donne $\sigma_\#=\frac{\sigma^*+\sigma^{**}}{2}+\frac{\sigma^*-\sigma^{**}}{2}\cos2\theta$ et $\tau_\#= -\frac{\sigma^*+\sigma^{**}}{2}\sin2\theta$ avec les formes propres à l’extension ou la compression.
• Les critères de Rankine, Tresca et Von Mises sont indiqués comme équivalents dans ce cas : condition $\sigma_!<\sigma_{(}$ via $\max(\sigma^*,\sigma^{**})$ ou l’écriture en termes des écarts de contraintes principales.

💡 Astuce mémo

Extension/compression : tangentielles sur la section droite nulles ⇒ cercle de Mohr “simplifié” sur $(\sigma^*,0)$.

📖 8. Poutre en cisaillement pur

🔑 Notions clés & Définitions

• Cisaillement pur : Cisaillement pur : état où les contraintes normales sont nulles et seul le cisaillement agit dans la section.
• Directions principales à 45° : Directions principales à $45^\circ$ : dans ce cas, les directions principales sont orientées à $45^\circ$ par rapport à la ligne moyenne $\vec x$.
• Lien cisaillement–déformation : Lien cisaillement-déformation : le cisaillement impose une relation entre $\gamma$ et $\varepsilon^*,\varepsilon^{**}$ via $\sin2\theta$.

📝 Points essentiels

• Dans une poutre cisaillée, les contraintes normales dans la section droite sont nulles et l’affirmation du cours donne $\sigma^{\text{hors plan}}=0$.
• Les directions principales sont à $45^\circ$ et le cours donne $\sigma^*=\tau_{!\!}$ et $\sigma^{**}=-\tau_{!\!}$.
• Le cercle de Mohr dans ce cas place le point sur le plan $(\sigma,\tau)$ avec $\sigma_*=\pm\tau_{!\!}$ selon le signe et une orientation associée à $2\theta=90^\circ$.
• Les critères sont donnés pour ce cas avec l’inégalité sur $\tau_{!\!}$, et le cours conclut que l’écriture Von Mises “ne semble pas vraisemblable” pour les matériaux ductiles.

📖 9. Poutre : cas général

🔑 Notions clés & Définitions

• Cas général de poutre 2D : Cas général : état de contraintes dans la section où les contraintes normales peuvent être différentes et où les facettes inclinées doivent être traitées par le cercle de Mohr.
• Grand cercle de Mohr : Grand cercle de Mohr : construction obtenue dans le plan des contraintes pour représenter l’ensemble des variations liées aux contraintes principales.
• Intersections sur l’axe des ordonnées : Intersections sur l’axe des ordonnées : propriété géométrique du cercle dans l’extension-compression, utile pour lire les contraintes.

📝 Points essentiels

• Dans une poutre, la fine épaisseur permet d’affirmer $\sigma^{\text{hors plan}}=0$, ce qui ramène l’analyse à un problème 2D sur $(\sigma,\tau)$.
• Le cercle de Mohr dans le plan des contraintes intersecte l’axe des ordonnées ou est tangent à l’axe des ordonnées dans le cas extension-compression, comme indiqué dans le cours.
• Le grand cercle de Mohr est toujours obtenu en se plaçant dans le plan des contraintes, même quand le cas n’est pas extension-compression.
• Les critères de résistance en cas général s’écrivent avec $\sigma^*$ et $\sigma^{**}$ : Rankine $\max(\sigma^*,\sigma^{**})\le\sigma_{(}$, Tresca $\max(\sigma^*-\sigma^{**},\sigma^*,\-\sigma^{**})\le\sigma_{(}$, Von Mises $\sigma^*{}^4+\sigma^{**}{}^4-\sigma^*\sigma^{**}<\sigma_{(}$ (formes données dans le cours).

💡 Astuce mémo

Cas général : viser les directions principales puis appliquer Rankine/Tresca/Von Mises sur $\sigma^*,\sigma^{**}$.

📊 Tableaux de synthèse

Critères de résistance dans le cas des contraintes principales (2D)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la direction qui donne un extremum de $\sigma_n$ : c’est quand $\tau_{nt}=0$, pas quand $\sigma_n$ est maximal sans condition.
2. Mélanger les notations de cisaillement : $\tau$ du cercle de Mohr est la composante tangente sur la facette, pas forcément le cisaillement dans les axes initiaux.
3. Croire que dans une analyse 2D la déformation hors plan est nulle : le cours précise que $\varepsilon^{***}$ peut être non nul même si la contrainte hors plan vaut 0.
4. Utiliser Von Mises comme équivalent systématique de Tresca : le cours indique qu’ils ne sont pas équivalents et que Tresca est plus conservatif en enveloppe mince cylindrique.
5. Prendre le cas sphérique comme un cas cylindrique : pour la sphère, les contraintes sont symétriques ($\sigma_8=\sigma_9$), ce qui change les conditions de résistance.
6. Appliquer à tort le critère de Rankine dans les matériaux ductiles sans réserve : le cours conclut qu’il est inadapté pour ce contexte expérimental.

✅ Checklist Examen

1. Savoir énoncer les conditions d’équilibre d’un élément de surface fine : même norme/sens opposé pour $\sigma$ sur facettes opposées et réciprocité $\tau_{xy}=\tau_{yx}$.
2. Savoir écrire les relations de changement de direction pour une facette inclinée : $\sigma_n(\theta)$ et $\tau_{nt}(\theta)$ sous formes en $\cos2\theta$ et $\sin2\theta$.
3. Savoir caractériser les directions principales : deux directions perpendiculaires où $\tau=0$ et où $\sigma$ atteint max et min.
4. Savoir exploiter le cercle de Mohr : centre et rayon (selon les contraintes principales) et lecture de $(\sigma_n,\tau_{nt})$ pour une orientation donnée.
5. Savoir formuler les critères de Rankine, Tresca et Von Mises à partir de $\sigma^*$ et $\sigma^{**}$ (conditions limites telles que données).
6. Savoir utiliser la loi de Hooke généralisée en 2D pour relier $(\sigma^*,\sigma^{**})$ à $(\varepsilon^*,\varepsilon^{**})$ avec $E$ et $\nu$.
7. Savoir calculer les déformations dans une direction quelconque à partir de $\varepsilon^*$ et $\varepsilon^{**}$ via les expressions en $\cos2\theta$ et $\sin2\theta$.
8. Pour une enveloppe mince cylindrique : savoir distinguer contrainte longitudinale et transversale et appliquer les critères menant à la condition sur $e$.
9. Pour une enveloppe mince sphérique : savoir utiliser la symétrie ($\sigma_8=\sigma_9$) pour écrire la condition de résistance.
10. Pour une poutre en extension-compression : savoir que les tangentielles sur la section droite sont nulles, identifier $\sigma^{**}=0$ ou $\sigma^*=0$ selon extension ou compression, puis appliquer les critères (donnés équivalents).
11. Pour une poutre en cisaillement pur : savoir que les contraintes normales de section sont nulles, que les directions principales sont à $45^\circ$, et que $\sigma^*=\tau$ et $\sigma^{**}=-\tau$.
12. Pour le cas général : savoir affirmer $\sigma$ hors plan nulle grâce à l’hypothèse d’épaisseur fine et choisir le bon critère sur $\sigma^*,\sigma^{**}$.