Fiche de révision : Analyse des discriminants en polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme développée des polynômes
2. Forme canonique et variations
3. Discriminant et factorisation
4. Cas du discriminant négatif
5. Cas du discriminant nul
6. Cas du discriminant positif

📖 1. Forme développée des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré est une fonction qui s’écrit f(x)=ax²+bx+c avec a≠0 pour tout réel x.
• Forme développée : La forme ax²+bx+c est appelée forme développée de la fonction polynôme du second degré.
• Valeur au point 0 : La valeur c dans ax²+bx+c est égale à la valeur de la fonction en 0, donc c=f(0).

📝 Points essentiels

• Dans f(x)=ax²+bx+c, on a toujours a≠0, sinon ce n’est pas du second degré.
• On peut retrouver c en calculant f(0) car tous les termes en x s’annulent pour x=0.
• Si a>0, la courbe est une parabole ouverte vers le haut, et si a<0 elle est ouverte vers le bas.

💡 Astuce mémo

a>0 : “haut”, a<0 : “bas”.

📖 2. Forme canonique et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme du second degré est f(x)=a(x-α)²+β avec des réels α et β.
• Sommet : Le sommet correspond au minimum quand a>0, et au maximum quand a<0, et il est atteint pour x=α.
• Variations selon le signe de a : Les sens de variation du polynôme se déterminent en fonction du signe de a et de la position de x par rapport à α.

📝 Points essentiels

• Il existe des réels α et β tels que f(x)=a(x-α)²+β pour tout x réel.
• Si a>0, f est strictement décroissante sur ]-∞;α] puis strictement croissante sur [α;+∞[.
• Si a<0, f est strictement croissante sur ]-∞;α] puis strictement décroissante sur [α;+∞[.
• Le minimum sur ℝ vaut β et il est atteint en x=α quand a>0.
• Le maximum sur ℝ vaut β et il est atteint en x=α quand a<0.

💡 Astuce mémo

a>0 : V (minimum en α) ; a<0 : ∧ (maximum en α).

📖 3. Discriminant et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant Δ d’une équation ax²+bx+c=0 est Δ=b²-4ac.
• Factorisation réelle : Une factorisation réelle consiste à écrire f(x)=a(x-x1)(x-x2) quand l’équation ax²+bx+c=0 a des racines réelles distinctes.
• Signe de f via a et les racines : Le signe de f(x) se détermine à partir du signe de a et de la position de x par rapport aux racines.

📝 Points essentiels

• Δ=b²-4ac est la grandeur qui décide le nombre de solutions réelles de ax²+bx+c=0.
• Si Δ>0, on peut écrire f(x)=a(x-x1)(x-x2) avec deux racines réelles x1 et x2.
• Pour Δ>0, f(x) a le signe de a pour x extérieur aux racines, et le signe de -a pour x entre les racines.

💡 Astuce mémo

Δ décide : <0 zéro racines, =0 une, >0 deux (et factorisation).

📖 4. Cas du discriminant négatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Δ<0 : On est dans le cas Δ<0 quand b²-4ac est strictement négatif pour l’équation ax²+bx+c=0.
• Absence de solutions réelles : Quand Δ<0, l’équation ax²+bx+c=0 n’a aucune solution dans ℝ.
• Signe constant : Dans le cas Δ<0, l’expression f(x) garde un signe identique sur ℝ et ce signe est celui de a.

📝 Points essentiels

• Si Δ<0, l’équation ax²+bx+c=0 n’a pas de solutions dans ℝ.
• Si Δ<0, f(x) ne peut pas être factorisée dans ℝ.
• Si Δ<0, pour tout réel x, f(x) est du signe de a.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : pas de coupure, donc f ne change pas de signe (signe = a).

📖 5. Cas du discriminant nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Δ=0 : On est dans le cas Δ=0 quand b²-4ac vaut exactement 0 pour l’équation ax²+bx+c=0.
• Racine double : Quand Δ=0, l’équation admet une unique solution réelle x0, appelée racine double.
• Forme carrée : Dans le cas Δ=0, on a f(x)=a(x-x0)² pour tout réel x.

📝 Points essentiels

• Si Δ=0, l’équation ax²+bx+c=0 admet une unique solution réelle x0 donnée par x0=-b/(2a).
• Si Δ=0 et x≠x0, alors f(x) est du signe de a.
• Quand Δ=0, on a b=-2ax0 et c=a×x0².

💡 Astuce mémo

Δ=0 : carré parfait f=a(x-x0)² (une seule racine).

📖 6. Cas du discriminant positif

🔑 Notions clés & Définitions

• Δ>0 : On est dans le cas Δ>0 quand b²-4ac est strictement positif pour l’équation ax²+bx+c=0.
• Deux racines réelles : Quand Δ>0, l’équation ax²+bx+c=0 admet deux solutions réelles distinctes x1 et x2.
• Factorisation avec deux facteurs : Quand Δ>0, la fonction s’écrit f(x)=a(x-x1)(x-x2) pour tout réel x.

📝 Points essentiels

• Si Δ>0, les solutions réelles sont x1=(-b-√Δ)/(2a) et x2=(-b+√Δ)/(2a).
• Si Δ>0, f(x)=a(x-x1)(x-x2) pour tout x réel.
• Pour Δ>0, f(x) a le signe de a à l’extérieur des racines.
• Pour Δ>0, f(x) a le signe de -a entre les racines.
• Quand Δ>0, on a b=-a(x1+x2) et c=a×x1×x2.

💡 Astuce mémo

Deux racines : ±√Δ ; à l’extérieur signe=a, entre signe=-a.

📊 Tableaux de synthèse

Nombre de solutions et factorisation selon Δ

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la forme développée ax²+bx+c avec la forme canonique a(x-α)²+β, qui n’a pas le même rôle pour les variations.
2. Oublier la condition a≠0 : sinon on n’est pas dans un polynôme du second degré.
3. Se tromper de signe en utilisant x0=-b/(2a) lorsque Δ=0.
4. Inverser les sens de variations pour a>0 et a<0 autour de α.
5. Mélanger le critère de signe en Δ>0 : entre les racines, le signe n’est pas celui de a mais celui de -a.
6. Calculer Δ avec une erreur sur 4ac (parfois 4ab ou 2a).

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître qu’une fonction est du second degré et écrire f(x)=ax²+bx+c avec a≠0.
2. Donner c=f(0) à partir de la forme développée ax²+bx+c.
3. Convertir une écriture en forme canonique f(x)=a(x-α)²+β et identifier α et β.
4. Énoncer les variations : décroissance puis croissance pour a>0, et croissance puis décroissance pour a<0.
5. Relier le maximum ou minimum à β et au point x=α selon le signe de a.
6. Calculer le discriminant Δ=b²-4ac pour une équation ax²+bx+c=0.
7. Conclure correctement pour Δ<0 : aucune solution réelle, factorisation impossible dans ℝ, signe constant de f(x) égal à celui de a.
8. Conclure correctement pour Δ=0 : unique solution x0=-b/(2a) et f(x)=a(x-x0)², ainsi que le signe de f(x) pour x≠x0.
9. Conclure correctement pour Δ>0 : deux solutions x1 et x2 avec ±√Δ et la factorisation f(x)=a(x-x1)(x-x2).
10. Donner le signe de f(x) pour Δ>0 selon x extérieur ou entre les racines, en utilisant a et -a.
11. Utiliser les relations coefficients-racines : b=-2ax0 et c=ax0² quand Δ=0, et b=-a(x1+x2) et c=a×x1×x2 quand Δ>0.