f(x)=ax²+bx+c avec a≠0
Explication
La forme développée d’un polynôme du second degré s’écrit bien f(x)=ax²+bx+c avec a différent de 0. La dernière proposition correspond à une fonction du premier degré, pas du second degré.
La valeur de f en 0
Explication
On obtient c en évaluant la fonction en 0, car les termes en x disparaissent. Ce n’est pas le sommet ni la somme des racines.
Le minimum de la fonction
Explication
Quand a>0, la parabole est tournée vers le haut et β est la valeur minimale atteinte en x=α. Le maximum n’est pas atteint dans ce cas.
Croissante puis décroissante
Explication
Pour a<0, la fonction est croissante jusqu’à α puis décroissante après α. Le sens inverse correspond au cas a>0.
Δ=b²-4ac
Explication
Le discriminant est défini par Δ=b²-4ac. C’est lui qui permet de déterminer le nombre de solutions réelles.
f(x)=a(x-x1)(x-x2) avec deux racines réelles distinctes
Explication
Quand Δ>0, l’équation a deux racines réelles distinctes et la fonction se factorise sous la forme a(x-x1)(x-x2). La forme au carré correspond plutôt au cas Δ=0.
L’équation n’a aucune solution réelle
Explication
Si Δ<0, l’équation n’admet aucune solution dans ℝ. Dans ce cas, la fonction ne peut pas être factorisée sur ℝ.
Le signe de a
Explication
Lorsque Δ<0, f(x) garde un signe constant sur ℝ, et ce signe est celui de a. Elle ne change donc pas de signe.
f(x)=a(x-x0)²
Explication
Quand Δ=0, il existe une racine double x0 et la fonction s’écrit f(x)=a(x-x0)². Cette écriture traduit un carré parfait.
x0=-b/(2a)
Explication
Dans le cas Δ=0, l’unique solution réelle est x0=-b/(2a). La formule avec √Δ concerne le cas Δ>0.
Deux solutions réelles distinctes
Explication
Quand Δ>0, l’équation ax²+bx+c=0 admet deux racines réelles distinctes, notées x1 et x2. La solution double correspond au cas Δ=0, pas au cas positif.
f(x)=a(x-x1)(x-x2)
Explication
Si Δ>0, la fonction se factorise en f(x)=a(x-x1)(x-x2) avec deux racines réelles distinctes. La forme a(x-x0)² correspond au cas Δ=0.
Mémorisez les réponses avec 12 flashcards sur Analyse des discriminants en polynômes du second degré.
Forme développée — définition ?
ax²+bx+c, avec a≠0.
Forme canonique — rôle ?
Exprimer le sommet et les variations.
Discriminant — rôle ?
Détermine le nombre de racines.
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