Fiche de révision : Analyse des Limites en Mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Limites en +∞ et -∞
2. Limite finie en +∞
3. Limite en un réel a
4. Limite infinie en un réel a
5. Opérations sur les limites
6. Limites et comparaison
7. Limites et composition

📖 1. Limites en +∞ et -∞

🔑 Notions clés & Définitions

Limite infinie en +∞ :
Une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A \geq 0$, tout intervalle ouvert de la forme $]A; +\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand. On note $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Limite infinie en -∞ :
Une fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $-\infty$ si, pour tout réel $A \geq 0$, tout intervalle ouvert de la forme $]-\infty; -A[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand en valeur absolue. On note $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

📝 Points essentiels

La limite en $+\infty$ de la fonction $f(x) = x^2$ est $+\infty$ car, pour tout réel $A$, il existe un $x$ suffisamment grand tel que $f(x) = x^2 > A$. En effet, dès que $x$ est grand, $x^2$ dépasse tout réel $A$, ce qui montre que la fonction croît sans borne en $+\infty$.

La fonction exponentielle $e^x$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Cela est démontré par sa croissance : pour tout $A > 0$, il existe un $x$ tel que $e^x > A$. Par exemple, pour $A = 27$, on peut choisir $x$ suffisamment grand pour que $e^x > A$. Dès que $x$ augmente, $e^x$ continue de croître sans limite, ce qui traduit la limite infinie en $+\infty$.

💡 À retenir

Une fonction peut croître indéfiniment en $+\infty$ ou en $-\infty$, ce qui se traduit par la définition rigoureuse des limites infinies : pour tout réel $A$, on peut trouver un $x$ suffisamment grand (positif ou négatif) pour que la valeur de la fonction dépasse $A$ ou soit inférieure à $-A$. La croissance sans borne de la fonction en ces points est ainsi caractérisée par ces limites infinies.

📖 2. Limite finie en +∞

🔑 Notions clés & Définitions

Limite finie en +∞ :
Une fonction $f$ admet une limite finie en +∞ si, lorsque $x$ tend vers +∞, la valeur de $f(x)$ se rapproche d’un nombre réel $L$. Forme :
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$
où $L$ est un réel.

Limite finie en -∞ :
De même, si lorsque $x$ tend vers -∞, $f(x)$ se rapproche d’un réel $L$, on dit que la limite finie en -∞ est $L$. Forme :
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$

Asymptote horizontale :
Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$, alors la courbe de $f$ admet une asymptote horizontale d’équation $y = L$. La courbe se rapproche de cette droite à l’infini.

Fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ :
Une fonction dont le domaine est l’ensemble des réels positifs, c’est-à-dire $\mathbb{R}^+ = [0, +\infty[$.

Intervalle ouvert contenant $L$ :
Un intervalle de la forme $(L - \varepsilon, L + \varepsilon)$ avec $\varepsilon > 0$, qui contient la valeur limite $L$.

📝 Points essentiels

Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$, alors la courbe de $f$ se rapproche de la droite d’équation $y = L$ lorsque $x$ devient très grand. On dit que cette droite est une asymptote horizontale de la courbe.

Les fonctions telles que $1/x$, $1/\sqrt{x}$, $1/x^2$ tendent toutes vers 0 lorsque $x$ tend vers +∞, illustrant des limites finies nulles à l’infini. Par exemple :
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0$

💡 À retenir

Une fonction dont la limite en +∞ est un nombre réel $L$ possède une asymptote horizontale d’équation $y = L$, ce qui indique que la courbe se stabilise vers cette droite à l’infini. Les exemples classiques de fonctions tendant vers 0 illustrent cette propriété.

📖 3. Limite en un réel a

🔑 Notions clés & Définitions

Limite à droite en a : La limite à droite de la fonction f en a, notée limₓ→a⁺ f(x), correspond à la valeur que f(x) approche lorsque x tend vers a en restant supérieur à a. Elle décrit le comportement de f pour x proche de a, mais uniquement par des valeurs plus grandes que a.

Limite à gauche en a : La limite à gauche de la fonction f en a, notée limₓ→a⁻ f(x), correspond à la valeur que f(x) approche lorsque x tend vers a en restant inférieur à a. Elle décrit le comportement de f pour x proche de a, mais uniquement par des valeurs plus petites que a.

Limite finie en un point : La limite finie en un réel a, notée limₓ→a f(x) = L, signifie que pour x suffisamment proche de a, f(x) se rapproche d'une valeur réelle L. Autrement dit, f(x) peut être rendue aussi proche que souhaité de L en choisissant x suffisamment proche de a.

Fonction définie sur un intervalle autour de a : La fonction f est dite définie sur un intervalle autour de a si elle est définie pour tous les x dans un voisinage de a, c’est-à-dire dans un intervalle contenant a, comme ]a - ε, a + ε[ pour un certain ε > 0.

Valeurs de f(x) proches de a : Les valeurs de f(x) sont proches de a lorsque, pour x proche de a, la valeur f(x) se rapproche de a. Cela exprime la proximité de f(x) à une valeur donnée, souvent dans le contexte de la limite.

📝 Points essentiels

Une fonction peut avoir des limites différentes à droite et à gauche en un point a, ce qui est crucial pour étudier la continuité. Par exemple, si limₓ→a⁺ f(x) ≠ limₓ→a⁻ f(x), la limite en a n’existe pas globalement, ce qui peut indiquer une discontinuité ou un saut.

La limite finie en un réel a signifie que, lorsque x est suffisamment proche de a, f(x) se rapproche d'une valeur réelle L. Cela implique que, dans un voisinage de a, f(x) ne s’éloigne pas indéfiniment mais tend vers une valeur précise, permettant d’analyser le comportement local de la fonction autour de ce point.

📖 4. Limite infinie en un réel a

🔑 Notions clés & Définitions

Limite infinie en a :
AUTEUR (date) : La limite d'une fonction f(x) en un point a est dite infinie si, en s'approchant de a, la valeur de f(x) devient arbitrairement grande (positive ou négative). Autrement dit, pour tout M > 0, il existe un δ > 0 tel que si 0 < |x - a| < δ, alors |f(x)| > M.

Asymptote verticale :
AUTEUR (date) : Si lim f(x) = ±∞ en a, alors la courbe représentative de f admet une asymptote verticale d'équation x = a.

Intervalle ouvert autour de a :
AUTEUR (date) : Un intervalle ouvert autour de a est un ensemble de la forme (a - ε, a + ε), où ε > 0, dans lequel on étudie le comportement de la fonction.

📝 Points essentiels

• Si lim f(x) = ±∞ en a, la courbe de la fonction admet une asymptote verticale d'équation x = a. Cela signifie que la courbe se rapproche indéfiniment de cette droite sans la toucher nécessairement, traduisant une discontinuité forte en a.
• Les limites infinies à droite et à gauche en un point peuvent différer. Par exemple, pour f(x) = 1/x en 0, la limite à gauche (x → 0⁻) est -∞, tandis que celle à droite (x → 0⁺) est +∞, illustrant que ces deux limites peuvent ne pas être égales.

💡 À retenir

Une fonction qui diverge vers l'infini en un point a possède une asymptote verticale en ce point, caractérisant une discontinuité forte. Les limites infinies à droite et à gauche en un même point peuvent être différentes, ce qui influence la forme de la courbe.

📖 5. Opérations sur les limites

🔑 Notions clés & Définitions

Limite d'une somme : La limite de la somme de deux fonctions lorsque celles-ci ont des limites finies existe et est égale à la somme de ces limites.
Limite d'un produit : La limite du produit de deux fonctions, lorsque celles-ci ont des limites finies, est le produit de ces limites. La règle dépend de l'existence et de la finitude des limites.
Limite d'un quotient : La limite du quotient de deux fonctions, lorsque celles-ci ont des limites, dépend de la limite du dénominateur. Si cette limite est différente de zéro, la limite du quotient est le quotient des limites. En cas de limite nulle du dénominateur, il faut examiner plus en détail la nature de l'indétermination.
Indéterminations : Formes où la limite ne peut être directement déterminée, comme 0/0 ou ∞/∞, nécessitant des méthodes spécifiques pour être levées.
Factorisation par le monôme de plus haut degré : Technique consistant à diviser numérateur et dénominateur par le monôme de plus haut degré dans une expression rationnelle ou un polynôme, permettant souvent de lever des indéterminations en simplifiant l'expression.

📝 Points essentiels

La limite d'une somme est la somme des limites, à condition que celles-ci existent et soient finies.
Les règles de calcul des limites pour produit et quotient dépendent des valeurs limites, avec une attention particulière aux formes indéterminées comme 0/0 ou ∞/∞. En effet, dans ces cas, il est nécessaire d'utiliser des méthodes spécifiques, telles que la factorisation ou la simplification.
La factorisation par le monôme de plus haut degré est une méthode efficace pour lever certaines indéterminations, notamment dans le cas de fractions rationnelles ou de polynômes. Par exemple, pour déterminer la limite de (2x-1)/(x-1) lorsque x tend vers +∞, on peut factoriser par x, le monôme de plus haut degré, ce qui permet de simplifier l'expression et de conclure.

💡 À retenir

Maîtriser le calcul des limites pour des opérations comme la somme, le produit ou le quotient repose sur la connaissance des limites de chaque fonction. La levée des indéterminations, notamment par la factorisation par le monôme de plus haut degré, est une étape clé pour résoudre efficacement les limites complexes.

📖 6. Limites et comparaison

🔑 Notions clés & Définitions

Théorème de comparaison :
Soient f et g deux fonctions.
(i) Si lim x→+∞ f(x) = +∞, alors lim x→+∞ g(x) = +∞ si f(x) ≤ g(x) pour x suffisamment grand.
(ii) Si lim x→+∞ g(x) = -∞, alors lim x→+∞ f(x) = -∞ si g(x) ≤ f(x) pour x suffisamment grand.
Ce théorème permet d’établir la limite d’une fonction en la comparant à une autre dont la limite est connue, en utilisant des inégalités.

Théorème des gendarmes :
Soient f, g et h trois fonctions.
Si pour x suffisamment grand, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ h(x) = L, alors lim x→+∞ g(x) = L.
Ce théorème permet d’encadrer une fonction g entre deux fonctions dont la limite est connue, pour en déduire la limite de g.

📝 Points essentiels

• Si f(x) ≤ g(x) et que lim x→+∞ f(x) = +∞, alors lim x→+∞ g(x) = +∞.
• Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et que lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ h(x) = L, alors lim x→+∞ g(x) = L.
• Le théorème des gendarmes s’appuie sur l’encadrement de g entre deux fonctions dont la limite est identique, permettant ainsi de déterminer la limite de g.
• Ces théorèmes utilisent des inégalités entre fonctions pour déduire des limites, en particulier lorsque la limite d’une fonction est difficile à calculer directement.

💡 À retenir

En utilisant les inégalités entre fonctions pour encadrer une fonction entre deux autres dont les limites sont connues, on peut déduire la limite de cette fonction, notamment grâce au théorème des gendarmes.

📖 7. Limites et composition

🔑 Notions clés & Définitions

Composition de fonctions : La composition de deux fonctions f et g, notée (f ∘ g), est définie par (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Elle consiste à appliquer g en premier, puis f sur le résultat.

Fonction composée v∘u : Si u et v sont deux fonctions, la fonction composée v∘u est définie par (v∘u)(x) = v(u(x)). Elle représente l’application successive de u puis v.

Limite de la composée : La limite de v∘u en un point ou à l’infini dépend des limites de u en ce point ou en +∞, et de la limite de v en la limite de u. Plus précisément, si lim x→a u(x) = L et lim t→L v(t) = M, alors lim x→a (v∘u)(x) = M, sous certaines conditions.

Non-commutativité de la composition : En général, v∘u ≠ u∘v. L’ordre dans la composition est crucial, car appliquer u puis v n’est pas équivalent à appliquer v puis u.

Limite de fonctions composées : La limite de la composition v∘u en +∞ se calcule en étudiant d’abord la limite de u(x) en +∞, puis la limite de v(t) en t = lim x→+∞ u(x). Si ces limites existent, la limite de la composée est donnée par lim x→+∞ v(u(x)) = lim t→+∞ v(t), avec t = u(x).

📝 Points essentiels

La limite de la composée v∘u en +∞ dépend des limites de u en +∞ et de v en la limite de u. Plus précisément, si lim x→+∞ u(x) = L et lim t→+∞ v(t) = L', alors :

• Si u(x) tend vers L quand x tend vers +∞, et si v est continue en L, alors lim x→+∞ v(u(x)) = v(L).
• Si u(x) tend vers +∞, et si lim t→+∞ v(t) existe, alors lim x→+∞ v(u(x)) = lim t→+∞ v(t).

L’ordre de composition est important : en général, v∘u ≠ u∘v. Par exemple, pour calculer lim x→+∞ e^{5x+3}, on pose u(x) = 5x + 3 et v(t) = e^t. La limite se calcule en étudiant d’abord lim x→+∞ u(x) = +∞, puis lim t→+∞ v(t) = +∞, et en appliquant la limite de v à la limite de u.

Exemple : lim x→+∞ (e^{5x+3}) se calcule en posant u(x) = 5x + 3, puis v(t) = e^t, et en utilisant que lim x→+∞ u(x) = +∞ et lim t→+∞ e^t = +∞, donc lim x→+∞ e^{5x+3} = +∞.

💡 À retenir

Pour calculer la limite d’une fonction composée en +∞, il faut décomposer la fonction en deux parties, étudier successivement leurs limites, puis appliquer la limite de la seconde à la limite de la première. L’ordre de composition est essentiel, car il influence le résultat final.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre limite infinie en +∞ avec limite finie : une limite infinie indique croissance sans borne, pas convergence vers un réel.
2. Ignorer la différence entre limite à droite et à gauche en un point : elles peuvent être différentes, ce qui empêche l’existence de la limite globale.
3. Confondre asymptote horizontale et limite finie : une asymptote horizontale correspond à une limite finie lorsque x tend vers +∞ ou -∞.
4. Omettre que la limite d’un quotient n’existe pas si le dénominateur tend vers zéro sans que la limite du quotient soit définie.
5. Se tromper dans l’application des opérations sur limites : la limite d’une somme ou produit est la somme ou le produit des limites, sauf si l’une des limites est infinie ou indéfinie.
6. Confondre limite infinie en un point avec discontinuité essentielle ou sautée.
7. Négliger que pour une limite en un point, il faut vérifier à la fois la limite à droite et à gauche.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition rigoureuse de la limite infinie en +∞ et -∞.
2. Savoir illustrer qu’une fonction comme $x^2$ tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞.
3. Maîtriser la notion de limite finie en +∞ et ses implications pour l’existence d’une asymptote horizontale.
4. Savoir déterminer la limite en un réel a, en distinguant limite à droite et à gauche.
5. Comprendre le concept de limite infinie en un point a et ses conséquences pour l’existence d’une asymptote verticale.
6. Être capable d’identifier une asymptote verticale à partir d’une limite infinie en un point.
7. Appliquer les règles sur les limites lors d’opérations : somme, produit, quotient.
8. Savoir analyser le comportement de fonctions classiques comme $1/x$, $e^x$, ou polynomiales aux bornes.
9. Vérifier que la limite d’un quotient n’est pas indéfinie lorsque le dénominateur tend vers zéro.
10. Connaître les différences entre limites finies et infinies, notamment pour interpréter le comportement graphique.
11. Identifier les cas où les limites à droite et à gauche diffèrent, indiquant une discontinuité de saut.
12. Maîtriser la terminologie : asymptote horizontale, verticale, discontinuités, croissance sans borne.

Dernier item : Vérifier que toutes les limites sont bien calculées dans leur contexte (limites en +∞, -∞, ou en un réel a) et que leur interprétation est correcte selon le comportement de la fonction.