Fiche de révision : Calcul algébrique : sommes et produits

📋 Plan du Cours

1. Notation des sommes et produits
2. Formules classiques de sommation
3. Linéarité et propriétés du produit
4. Sommes et produits télescopiques
5. Changement d’indice et regroupement
6. Factorielles et coefficients binomiaux
7. Pascal et binôme de Newton
8. Sommes doubles et domaines d’indices

📖 1. Notation des sommes et produits

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme finie : Pour une famille finie de nombres (a_i){i∈I}, la somme ∑{i∈I} a_i désigne l’addition de tous ses éléments.
• Produit fini : Pour une famille finie de nombres (a_i){i∈I}, le produit ∏{i∈I} a_i désigne la multiplication de tous ses éléments.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Si I=⟦m,n⟧ avec m≤n, alors ∑{i=m}^n a_i=a_m+a{m+1}+⋯+a_n et ∏{i=m}^n a_i=a_m×a{m+1}×⋯×a_n.

Compléments

📌 L’indice d’une somme est muet et peut être remplacé par n’importe quel autre symbole sans modifier la valeur.

💡 Astuce mémo

Somme : 0 ; produit : 1

📖 2. Formules classiques de sommation

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Pour n≥1, ∑_{k=1}^n k=n(n+1)/2.

🧮 Formule — Si q∈ℂ et q≠1, alors ∑_{k=m}^n q^k=(q^m−q^{n+1})/(1−q) pour m≤n.

Compléments

🧮 Formule — Une somme de n termes constants vaut ∑{k=1}^n c=nc, et plus généralement ∑{k=m}^n c=(n−m+1)c.

💡 Astuce mémo

Entiers, carrés, géométrique

📖 3. Linéarité et propriétés du produit

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — La somme est linéaire : ∑{i∈I}(a_i+b_i)=∑{i∈I}a_i+∑{i∈I}b_i et ∑{i∈I}λa_i=λ∑_{i∈I}a_i.

🧮 Formule — Le produit vérifie ∏{i∈I}(a_i b_i)=(∏{i∈I}a_i)(∏_{i∈I}b_i).

Compléments

🧮 Formule — Si I contient n éléments, alors ∏{i∈I}λ=λ^n et ∏{i∈I}(λa_i)=λ^n∏_{i∈I}a_i.

🧮 Formule — Pour des réels a_1,…,a_n et des réels strictement positifs b_1,…,b_n, exp(∑{i=1}^n a_i)=∏{i=1}^n e^{a_i} et ln(∏{i=1}^n b_i)=∑{i=1}^n ln(b_i).

💡 Astuce mémo

Distribuer puis factoriser

📖 4. Sommes et produits télescopiques

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Une somme télescopique vérifie ∑{k=m}^n(u{k+1}−u_k)=u_{n+1}−u_m.

Compléments

• On a ∑_{k=1}^n((k+1)^3−k^3)=(n+1)^3−1.

🧮 Formule — Un produit télescopique de quotients successifs vérifie ∏_{k=1}^n e^{(k+1)^2}/e^{k^2}=e^{(n+1)^2}/e.

💡 Astuce mémo

Tout s’annule sauf les extrémités

📖 5. Changement d’indice et regroupement

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Dans une somme, un changement d’indice impose de transformer simultanément les bornes et le corps de la somme.

📌 Un changement d’indice doit établir une bijection entre des intervalles d’entiers consécutifs ; i=2k ou i=k/3 ne convient pas dans le cadre présenté.

Compléments

🧮 Formule — Avec i=k−3, on a ∑{k=m}^n a_k=∑{i=m−3}^{n−3}a_{i+3}.

🧮 Formule — Le changement d’indice i=n−k donne ∑{k=1}^n a_k=∑{i=0}^{n−1}a_{n−i}.

🔄 Processus — Le regroupement de termes consiste à décomposer une somme en plusieurs sommes plus simples, notamment lorsque l’expression change de forme selon l’indice.

💡 Astuce mémo

Bornes et corps changent ensemble

📖 6. Factorielles et coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : Pour n∈ℕ, la factorielle n! est le produit n!=∏_{k=1}^n k, avec 0!=1.
• Coefficient binomial : Pour n∈ℕ et p∈⟦0,n⟧, le coefficient binomial « p parmi n » est défini par C(n,p)=n!/[p!(n−p)!], et il vaut 0 lorsque p∉⟦0,n⟧.

📝 Points essentiels

🧮 Formule — La relation de récurrence de la factorielle est (n+1)!=(n+1)n!.

🧮 Formule — Le produit des n premiers entiers pairs vaut ∏_{k=1}^n2k=2^n n!.

🧮 Formule — Le produit des entiers impairs de 1 à 2n+1 vaut 1×3×⋯×(2n+1)=(2n+1)!/(2^n n!).

🧮 Formule — Les valeurs particulières sont C(n,0)=1, C(n,1)=n et C(n,2)=n(n−1)/2.

💡 Astuce mémo

Factorielle, puis p parmi n

📖 7. Pascal et binôme de Newton

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — La formule de symétrie des coefficients binomiaux est C(n,p)=C(n,n−p) pour n∈ℕ et p∈ℤ.

🧮 Formule — La formule de Pascal est C(n−1,p−1)+C(n−1,p)=C(n,p) pour n≥1 et p∈ℤ.

🧮 Formule — La formule du binôme de Newton est (a+b)^n=∑_{p=0}^n C(n,p)a^p b^{n−p} pour a,b∈ℂ et n∈ℕ.

Compléments

• Le triangle de Pascal se construit avec des 1 sur la première colonne et la diagonale, puis avec la somme des deux coefficients situés au-dessus.

📌 La formule de Pascal permet de démontrer par récurrence que tous les coefficients binomiaux sont des entiers naturels.

• Les développements de (a+b)^2, (a+b)^3 et (a+b)^4 ont respectivement pour coefficients 1,2,1 ; 1,3,3,1 ; et 1,4,6,4,1.

💡 Astuce mémo

Les voisins construisent le coefficient

📖 8. Sommes doubles et domaines d’indices

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme double rectangulaire : Additionne les termes a_{i,j} pour m≤i≤n et p≤j≤q.
• Somme double triangulaire : Additionne les termes a_{i,j} définis pour m≤i≤j≤n.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Pour un domaine rectangulaire, on peut sommer dans n’importe quel ordre : ∑{i=m}^n∑{j=p}^q a_{i,j}=∑{j=p}^q∑{i=m}^n a_{i,j}.

🧮 Formule — Pour le domaine m≤i≤j≤n, la somme s’écrit ∑{i=m}^n∑{j=i}^n a_{i,j}=∑{j=m}^n∑{i=m}^j a_{i,j}.

💡 Astuce mémo

Rectangle : indépendants ; triangle : dépendants

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La somme vide vaut 0, tandis que le produit vide vaut 1.
2. La formule géométrique ne s’applique pas avec le dénominateur 1−q lorsque q=1.
3. La distributivité concerne la somme ; pour un produit, on regroupe les facteurs.
4. Les termes intermédiaires s’annulent ; il reste le premier terme négatif et le dernier terme positif.
5. Les anciens et nouveaux indices ne doivent pas cohabiter dans l’expression finale.
6. La factorielle de 0 vaut 1 car elle correspond à un produit vide.
7. La symétrie échange p et n−p ; elle ne change pas n.