Que désigne la somme ∑_{i∈I} a_i pour une famille finie (a_i)_{i∈I} ?
L'addition de tous ses éléments.
Que désigne le produit ∏_{i∈I} a_i pour une famille finie (a_i)_{i∈I} ?
La multiplication de tous ses éléments.
Comment s'exprime la somme ∑_{i=m}^n a_i si I=⟦m,n⟧ avec m≤n ?
Comme a_m + a_{m+1} + ⋯ + a_n.
Comment s'exprime le produit ∏_{i=m}^n a_i si I=⟦m,n⟧ avec m≤n ?
Comme a_m × a_{m+1} × ⋯ × a_n.
Que peut-on dire de l'indice d'une somme ?
Il est muet et peut être remplacé sans changer la valeur.
Quelle est la formule de la somme des entiers de 1 à n pour n≥1 ?
La somme vaut n(n+1)/2.
Quelle est la formule de la somme des puissances q^k de k=m à n si q≠1 ?
La somme vaut (q^m−q^{n+1})/(1−q).
Combien vaut la somme de n termes constants égaux à c ?
La somme vaut nc.
Quelle est la formule générale de la somme de c de k=m à n ?
La somme vaut (n−m+1)c.
Quelle propriété linéaire vérifie la somme ∑_{i∈I}(a_i+b_i) ?
Elle se décompose en ∑_{i∈I}a_i + ∑_{i∈I}b_i.
Comment se factorise la somme ∑_{i∈I}λa_i ?
Elle vaut λ fois ∑_{i∈I}a_i.
Quelle propriété vérifie le produit ∏_{i∈I}(a_i b_i) ?
Il se décompose en (∏_{i∈I}a_i)(∏_{i∈I}b_i).
Que vaut ∏_{i∈I}λ si I contient n éléments ?
Cela vaut λ^n.
Comment s'exprime ∏_{i∈I}(λa_i) en fonction de λ et ∏_{i∈I}a_i ?
C'est λ^n multiplié par ∏_{i∈I}a_i.
Comment s'exprime exp(∑_{i=1}^n a_i) pour des réels a_i ?
C'est égal à ∏_{i=1}^n e^{a_i}.
Quelle relation lie ln(∏_{i=1}^n b_i) et ∑_{i=1}^n ln(b_i) pour b_i>0 ?
Ils sont égaux.
Quelle formule exprime une somme télescopique ?
∑_{k=m}^n(u_{k+1}−u_k)=u_{n+1}−u_m.
Quelle est la valeur de ∑_{k=1}^n((k+1)^3−k^3) ?
Elle vaut (n+1)^3−1.
Quelle formule exprime un produit télescopique de quotients successifs ?
∏_{k=1}^n e^{(k+1)^2}/e^{k^2}=e^{(n+1)^2}/e.
Qu'impose un changement d'indice dans une somme ?
Il impose de transformer simultanément les bornes et le corps de la somme.
Quelle égalité exprime le changement d'indice i=k−3 dans une somme ?
∑_{k=m}^n a_k=∑_{i=m−3}^{n−3}a_{i+3}.
Quelle condition doit respecter un changement d'indice ?
Il doit établir une bijection entre des intervalles d’entiers consécutifs.
Pourquoi i=2k ou i=k/3 ne conviennent-ils pas comme changement d'indice ?
Ils ne créent pas une bijection entre intervalles d’entiers consécutifs.
Quelle formule donne le changement d'indice i=n−k ?
∑_{k=1}^n a_k=∑_{i=0}^{n−1}a_{n−i}.
En quoi consiste le regroupement de termes dans une somme ?
À décomposer une somme en plusieurs sommes plus simples.
Quand utilise-t-on le regroupement de termes selon l'indice ?
Lorsque l’expression change de forme selon l’indice.
Comment se définit la factorielle n! pour n entier naturel ?
n! est le produit des entiers de 1 à n, avec 0! = 1.
Quelle est la relation de récurrence de la factorielle ?
(n+1)! = (n+1) × n!.
Comment s'exprime le produit des n premiers entiers pairs ?
Le produit vaut 2^n × n!.
Comment s'exprime le produit des entiers impairs de 1 à 2n+1 ?
Ce produit vaut (2n+1)! divisé par (2^n × n!).
Comment se définit le coefficient binomial C(n,p) pour p entre 0 et n ?
C(n,p) = n! / [p! × (n−p)!].
Que vaut C(n,p) si p n'est pas dans l'intervalle [0,n] ?
C(n,p) vaut 0.
Quelles sont les valeurs particulières de C(n,0), C(n,1) et C(n,2) ?
C(n,0)=1, C(n,1)=n, et C(n,2)=n(n−1)/2.
Quelle est la formule de symétrie des coefficients binomiaux ?
C(n,p)=C(n,n−p) pour n∈ℕ et p∈ℤ.
Quelle est la formule de Pascal pour les coefficients binomiaux ?
C(n−1,p−1)+C(n−1,p)=C(n,p) pour n≥1 et p∈ℤ.
Comment se construit le triangle de Pascal ?
Avec des 1 sur la première colonne et la diagonale, puis la somme des deux coefficients au-dessus.
Que permet de démontrer la formule de Pascal par récurrence ?
Que tous les coefficients binomiaux sont des entiers naturels.
Quelle est la formule du binôme de Newton ?
(a+b)^n=∑_{p=0}^n C(n,p)a^p b^{n−p} pour a,b∈ℂ et n∈ℕ.
Quels sont les coefficients du développement de (a+b)^2 ?
1, 2, 1.
Quels sont les coefficients du développement de (a+b)^3 ?
1, 3, 3, 1.
Quels sont les coefficients du développement de (a+b)^4 ?
1, 4, 6, 4, 1.
Qu'est-ce qu'une somme double rectangulaire ?
Une somme double rectangulaire additionne les termes a_{i,j} pour m≤i≤n et p≤j≤q.
Quelle propriété de l'ordre de sommation vaut pour un domaine rectangulaire ?
On peut sommer dans n’importe quel ordre sans changer le résultat.
Comment s'écrit l'égalité des sommes doubles sur un domaine rectangulaire ?
∑_{i=m}^n∑_{j=p}^q a_{i,j} = ∑_{j=p}^q∑_{i=m}^n a_{i,j}.
Qu'est-ce qu'une somme double triangulaire ?
Une somme double triangulaire additionne les termes a_{i,j} pour m≤i≤j≤n.
Sur quel domaine la somme double triangulaire est-elle définie ?
Pour les indices vérifiant m≤i≤j≤n.
Comment s'exprime la somme double sur le domaine m≤i≤j≤n ?
∑_{i=m}^n∑_{j=i}^n a_{i,j} = ∑_{j=m}^n∑_{i=m}^j a_{i,j}.
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1. Que signifie la somme ∑_{i∈I} a_i lorsqu’on considère une famille finie (a_i)_{i∈I} ?
2. Que désigne le produit ∏_{i∈I} a_i pour une famille finie (a_i)_{i∈I} ?
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