Quelles notations désignent la dérivée par rapport à x ?
f′(x), df/dx(x) et d/dx f(x).
À quoi sert la notation ḟ(t) en dérivation ?
Elle désigne la dérivée par rapport au temps.
Quelle est la formule de la dérivée d'un produit uv ?
(uv)′=u′v+uv′.
Quelle est la formule de la dérivée d'un quotient u/v ?
(u/v)′=(u′v−uv′)/v².
Quelle est la formule de la dérivée d'une composée g∘f ?
(g∘f)′(x)=g′[f(x)]f′(x).
Quelle est la dérivée de x^α pour α réel ?
αx^(α−1) sur son domaine de définition.
Quelle est l'équation de la tangente à y=f(x) en x₀ ?
y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀).
Que signifie f′(x₀)=0 et f′′(x₀)>0 pour f ?
f présente un minimum local en x₀.
Qu'est-ce qu'une primitive F d'une fonction continue f sur un intervalle I ?
F vérifie F′(x)=f(x) pour tout x dans I.
Quelle forme ont toutes les primitives d'une fonction f ?
Elles sont de la forme F(x)+C avec C une constante réelle.
Quelle est la primitive de x^α pour α différent de -1 ?
x^(α+1)/(α+1)+C.
Comment s'exprime l'intégrale de f entre a et b si F est une primitive de f ?
∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a).
Que représente une intégrale définie en termes d'aire ?
Une aire algébrique positive au-dessus de y=0 et négative en dessous.
Quelle est la formule de l'intégration par parties entre a et b ?
∫_a^b u′(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b − ∫_a^b u(x)v′(x)dx.
Comment s'écrit une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants ?
a f′(x)+b f(x)=Φ(x) avec a≠0, a et b constants, Φ connue.
Quelle est la première étape pour résoudre une équation différentielle du premier ordre ?
Déterminer la solution homogène.
Comment s'écrit l'équation caractéristique de a f′+bf=0 ?
ar+b=0.
Quelle est la forme de la solution générale de l'équation homogène a f′+bf=0 ?
f_H(x)=K exp(−bx/a).
Quelle formule donne une solution particulière par variation de la constante ?
f_P(x)=(1/a)exp(−bx/a)∫^x exp(bt/a)Φ(t)dt.
Pourquoi applique-t-on une condition initiale à la solution générale avec second membre ?
Pour déterminer l’unique constante.
Comment s'écrit une équation différentielle linéaire homogène du 2ᵉ ordre à coefficients constants ?
a f′′(t)+b f′(t)+cf(t)=0 avec a≠0 et a, b, c constants.
Quelle est l'équation caractéristique associée à a f′′+b f′+cf=0 ?
ar²+br+c=0 avec discriminant Δ=b²−4ac.
Quelle forme prend la solution réelle si Δ<0 ?
f(t)=exp(λt)[A cos(ωt)+B sin(ωt)] avec régime pseudo-périodique.
Quelle est la nature de la solution si Δ>0 ?
Une somme de deux exponentielles réelles avec régime apériodique.
Quelle est la solution générale si Δ=0 ?
f(t)=(C₁+C₂t)exp(rt) avec r=−b/(2a).
Quel régime correspond à Δ=0 ?
Le régime critique.
Combien de conditions initiales sont nécessaires pour une équation différentielle du 2ᵉ ordre homogène ?
Deux conditions initiales ou aux limites sont nécessaires.
Quelle est la norme d'un vecteur (x,y,z) dans une base orthonormée ?
La norme vaut √(x²+y²+z²).
Comment s'écrit le déplacement élémentaire d⃗ℓ en coordonnées cartésiennes ?
d⃗ℓ=dx⃗e_x+dy⃗e_y+dz⃗e_z.
Quelle est la formule du volume élémentaire dV en coordonnées cartésiennes ?
dV=dx dy dz.
Comment calcule-t-on le produit scalaire de deux vecteurs (x₁,y₁,z₁) et (x₂,y₂,z₂) ?
Il vaut x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.
Quelle autre expression donne le produit scalaire entre deux vecteurs ?
||u⃗||||v⃗||cos(û,v⃗).
Quelles sont les composantes du produit vectoriel de (x₁,y₁,z₁) par (x₂,y₂,z₂) ?
(y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂).
Quelle est la direction du produit vectoriel par rapport aux vecteurs de départ ?
Il est perpendiculaire aux deux vecteurs de départ.
À quoi correspond la norme du produit vectoriel de deux vecteurs ?
Elle est égale à l’aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs.
Quelle est la direction du produit vectoriel de deux vecteurs ?
Il est perpendiculaire au plan défini par ces vecteurs.
Quelle formule donne la norme du produit vectoriel ||u ∧ v|| ?
||u ∧ v|| = ||u|| ||v|| |sin(∠(u,v))|.
Que représente la norme du produit vectoriel de u et v ?
L’aire du parallélogramme construit sur u et v.
Comment détermine-t-on l’orientation du produit vectoriel u ∧ v ?
Avec la règle de la main droite en faisant tourner u vers v.
Quelles conditions définissent une base orthonormée directe (e1,e2,e3) ?
Vecteurs unitaires, orthogonaux deux à deux, et e3 = e1 ∧ e2.
Quelles égalités vérifie une base orthonormée directe concernant e1, e2 et e3 ?
e1 = e2 ∧ e3 et e2 = e3 ∧ e1.
Quelle est la formule trigonométrique de cos(a+b) ?
cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b.
Quelle est la formule trigonométrique de sin(a+b) ?
sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b.
Quelles sont les coordonnées cylindriques d'un point M ?
(ρ,ϕ,z) avec ρ=OH, ϕ=∠(ex,OH), z=HM.
Quelle est l'expression du vecteur position en coordonnées cylindriques ?
OM = ρ eρ + z ez.
Comment s'exprime le déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques ?
dℓ = dρ eρ + ρ dϕ eϕ + dz ez.
Quelle est la formule du volume élémentaire en coordonnées cylindriques ?
dV = ρ dρ dϕ dz.
Quelles sont les coordonnées sphériques d'un point M ?
(r,θ,ϕ) avec r=OM, θ=∠(ez,OM), ϕ=∠(ex,OH).
Quelle est l'expression du vecteur position en coordonnées sphériques ?
OM = r er.
Comment s'exprime le déplacement élémentaire en coordonnées sphériques ?
dℓ = dr er + r dθ eθ + r sinθ dϕ eϕ.
Quelle est la formule du volume élémentaire en coordonnées sphériques ?
dV = r² sinθ dr dθ dϕ.
Comment s'écrit un nombre complexe z en forme algébrique ?
z = x + iy avec x,y réels et i² = -1.
Quelle est la forme exponentielle d'un nombre complexe z ?
z = ρ e^{iϕ} = ρ(cosϕ + i sinϕ) avec ρ = |z| et ϕ = arg(z).
Comment se définit le conjugué d'un nombre complexe z = x + iy ?
Le conjugué est z̄ = x - iy.
Que représente géométriquement le conjugué d'un nombre complexe ?
La symétrie du point par rapport à l'axe réel.
Quelle formule donne le module d'un nombre complexe z ?
|z| = √(z z̄).
Comment se calcule le module du produit et du quotient de deux complexes ?
|z1 z2| = |z1||z2| et |z1 / z2| = |z1| / |z2| pour z2 ≠ 0.
Quelle relation lie l'argument de 1/z à celui de z ?
arg(1/z) = -arg(z) pour z non nul.
Comment exprime-t-on cosϕ et sinϕ avec les exponentielles complexes ?
cosϕ = (e^{iϕ} + e^{-iϕ})/2 et sinϕ = (e^{iϕ} - e^{-iϕ})/(2i).
Quels sont les trois paramètres caractérisant un signal sinusoïdal réel s(t)?
L'amplitude A>0, la pulsation ω>0 et la phase ϕ.
Quel signal complexe est associé à s(t)=A cos(ωt+ϕ)?
Le signal complexe s(t)=Ae^{i(ωt+ϕ)}.
Que donne la partie réelle du signal complexe s(t)=Ae^{i(ωt+ϕ)}?
Le signal sinusoïdal réel s(t)=A cos(ωt+ϕ).
Comment s'écrit le signal complexe en posant A=Ae^{iϕ}?
s(t)=A e^{iωt} avec A amplitude complexe.
Que représente le module et l'argument de l'amplitude complexe A?
Le module est A et l'argument est ϕ.
Comment additionne-t-on des signaux sinusoïdaux de même pulsation?
On additionne leurs amplitudes complexes puis on multiplie par e^{iωt} et prend la partie réelle.
Quelle est la dérivée du signal complexe s(t)=A e^{iωt}?
ds/dt = iωA e^{iωt}.
Que vaut la somme des amplitudes complexes de trois tensions sinusoïdales déphasées de 2π/3?
Cette somme est nulle.
Que vérifie la différentielle df pour une fonction d'une variable ?
df = f′(x) dx.
Que représente la différentielle df d'une fonction d'une variable ?
La variation infinitésimale de f quand x varie de dx.
Qu'est-ce qu'une intégrale en termes de variations infinitésimales ?
Une somme continue de variations infinitésimales dF = f(x) dx.
Quelle est la relation entre une intégrale définie et une primitive ?
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) si F est une primitive de f.
Comment se définit la dérivée partielle de f(x,y) par rapport à x ?
C'est la dérivée en considérant y comme constante, notée (∂f/∂x)_y.
Que dit le théorème de Schwarz sur les dérivées partielles secondes ?
Elles se commutent : ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x.
Quelle est la formule de la différentielle de f(x,y) ?
df = (∂f/∂x)_y dx + (∂f/∂y)_x dy.
Quand une forme différentielle ω = A dx + B dy est-elle une différentielle totale exacte ?
Si ∂A/∂y = ∂B/∂x.
Quelle est la formule de la différentielle d'une fonction de plusieurs variables ?
df = (∂f/∂r)dr + (∂f/∂θ)dθ + (∂f/∂ϕ)dϕ.
Quelle est la dérivée de S = πR² par rapport à R ?
S′(R) = 2πR.
Quelle est la dérivée de V = 4πR³/3 par rapport à R ?
V′(R) = 4πR².
Quelle est la différentielle de f = f₀(x/L)² avec f₀ et L constants ?
df = 2f₀x/L² dx.
Quelle est la différentielle de x = x₀ ln(T/T₀) avec x₀ et T₀ constants ?
dx = x₀ dT/T.
Quelle est la règle de la chaîne pour des variables dépendantes ?
df = (df/dx)(dx/dT)dT.
Quelle est l'expression de la pression P pour un gaz parfait d'une mole ?
P = RT/V.
Quelle est la différentielle de la pression P dans un gaz parfait d'une mole ?
dP = (R/V)dT − (RT/V²)dV.
Comment s'écrit une forme différentielle de deux variables x et y ?
ω = A(x,y)dx + B(x,y)dy.
Quelle condition doivent vérifier A et B pour que ω soit une différentielle totale exacte ?
∂A/∂y = ∂B/∂x.
Quelle est la première étape pour reconstruire f à partir d'une différentielle totale exacte ?
Poser A = ∂f/∂x ou B = ∂f/∂y.
Que fait-on après avoir intégré A ou B pour retrouver f ?
On compare l'expression obtenue avec l'autre dérivée partielle.
Quelle fonction f correspond à la différentielle ω = 2(x+y)dx + (2x−2y+1)dy ?
f(x,y) = x² + 2xy − y² + y.
Quelle équation obtient-on en intégrant la forme différentielle du gaz réel ?
L'équation de van der Waals (p + a/V²)(V−b) = RT.
Teste tes connaissances avec un QCM de 45 questions sur Vecteurs, coordonnées et nombres complexes.
1. Quelle notation convient pour indiquer la dérivation par rapport au temps ?
2. Pour une fonction composée y=(g∘f)(x), quel est le bon calcul de la dérivée ?
Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Vecteurs, coordonnées et nombres complexes.
Voir la fiche →Importe ton cours et l'IA génère des flashcards en 30 secondes.
Générateur de flashcards