QCM : Calcul algébrique : sommes et produits — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie la somme ∑_{i∈I} a_i lorsqu’on considère une famille finie (a_i)_{i∈I} ?

C’est l’addition de tous les éléments a_i pour i appartenant à I
C’est la multiplication de tous les éléments a_i pour i appartenant à I
C’est la somme de deux termes seulement, les premiers et les derniers
C’est la moyenne des éléments a_i pour i appartenant à I

C’est l’addition de tous les éléments a_i pour i appartenant à I

Explication

Par définition, la somme ∑_{i∈I} a_i additionne tous les éléments de la famille indexée par I. La confusion avec le produit correspondrait à une multiplication, pas à une somme.

2. Que désigne le produit ∏_{i∈I} a_i pour une famille finie (a_i)_{i∈I} ?

L’addition de tous les éléments a_i pour i appartenant à I
La multiplication de deux seuls facteurs, les premiers et les derniers
Le produit des valeurs absolues des éléments a_i
La multiplication de tous les éléments a_i pour i appartenant à I

La multiplication de tous les éléments a_i pour i appartenant à I

Explication

Le produit ∏_{i∈I} a_i signifie qu’on multiplie tous les éléments de la famille pour i dans I. Un produit ne décrit pas une addition, ce qui écarte les autres propositions.

3. Si m≤n, comment peut-on écrire ∑_{i=m}^n a_i et ∏_{i=m}^n a_i en fonction des termes a_m, a_{m+1}, …, a_n ?

∑_{i=m}^n a_i=na_n et ∏_{i=m}^n a_i=a_m
∑_{i=m}^n a_i=a_m−a_{m+1}−⋯−a_n et ∏_{i=m}^n a_i=a_m+a_{m+1}+⋯+a_n
∑_{i=m}^n a_i=a_m+a_{m+1}+⋯+a_{n-1} et ∏_{i=m}^n a_i=a_{m+1}×a_{m+2}×⋯×a_n
∑_{i=m}^n a_i=a_m+a_{m+1}+⋯+a_n et ∏_{i=m}^n a_i=a_m×a_{m+1}×⋯×a_n

∑_{i=m}^n a_i=a_m+a_{m+1}+⋯+a_n et ∏_{i=m}^n a_i=a_m×a_{m+1}×⋯×a_n

Explication

Lorsque l’indice parcourt de m à n, la somme est la suite d’additions et le produit la suite de multiplications des termes a_m à a_n. Les autres choix omettent des termes ou échangent addition et multiplication.

4. Pour n≥1, quelle est la valeur de la somme ∑_{k=1}^n k ?

n^2
2n+1
n(n+1)/2
n(n−1)/2

n(n+1)/2

Explication

La formule classique donne ∑_{k=1}^n k=n(n+1)/2. Les autres expressions correspondent à d’autres suites (ou à des erreurs de facteur).

5. Soit q∈ℂ avec q≠1. Quelle est la formule de la somme ∑_{k=m}^n q^k pour m≤n ?

(q^{m+1}−q^{n})/(1−q)
(q^{n+1}−q^m)/(q−1)
(q^{n}−q^{m})/(1−q)
(q^m−q^{n+1})/(1−q)

(q^m−q^{n+1})/(1−q)

Explication

Pour q≠1, la somme géométrique vaut ∑_{k=m}^n q^k=(q^m−q^{n+1})/(1−q). Les distracteurs utilisent des variantes qui ne correspondent pas exactement au numérateur ou au dénominateur prévu pour q≠1.

6. La somme est-elle linéaire au sens suivant : que vaut ∑_{i∈I}(a_i+b_i) par rapport à ∑_{i∈I}a_i et ∑_{i∈I}b_i ?

∑_{i∈I}(a_i+b_i)=(∑_{i∈I}a_i)(∑_{i∈I}b_i)
∑_{i∈I}(a_i+b_i)=∑_{i∈I}a_i∑_{i∈I}b_i
∑_{i∈I}(a_i+b_i)=∑_{i∈I}a_i+∑_{i∈I}b_i
∑_{i∈I}(a_i+b_i)=|I|(a_i+b_i)

∑_{i∈I}(a_i+b_i)=∑_{i∈I}a_i+∑_{i∈I}b_i

Explication

La propriété de linéarité impose que la somme de deux familles se décompose en la somme des sommes. Les autres choix introduisent une multiplication ou une dépendance incorrecte à |I|.

7. Pour deux familles (a_i) et (b_i) indexées par le même ensemble fini I, que vaut le produit ∏_{i∈I}(a_i b_i) ?

∏_{i∈I}(a_i b_i)=(∏_{i∈I}a_i)(∏_{i∈I}b_i)
∏_{i∈I}(a_i b_i)=(∑_{i∈I}a_i)(∑_{i∈I}b_i)
∏_{i∈I}(a_i b_i)=∏_{i∈I}(a_i+b_i)
∏_{i∈I}(a_i b_i)=∑_{i∈I}(a_i)(b_i)

∏_{i∈I}(a_i b_i)=(∏_{i∈I}a_i)(∏_{i∈I}b_i)

Explication

On a la propriété produit : ∏_{i∈I}(a_i b_i)=(∏_{i∈I}a_i)(∏_{i∈I}b_i). Les distracteurs mélangent avec la distributivité pour la somme ou changent la forme du calcul.

8. Quelle égalité exprime correctement le fait qu’une somme télescopique ne conserve que les termes extrêmes après annulation des termes intermédiaires ?

∑_{k=m}^n(u_{k+1}−u_k)=u_{m+1}−u_{n}
∑_{k=m}^n(u_{k+1}−u_k)=u_{n+1}−u_m
∑_{k=m}^n(u_{k+1}−u_k)=u_{n}−u_m
∑_{k=m}^n(u_{k+1}−u_k)=u_{n}−u_{m-1}

∑_{k=m}^n(u_{k+1}−u_k)=u_{n+1}−u_m

Explication

Une somme télescopique vérifie ∑_{k=m}^n(u_{k+1}−u_k)=u_{n+1}−u_m : les termes intermédiaires s’annulent et il reste les contributions des bornes.

9. Si l’on définit un produit télescopique de quotients e^{(k+1)^2}/e^{k^2} de k=1 à n, quelle simplification obtient-on ?

e^{n^2}/e^{n}
e^{(n+1)^2}
e^{n^2}/e
e^{(n+1)^2}/e

e^{(n+1)^2}/e

Explication

Le produit télescopique de quotients se simplifie deux à deux et donne e^{(n+1)^2}/e. Les facteurs intermédiaires s’éliminent dans le calcul.

10. Lors d’un changement d’indice dans une somme, quelle condition doit être respectée pour obtenir une expression finale correcte ?

Il faut transformer simultanément les bornes et le corps de la somme
Il faut remplacer uniquement les bornes et laisser le corps inchangé
Il faut garder les mêmes bornes mais remplacer seulement la variable dans le corps
Les anciens et nouveaux indices doivent cohabiter dans l’expression finale

Il faut transformer simultanément les bornes et le corps de la somme

Explication

Un changement d’indice impose de transformer simultanément les bornes et le corps de la somme afin que l’intervalle et les termes correspondent correctement.

11. Quel choix de changement d’indice correspond à une bijection entre des intervalles d’entiers consécutifs dans le cadre présenté ?

i=k/3
i=1−k
i=n−k
i=2k

i=n−k

Explication

Le cadre présenté exige une bijection entre intervalles d’entiers consécutifs ; le changement d’indice i=n−k correspond à la bonne structure, contrairement à i=2k ou i=k/3.

12. Quelle définition correcte donne la valeur de 0! ?

0!=−1
0!=1
0!=0
0!=2

0!=1

Explication

Par définition, 0!=1 (c’est le cas du produit vide). Les autres valeurs contredisent la définition donnée pour la factorielle.

13. Quelle propriété caractérise correctement le coefficient binomial C(n,p) pour p en dehors de l’intervalle 0 à n ?

C(n,p)=0 lorsque p∉⟦0,n⟧
C(n,p)=1 lorsque p∉⟦0,n⟧
C(n,p) est défini uniquement pour p impair
C(n,p)=n!/[p!(n−p)!] pour tout p réel

C(n,p)=0 lorsque p∉⟦0,n⟧

Explication

Le coefficient binomial est défini par C(n,p)=n!/[p!(n−p)!] pour p∈⟦0,n⟧ et il vaut 0 lorsque p∉⟦0,n⟧.

14. Quelle égalité exprime la symétrie des coefficients binomiaux en échangeant les rôles de p et n−p ?

C(n,p)=C(n−1,n−1−p)
C(n,p)=C(p,n−p)
C(n,p)=C(n,n−p)
C(n,p)=C(n−p,n)

C(n,p)=C(n,n−p)

Explication

La symétrie des coefficients binomiaux donne bien C(n,p)=C(n,n−p), où n reste inchangé. Les autres propositions échangent aussi n ou modifient n−1, ce qui ne correspond pas à l’identité demandée.

15. Comment le triangle de Pascal est-il construit à partir des 1 et des coefficients situés au-dessus ?

En plaçant des 0 sur la première colonne et en additionnant les coefficients en dessous
En plaçant des 1 sur la première colonne et la diagonale, puis en sommant les deux coefficients situés au-dessus
En remplissant d’abord toute la ligne n avec des 1, puis en divisant par 2 les sommes
En écrivant uniquement des coefficients binomiaux C(n,p) sans recopie ni addition

En plaçant des 1 sur la première colonne et la diagonale, puis en sommant les deux coefficients situés au-dessus

Explication

Le triangle de Pascal se construit avec des 1 sur la première colonne et la diagonale, puis chaque case intérieure vaut la somme des deux coefficients au-dessus. Dire d’additionner en dessous ou commencer par des 0 contredit la règle de construction.

16. Que décrit exactement une somme double rectangulaire ∑_{i=m}^n ∑_{j=p}^q a_{i,j} ?

Elle additionne seulement les termes a_{m,p} et a_{n,q}
Elle additionne les a_{i,j} avec m≤i≤j≤n
Elle additionne les a_{i,j} avec m≤i≤n et p≤j≤q
Elle additionne les a_{i,j} avec i et j indépendants mais sans bornes

Elle additionne les a_{i,j} avec m≤i≤n et p≤j≤q

Explication

Une somme double rectangulaire additionne les termes a_{i,j} pour i allant de m à n et j allant de p à q, sans lien entre les bornes des deux indices. Les autres choix décrivent un autre domaine triangulaire ou un ensemble trop restreint.

17. Dans une somme double rectangulaire, quel résultat obtient-on en inversant l’ordre des sommes ?

∑_{i=m}^n∑_{j=p}^q a_{i,j}=∑_{i=m}^n∑_{j=p}^q a_{j,i}
∑_{i=m}^n∑_{j=p}^q a_{i,j}=∑_{j=p}^q∑_{i=m}^n a_{i,j}
∑_{i=m}^n∑_{j=p}^q a_{i,j}=∑_{j=m}^q∑_{i=p}^n a_{i,j}
∑_{i=m}^n∑_{j=p}^q a_{i,j}=∑_{j=p}^{q−n}∑_{i=m}^{n−p} a_{i,j}

∑_{i=m}^n∑_{j=p}^q a_{i,j}=∑_{j=p}^q∑_{i=m}^n a_{i,j}

Explication

Pour un domaine rectangulaire, on peut intervertir directement les deux sommes : ∑_{i=m}^n∑_{j=p}^q a_{i,j}=∑_{j=p}^q∑_{i=m}^n a_{i,j}. Les autres propositions modifient les indices ou les bornes d’une manière qui n’est pas justifiée.

18. Que signifie une somme double triangulaire ∑_{m≤i≤j≤n} a_{i,j} ?

Elle additionne uniquement les termes de la diagonale i=j
Elle additionne les termes a_{i,j} définis pour m≤i≤j≤n
Elle additionne les termes a_{i,j} avec i et j strictement indépendants
Elle additionne les termes a_{i,j} définis pour m≤j≤i≤n

Elle additionne les termes a_{i,j} définis pour m≤i≤j≤n

Explication

Une somme double triangulaire additionne les a_{i,j} pour m≤i≤j≤n, ce qui lie les bornes via la condition i≤j. Les autres choix décrivent un domaine différent ou ne retiennent que la diagonale.

19. Pour le domaine m≤i≤j≤n, quelle écriture en double somme est correcte ?

∑_{i=m}^n∑_{j=i}^n a_{i,j}=∑_{j=i}^n∑_{i=m}^j a_{i,j}
∑_{i=m}^n∑_{j=i}^n a_{i,j}=∑_{j=m}^n∑_{i=j}^n a_{i,j}
∑_{i=m}^n∑_{j=i}^n a_{i,j}=∑_{j=m}^n∑_{i=m}^{n} a_{i,j}
∑_{i=m}^n∑_{j=i}^n a_{i,j}=∑_{j=m}^n∑_{i=m}^j a_{i,j}

∑_{i=m}^n∑_{j=i}^n a_{i,j}=∑_{j=m}^n∑_{i=m}^j a_{i,j}

Explication

Le domaine m≤i≤j≤n donne bien ∑_{i=m}^n∑_{j=i}^n a_{i,j}=∑_{j=m}^n∑_{i=m}^j a_{i,j}. Les distracteurs modifient les bornes de i en fonction de j, ce qui change le domaine.

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Que désigne la somme ∑_{i∈I} a_i pour une famille finie (a_i)_{i∈I} ?

L'addition de tous ses éléments.

Que désigne le produit ∏_{i∈I} a_i pour une famille finie (a_i)_{i∈I} ?

La multiplication de tous ses éléments.

Comment s'exprime la somme ∑_{i=m}^n a_i si I=⟦m,n⟧ avec m≤n ?

Comme a_m + a_{m+1} + ⋯ + a_n.

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