$-\infty$
Explication
Quand $x\to -\infty$ et que $n$ est impair, la puissance conserve le signe négatif de $x$ et diverge donc vers $-\infty$. La parité est décisive dans ce cas.
Une fonction dont la limite à l'infini dépend du signe de $x$ et de la parité de l'exposant $n$, avec des comportements spécifiques selon ces paramètres.
Explication
Une puissance $x^n$ est une fonction dont le comportement à l'infini varie selon le signe de $x$ et la parité de l'exposant $n$, notamment, elle tend vers $+ $infini pour $x o + $infini, et vers $+ $ou $- $infini selon la parité de $n$ et le signe de $x$ pour $x o - $infini.
$+\infty$
Explication
Pour $x\to +\infty$, toute puissance $x^n$ tend vers $+\infty$ quel que soit l’entier naturel non nul $n$. La parité n’intervient pas dans ce cas.
Elle tend vers $- $infty$
Explication
Lorsque $n$ est impair et $x o - $infty$, la puissance $x^n$ tend vers $- $infty$, car la parité de $n$ impose que la valeur négative de $x$ élevée à une puissance impair reste négative.
Elle est celle du terme dominant
Explication
À l’infini, un polynôme est dominé par son terme de plus haut degré ; c’est donc ce terme qui fixe la limite. Les termes de degré inférieur ne modifient pas la divergence.
Analyser la tendance générale du comportement du polynôme quand x tend vers l’infini.
Explication
La limite d’un polynôme à l’infini sert à analyser sa tendance générale, qui est dominée par le terme de plus haut degré. Cela permet de déterminer si le polynôme diverge vers +∞ ou -∞, ou converge vers une valeur finie si le terme dominant se comporte ainsi.
Il fixe si la limite vaut $+\infty$ ou $-\infty$
Explication
Le coefficient du terme dominant détermine le signe de la divergence du polynôme à l’infini. Un coefficient dominant positif donne $+\infty$, tandis qu’un coefficient dominant négatif donne $-\infty$.
Lorsque les limites individuelles existent et ne donnent pas de forme indéterminée
Explication
La limite d'une somme ou d'un produit est généralement la somme ou le produit des limites lorsque celles-ci existent et ne forment pas de forme indéterminée. En cas de FI, il faut appliquer d'autres méthodes.
L'exponentielle croît plus vite que tout polynôme à l'infini, ce qui la rend plus dominante.
Explication
L'exponentielle $e^x$ croît plus rapidement que toute puissance $x^n$ lorsque $x$ tend vers $+$infini, ce qui explique qu’elle domine asymptotiquement la croissance polynomiale.
Augustin-Louis Cauchy
Explication
C'est Augustin-Louis Cauchy qui a contribué à l'étude des limites, y compris dans la comparaison des croissances des fonctions comme exponentielles et polynômes. Les autres noms, bien qu'importants dans l'histoire des mathématiques, ne sont pas spécifiquement liés à cette formulation.
Mémorisez les réponses avec 9 flashcards sur Analyse des limites et croissance des fonctions.
Puissance x^n — limite ?
Diverge vers +∞ ou -∞ selon n et signe de x.
Puissance n à l’infini
Dépend du signe de n et de x.
Limite polynôme — règle ?
Termes de plus haut degré dominent à l’infini.
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