C’est l’unique réel x tel que e^x = a
Explication
Le logarithme népérien de a>0 est, par définition, le réel x qui vérifie e^x=a. L’équation ln(x)=a correspond au passage inverse, qui donne x=e^a.
Le nombre réel $x$ tel que $e^x=a$.
Explication
Le logarithme népérien $ l a$ est défini comme le réel $x$ qui vérifie $e^x=a$, c'est-à-dire la solution de l'équation $e^x=a$, pour $a>0$. La réponse 0 inverse cette définition en proposant le rôle du nombre $x$, mais la bonne définition concerne la valeur $x$ en relation avec $a$.
Sur l’ensemble des réels strictement positifs
Explication
La fonction ln n’est définie que pour les réels strictement positifs. On écrit donc ln : ]0,+∞[ → R.
Elle permet d'inverser la fonction exponentielle $e^x$, en associant à chaque $a>0$ le réel $x$ tel que $e^x=a$.
Explication
La fonction $ ext{ln}$ est utilisée pour inverser l'exponentielle $e^x$, en associant à chaque nombre positif $a$ le réel $x$ tel que $e^x=a$, ce qui est son rôle principal dans la transformation des expressions exponentielles.
1/x pour x>0
Explication
Sur ]0,+∞[, la fonction ln est dérivable et sa dérivée vaut 1/x. La proposition -1/x est un distracteur classique lié à une mauvaise mémorisation du signe.
Au XVIIe siècle lors des travaux de John Napier.
Explication
Le lien entre le logarithme népérien et l'exponentielle, basé sur l'équation $e^x= a$, a été largement établi au XVIIe siècle, notamment par les travaux de John Napier qui a introduit les logarithmes. C'est à cette période que la relation fondamentale $x= ln a$ a été formalisée.
ln x tend vers -∞ quand x tend vers 0^+
Explication
Quand x tend vers 0 par valeurs positives, ln x décroît sans borne et tend vers -∞. Cela explique aussi l’asymptote verticale d’équation x=0.
Le logarithme népérien porte sur la base e, tandis que le log porte sur la base 10.
Explication
Le logarithme népérien est basé sur la constante e et est défini pour x>0, tandis que le log est utilisé pour la base 10 et est relié au ln par une division par ln 10.
Leonhard Euler
Explication
Leonhard Euler est crédité d'avoir introduit et formulé la relation fondamentale du logarithme népérien, établissant que $ ext{ln}(a)$ est la valeur de $x$ telle que $e^x=a$, pour $a > 0$. Cela a permis de lier l'exponentielle et le logarithme de façon rigoureuse.
Mémorisez les réponses avec 9 flashcards sur Logarithme népérien : définition et propriétés essentielles.
Logarithme népérien — définition ?
Solution réelle de $e^x=a$, notée $\\ln a$.
Définition de ln
Logarithme népérien, inverse de e^x, pour a>0.
Étude de ln — propriété clé ?
$ rac{d}{dx}\\ln x=\frac{1}{x}$ pour $x>0$.
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