QCM : Logarithme décimal : propriétés et résolution — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment définit-on le logarithme décimal d’un nombre réel strictement positif ?

Comme la valeur de b divisée par 10
Comme le réel positif dont le carré vaut b
Comme l’unique réel x tel que b^x=10
Comme l’unique réel x tel que 10^x=b

Comme l’unique réel x tel que 10^x=b

Explication

Le logarithme décimal de b est précisément l’unique solution de l’équation 10^x=b. La définition impose aussi que b soit strictement positif.

2. Que définit précisément le logarithme décimal d’un nombre positif ?

C’est la transformation inverse de la fonction exponentielle en base 10.
Il s’agit de la valeur x telle que 10^x=b pour un b donné.
C’est le nombre réel auquel la puissance de 10 est égale à b.
Il s’agit de l’exposant auquel il faut élever la base 10 pour obtenir le nombre b.

Il s’agit de l’exposant auquel il faut élever la base 10 pour obtenir le nombre b.

Explication

Le logarithme décimal de b est défini comme l’exposant x tel que 10^x = b. La réponse 1 précise cette définition, tandis que la réponse 2 la reformule mais de façon erronée, et la réponse 3 est confuse avec l’idée d’une image. La réponse 4 concerne la relation inverse, mais n’est pas une définition en soi.

3. Quelle égalité caractérise l’image réciproque de la fonction logarithme décimal ?

x=log(b) si et seulement si x^10=b
x=log(b) si et seulement si 10^x=b
10=log(b) si et seulement si b^x=10
b=log(x) si et seulement si 10^b=x

x=log(b) si et seulement si 10^x=b

Explication

L’équivalence fondamentale est x=log(b) exactement lorsque 10^x=b. Les autres propositions inversent les rôles ou changent la base.

4. Selon la définition du logarithme décimal, à quoi correspond la valeur x si on note y=log(b) ?

x est la puissance qui donne b lorsque la base est e.
x est la solution de l’équation b^x=10.
x est la solution de l’équation 10b=x.
x est la solution de l’équation 10^x=b pour un b>0.

x est la solution de l’équation 10^x=b pour un b>0.

Explication

Le logarithme décimal de b, noté log(b), est la valeur x telle que 10^x=b pour tout b>0, c’est-à-dire qu’il est la solution de l’équation 10^x=b.

5. Comment varie la fonction logarithme décimal sur son domaine ?

Elle est strictement croissante sur ]0,+∞[
Elle est strictement décroissante sur ]0,+∞[
Elle n’est définie que pour x≥1
Elle est constante sur ]0,+∞[

Elle est strictement croissante sur ]0,+∞[

Explication

La fonction logarithme décimal est strictement croissante sur ]0,+∞[. Ainsi, si a<b alors log(a)<log(b).

6. Quel est le rôle principal de la fonction logarithme décimal dans la transformation des propriétés des puissances de 10 ?

Elle permet de calculer la racine carrée d’un nombre.
Elle sert à élever un nombre à une puissance négative.
Elle inverse la fonction exponentielle pour obtenir une racine.
Elle convertit une multiplication en une somme de logarithmes.

Elle convertit une multiplication en une somme de logarithmes.

Explication

Le logarithme décimal transforme une opération de multiplication en addition, conformément à la relation fondamentale $ ext{log}(ab) = ext{log}(a) + ext{log}(b)$, ce qui facilite notamment le traitement des produits dans les calculs.

7. Quelle limite et quelle propriété géométrique sont associées à la courbe de y=log(x) quand x tend vers 0 par valeurs positives ?

log(x) tend vers -∞ et x=0 est une asymptote verticale
log(x) tend vers 1 et x=1 est une asymptote verticale
log(x) tend vers 0 et la courbe coupe l’axe des ordonnées
log(x) tend vers +∞ et y=0 est une asymptote horizontale

log(x) tend vers -∞ et x=0 est une asymptote verticale

Explication

Quand x→0+, log(x) tend vers -∞, ce qui montre que la droite x=0 est une asymptote verticale. La courbe ne coupe pas l’axe des ordonnées car log n’est pas défini en 0.

8. À quelle date a été établie la relation fondamentale du logarithme décimal, qui relie le logarithme d’un produit à la somme des logarithmes ?

Au 21e siècle avec l’avènement des calculatrices numériques
Au milieu du 19e siècle par Bell Labs
Au début du 20e siècle
Au XVIIe siècle lors des travaux de Napier

Au XVIIe siècle lors des travaux de Napier

Explication

La relation fondamentale du logarithme décimal a été formalisée dans le contexte des travaux de John Napier au XVIIe siècle, qui a introduit les logarithmes pour simplifier les calculs.

9. En quoi la propriété du logarithme décimal selon laquelle le logarithme du quotient est la différence des logarithmes se distingue-t-elle de la propriété du logarithme d'une puissance, qui transforme une puissance en produit ?

La première concerne la division, tandis que la seconde concerne la mise en facteur d'une puissance.
La première s'applique uniquement aux quotients, alors que la seconde s'applique à toutes les puissances.
La première utilise des arguments positifs, alors que la seconde n'a pas cette restriction.
La première implique une différence, alors que la seconde implique une multiplication.

La première concerne la division, tandis que la seconde concerne la mise en facteur d'une puissance.

Explication

La propriété du logarithme du quotient concerne la division de deux nombres, transformant en différence, tandis que celle des puissances concerne la mise en facteur d'une puissance, transformant en multiplication. La première s'applique à $ rac{a}{b}$, la seconde à $a^n$, pour $a,b>0$, $n eq0$.

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Logarithme décimal — définition ?

Valeur x tel que 10^x=b pour b>0.

Définition du log décimal

Valeur x telle que 10^x=b, avec b>0.

Fonction logarithme — variation ?

Strictement croissante sur ]0,+[.

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