QCM : Analyse des limites et fonctions de référence (22 questions)

Question 1

1. Quelle est la limite de $\ln(x)$ lorsque $x\to 0^+$ ?

0

+\infty

-\infty

1

Explication

Le logarithme népérien décroît sans borne quand son argument tend vers 0 par valeurs positives. Ce n’est donc ni une limite finie ni une divergence vers $+\infty$ .

Answer

$-\infty$

Question 2

2. Quelle est la limite de $\frac1x$ lorsque $x\to 0^-$ ?

-\infty

+\infty

0^+

0^-

Explication

Quand $x$ tend vers 0 par valeurs négatives, $\frac1x$ devient très grand en valeur absolue et reste négatif. La limite est donc $-\infty$ .

Answer

$-\infty$

Question 3

3. Quelle est la limite de la suite géométrique $q^n$ quand $-1<q<1$ et $n\to +\infty$ ?

1

-\infty

+\infty

0

Explication

Si le module de $q$ est strictement inférieur à 1, les puissances $q^n$ se rapprochent de 0. Le signe de $q$ n’empêche pas cette convergence.

Answer

Quand $f(x)$ tend vers $a$ lorsque $x\to\pm\infty$

Answer

$g$ tend aussi vers $\ell$

Answer

Elle converge

Answer

Aucune racine réelle

Answer

Il est toujours strictement positif

Answer

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

Answer

Elle est négative

Answer

$x\mapsto Ce^{-ax}$ avec $C\in\mathbb{R}$

Answer

On remplace $x$ par la valeur initiale puis on résout l’équation obtenue pour $C$

Answer

L’aire sous la courbe sur cet intervalle

Answer

$\int_a^b (g-f)(x)\,dx$

Answer

$\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Answer

$V(X)=E[X^2]-(E[X])^2$

Answer

Des épreuves identiques et indépendantes

Answer

$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

Answer

Quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

Answer

$a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$

Answer

Elle ajoute `x` à la fin de la liste `L`

Question 4

4. Quand une courbe admet-elle une asymptote horizontale de la forme $y=a$ ?

Quand

f(x)

diverge vers

\pm\infty

lorsque

x\to b

Quand

f(x)

tend vers

a

lorsque

x\to\pm\infty

Quand

f(x)

est définie seulement en

x=a

Quand

f(x)

coupe l’axe des abscisses en un point unique

Explication

Une asymptote horizontale correspond à une limite finie à l’infini. Si $f(x)\to a$ quand $x\to\pm\infty$ , alors la droite $y=a$ est asymptote horizontale.

Question 5

5. Si $f(x)\le g(x)\le h(x)$ et que $f$ et $h$ ont la même limite finie $\ell$ , que peut-on conclure ?

g

tend vers

+\infty

g

n’a pas de limite

g

tend vers une valeur comprise entre 0 et 1

g

tend aussi vers

\ell

Explication

C’est le théorème d’encadrement : si deux fonctions qui encadrent $g$ ont la même limite finie, alors $g$ a cette même limite. La valeur de $\ell$ est donc conservée.

Question 6

6. Si une suite $(u_n)$ est croissante et majorée, quelle propriété possède-t-elle ?

Elle oscille sans limite

Sa limite est forcément égale au majorant

Elle converge

Elle diverge nécessairement

Explication

Une suite monotone bornée converge. Le majorant borne la suite, mais la limite n’est pas forcément égale à ce majorant.

Question 7

7. Quelle est la condition indiquée par le discriminant pour une équation du second degré lorsque $\Delta<0$ ?

Une racine réelle double

Une racine réelle et une racine complexe

Aucune racine réelle

Deux racines réelles distinctes

Explication

Quand $\Delta<0$ , le trinôme n’admet pas de solution réelle. Dans ce cas, son signe est celui de $a$ partout.

Question 8

8. Que vaut $e^x$ pour tout réel $x$ ?

Il peut être négatif si

x<0

Il est nul pour

x=0

Il est toujours strictement positif

Il est toujours supérieur ou égal à 1

Explication

La fonction exponentielle ne prend jamais de valeur nulle ou négative : $e^x>0$ pour tout réel $x$ . À $x=0$ , on obtient $e^0=1$ , pas 0.

Question 9

9. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

y=f(a)(x-a)+f'(a)

y=f(a)+f'(a)

y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=f'(x)(x-a)+f(a)

Explication

L’équation de la tangente combine la pente $f'(a)$ et le point $(a,f(a))$ . La forme correcte est donc $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Question 10

10. Que peut-on dire d’une fonction concave à propos de sa dérivée seconde ?

Elle est toujours croissante

Elle est nulle partout

Elle est négative

Elle est positive

Explication

Une fonction concave se caractérise par une dérivée décroissante, ce qui correspond à une dérivée seconde négative. À l’inverse, une fonction convexe a une dérivée seconde positive.

Question 11

11. Quelle est la forme générale des solutions de l’équation différentielle $y'+ay=0$ ?

$x\mapsto ax+C$ avec $C\in\mathbb{R}$

$x\mapsto \frac{C}{x+a}$ avec $C\in\mathbb{R}$

$x\mapsto Ce^{-ax}$ avec $C\in\mathbb{R}$

$x\mapsto Ce^{ax}$ avec $C\in\mathbb{R}$

Explication

Pour une équation homogène du type $y'+ay=0$, les solutions sont exponentielles et s’écrivent $Ce^{-ax}$. La forme $Ce^{ax}$ correspondrait à une autre équation.

Question 12

12. Comment détermine-t-on la constante d’une solution générale après avoir trouvé une condition initiale ?

On intègre l’équation une deuxième fois pour obtenir $C$

On remplace $x$ par la valeur initiale puis on résout l’équation obtenue pour $C$

On dérive la solution générale et on annule la dérivée

On remplace directement $C$ par la valeur initiale

Explication

Une condition initiale consiste à évaluer la solution en un point donné, ce qui permet de calculer la constante $C$. On ne la trouve pas par dérivation supplémentaire.

Question 13

13. Que représente l’intégrale d’une fonction continue positive sur un intervalle ?

L’aire sous la courbe sur cet intervalle

La pente moyenne de la courbe sur cet intervalle

La valeur maximale de la fonction sur cet intervalle

La distance entre les extrémités de l’intervalle

Explication

Si la fonction est continue et positive, l’intégrale correspond à l’aire sous la courbe. Elle ne représente ni une pente ni une valeur maximale.

Question 14

14. Si $f\le g$ sur $[a,b]$, quelle expression donne l’aire comprise entre les deux courbes ?

$\int_a^b \frac{g(x)}{f(x)}\,dx$

$\int_a^b (f-g)(x)\,dx$

$\int_a^b f(x)g(x)\,dx$

$\int_a^b (g-f)(x)\,dx$

Explication

L’aire entre deux courbes se calcule avec la différence « courbe du dessus moins courbe du dessous », donc $\int_a^b (g-f)\,dx$. L’expression $\int_a^b (f-g)\,dx$ donnerait l’opposé.

Question 15

15. Comment se calcule la probabilité de $B$ sachant $A$ ?

$P(A)\times P(B)$

$P(A\cup B)$

$\dfrac{P(B)}{P(A)}$

$\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Explication

La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est définie par $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Le produit $P(A)P(B)$ correspond au cas d’indépendance.

Question 16

16. Quelle formule donne la variance d’une variable aléatoire $X$ ?

$V(X)=\sqrt{E[X^2]}$

$V(X)=E[X]-E[X^2]$

$V(X)=E[X^2]-(E[X])^2$

$V(X)=E[X]\times E[X^2]$

Explication

La variance s’écrit $V(X)=E[(X-E(X))^2]=E[X^2]-(E[X])^2$. Cette formule mesure la dispersion autour de l’espérance.

Question 17

17. Dans un schéma de Bernoulli, quelles sont les épreuves répétées ?

Des épreuves toutes différentes mais équiprobables

Des épreuves identiques et indépendantes

Des épreuves dépendantes et de probabilités variables

Des épreuves sans notion de succès ou d’échec

Explication

Un schéma de Bernoulli repose sur des épreuves identiques et indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès fixée. Les épreuves dépendantes ne conviennent pas à ce cadre.

Question 18

18. Si $X\sim B(n,p)$, quelle formule donne $P(X=k)$ ?

$np(1-p)$

$\binom{n}{k}(1-p)^k p^{n-k}$

$p^k(1-p)^k$

$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

Explication

La loi binomiale s’écrit $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Les autres expressions confondent la loi avec des moments ou inversent les puissances.

Question 19

19. Quand peut-on affirmer que deux droites de l’espace sont parallèles ?

Quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

Quand elles ont la même longueur

Quand elles appartiennent au même repère

Quand leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux

Explication

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. L’orthogonalité indique au contraire une direction perpendiculaire.

Question 20

20. Quelle est l’équation d’un plan de vecteur normal $(a,b,c)$ passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ ?

$ax+by+cz=1$

$x+y+z=0$

$a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$

$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2=0$

Explication

L’équation cartésienne d’un plan s’écrit avec un vecteur normal et un point du plan sous la forme $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$. Les autres propositions ne décrivent pas un plan général.

Question 21

21. Quel indice permet d’accéder au premier élément d’une liste en Python ?

len(L)

0

1

-1

Explication

En Python, les indices commencent à 0, donc le premier élément est à l’indice 0. L’indice -1 désigne au contraire le dernier élément.

Question 22

22. Que réalise l’instruction `L.append(x)` sur une liste `L` ?

Elle ajoute `x` à la fin de la liste `L`

Elle remplace tous les éléments de `L` par `x`

Elle supprime la première occurrence de `x` dans `L`

Elle insère `x` au début de la liste `L`

Explication

La méthode `append` ajoute un élément à la fin de la liste. La suppression de la première occurrence correspond plutôt à `remove(x)`.

QCM : Analyse des limites et fonctions de référence (22 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la limite de $\ln(x)$ lorsque $x\to 0^+$ ?

2. Quelle est la limite de $\frac1x$ lorsque $x\to 0^-$ ?

3. Quelle est la limite de la suite géométrique $q^n$ quand $-1<q<1$ et $n\to +\infty$ ?

4. Quand une courbe admet-elle une asymptote horizontale de la forme $y=a$ ?

5. Si $f(x)\le g(x)\le h(x)$ et que $f$ et $h$ ont la même limite finie $\ell$ , que peut-on conclure ?

6. Si une suite $(u_n)$ est croissante et majorée, quelle propriété possède-t-elle ?

7. Quelle est la condition indiquée par le discriminant pour une équation du second degré lorsque $\Delta<0$ ?

8. Que vaut $e^x$ pour tout réel $x$ ?

9. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

10. Que peut-on dire d’une fonction concave à propos de sa dérivée seconde ?

11. Quelle est la forme générale des solutions de l’équation différentielle $y'+ay=0$ ?

12. Comment détermine-t-on la constante d’une solution générale après avoir trouvé une condition initiale ?

13. Que représente l’intégrale d’une fonction continue positive sur un intervalle ?

14. Si $f\le g$ sur $[a,b]$, quelle expression donne l’aire comprise entre les deux courbes ?

15. Comment se calcule la probabilité de $B$ sachant $A$ ?

16. Quelle formule donne la variance d’une variable aléatoire $X$ ?

17. Dans un schéma de Bernoulli, quelles sont les épreuves répétées ?

18. Si $X\sim B(n,p)$, quelle formule donne $P(X=k)$ ?

19. Quand peut-on affirmer que deux droites de l’espace sont parallèles ?

20. Quelle est l’équation d’un plan de vecteur normal $(a,b,c)$ passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ ?

21. Quel indice permet d’accéder au premier élément d’une liste en Python ?

22. Que réalise l’instruction `L.append(x)` sur une liste `L` ?

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QCM : Analyse des limites et fonctions de référence (22 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la limite de ln⁡(x)\ln(x)ln(x) lorsque x→0+x\to 0^+x→0+ ?

2. Quelle est la limite de 1x\frac1xx1​ lorsque x→0−x\to 0^-x→0− ?

3. Quelle est la limite de la suite géométrique qnq^nqn quand −1<q<1-1<q<1−1<q<1 et n→+∞n\to +\inftyn→+∞ ?

4. Quand une courbe admet-elle une asymptote horizontale de la forme y=ay=ay=a ?

5. Si f(x)≤g(x)≤h(x)f(x)\le g(x)\le h(x)f(x)≤g(x)≤h(x) et que fff et hhh ont la même limite finie ℓ\ellℓ, que peut-on conclure ?

6. Si une suite (un)(u_n)(un​) est croissante et majorée, quelle propriété possède-t-elle ?

7. Quelle est la condition indiquée par le discriminant pour une équation du second degré lorsque Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

8. Que vaut exe^xex pour tout réel xxx ?

9. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de fff au point d’abscisse aaa ?

10. Que peut-on dire d’une fonction concave à propos de sa dérivée seconde ?

11. Quelle est la forme générale des solutions de l’équation différentielle $y'+ay=0$ ?

12. Comment détermine-t-on la constante d’une solution générale après avoir trouvé une condition initiale ?

13. Que représente l’intégrale d’une fonction continue positive sur un intervalle ?

14. Si $f\le g$ sur $[a,b]$, quelle expression donne l’aire comprise entre les deux courbes ?

15. Comment se calcule la probabilité de $B$ sachant $A$ ?

16. Quelle formule donne la variance d’une variable aléatoire $X$ ?

17. Dans un schéma de Bernoulli, quelles sont les épreuves répétées ?

18. Si $X\sim B(n,p)$, quelle formule donne $P(X=k)$ ?

19. Quand peut-on affirmer que deux droites de l’espace sont parallèles ?

20. Quelle est l’équation d’un plan de vecteur normal $(a,b,c)$ passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ ?

21. Quel indice permet d’accéder au premier élément d’une liste en Python ?

22. Que réalise l’instruction `L.append(x)` sur une liste `L` ?

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1. Quelle est la limite de $\ln(x)$ lorsque $x\to 0^+$ ?

2. Quelle est la limite de $\frac1x$ lorsque $x\to 0^-$ ?

3. Quelle est la limite de la suite géométrique $q^n$ quand $-1<q<1$ et $n\to +\infty$ ?

4. Quand une courbe admet-elle une asymptote horizontale de la forme $y=a$ ?

5. Si $f(x)\le g(x)\le h(x)$ et que $f$ et $h$ ont la même limite finie $\ell$ , que peut-on conclure ?

6. Si une suite $(u_n)$ est croissante et majorée, quelle propriété possède-t-elle ?

7. Quelle est la condition indiquée par le discriminant pour une équation du second degré lorsque $\Delta<0$ ?

8. Que vaut $e^x$ pour tout réel $x$ ?

9. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?