1. Quelle expression est un monôme ?
4x^3+7x
4x^2+3x+8
x^2+x^3
4x^3
4x^3
Explication
Un monôme est de la forme k×x^n avec un seul terme. Les autres propositions sont des sommes de plusieurs monômes, donc des polynômes.
4x^3
Explication
Un monôme est de la forme k×x^n avec un seul terme. Les autres propositions sont des sommes de plusieurs monômes, donc des polynômes.
4
Explication
Le degré d’un polynôme est le plus grand exposant de x présent dans l’expression. Ici, l’exposant maximal est 4.
ax^2+bx+c
Explication
La forme développée d’un polynôme du second degré est ax^2+bx+c avec a non nul. Les autres écritures correspondent à la forme canonique, factorisée ou incomplète.
a(x-x_1)(x-x_2)
Explication
Quand il y a deux racines réelles distinctes, la forme factorisée existe dans R et s’écrit a(x-x1)(x-x2). La forme canonique ne met pas les racines en évidence.
Décroissante puis croissante
Explication
Lorsque a>0, la parabole est tournée vers le haut : la fonction décroît jusqu’à x=\alpha puis croît. L’extrémum est alors un minimum.
La valeur \beta, atteinte pour x=\alpha
Explication
Dans la forme canonique, l’extrémum vaut \beta et il est atteint pour x=\alpha. C’est une valeur minimale si a>0 et maximale si a<0.
Un réel x0 tel que P(x0)=0
Explication
Une racine est un réel qui annule le polynôme, c’est-à-dire qui vérifie P(x0)=0. Le sommet concerne la forme canonique, pas la définition d’une racine.
Remplacer x par x0 et vérifier que P(x0)=0
Explication
Pour tester une racine, on substitue x par x0 dans P(x) et on vérifie si le résultat est nul. Le discriminant sert plutôt à étudier le nombre de racines réelles.
b^2-4ac
Explication
Le discriminant d’un trinôme du second degré est Δ=b^2-4ac. C’est lui qui permet de savoir combien de racines réelles le polynôme possède.
Il n’a aucune racine réelle
Explication
Si Δ<0, le polynôme n’admet aucune racine réelle et n’est pas factorisable dans R. Les deux autres cas correspondent respectivement à Δ>0 et Δ=0.
x1 + x2 = -b/a
Explication
Pour un trinôme du second degré admettant deux racines réelles, la somme des racines vaut bien -b/a. La quantité c/a correspond au produit des racines, pas à leur somme.
(x1 + x2)/2
Explication
L’abscisse du sommet est la moyenne des deux racines, soit (x1+x2)/2. L’expression -b/a correspond à la somme des racines, pas à l’abscisse du sommet.
Il garde un signe constant dépendant de a
Explication
Si Δ<0, le polynôme n’a aucune racine réelle et conserve donc un signe constant, déterminé par le signe de a. Il ne change pas de signe puisqu’il n’y a pas de zéro réel.
Négatif
Explication
Quand a>0, la parabole est tournée vers le haut : le polynôme est négatif entre ses deux racines réelles et positif à l’extérieur. Il est nul seulement en x1 et x2.
Mémorisez les réponses avec 14 flashcards sur Analyse des polynômes du second degré.
Monôme — définition ?
Expression de la forme $k x^n$.
Polynôme — définition ?
Somme de monômes.
Degré d’un polynôme — rôle ?
Indique la puissance maximale de $x$.
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