a(x-α)^2+β
Explication
La forme canonique d’un polynôme du second degré s’écrit bien sous la forme a(x-α)^2+β avec α et β réels. Les autres écritures correspondent à la forme développée ou factorisée.
-b/(2a)
Explication
En complétant le carré, on obtient α=-b/(2a). La quantité -Δ/(4a) correspond plutôt à β.
b^2-4ac
Explication
Le discriminant est défini par Δ=b^2-4ac. C’est lui qui permet de déterminer le nombre de solutions réelles.
L’équation admet une seule solution réelle
Explication
Si Δ=0, l’équation admet une solution unique, donnée par x0=-b/(2a). Les deux solutions distinctes apparaissent seulement quand Δ>0.
a(x-x1)(x-x2)
Explication
Quand Δ>0, le polynôme se factorise en a(x-x1)(x-x2) avec deux racines réelles distinctes. Le carré a lieu uniquement quand Δ=0.
Il s’écrit sous la forme a(x-x0)^2
Explication
Si Δ=0, les deux racines coïncident et le polynôme s’écrit a(x-x0)^2. Ce n’est donc pas un produit de deux facteurs distincts.
Un réel qui annule le polynôme
Explication
Une racine est un réel x1 tel que f(x1)=0. C’est donc exactement une valeur qui annule le polynôme.
Deux
Explication
Un polynôme du second degré peut avoir au plus deux racines réelles. C’est une propriété fondamentale liée à son degré.
x-x1
Explication
Si x1 annule f, alors le facteur associé est x-x1. C’est le lien direct entre racine et factorisation.
-b/a
Explication
Pour un polynôme ax^2+bx+c, la somme des racines vaut -b/a. Le produit, lui, vaut c/a.
x1 + x2 = -b/a
Explication
La somme des racines d’un trinôme ax²+bx+c vaut bien -b/a. Le quotient c/a correspond au produit des racines, pas à leur somme.
x1x2 = c/a
Explication
Le produit des racines d’un polynôme du second degré est égal à c/a. La somme, elle, est donnée par -b/a.
Mémorisez les réponses avec 12 flashcards sur Analyse des racines du second degré.
Forme canonique — définition ?
Écriture $f(x)=a(x- ext{α})^2+ ext{β}$ avec $ ext{α,β}$ réels.
Discriminant — rôle ?
Détermine le nombre de solutions réelles.
Forme canonique — calcul ?
Compléter le carré : $ ext{α}=-b/(2a)$, $ ext{β}=- rac{ ext{Δ}}{4a}$.
Consultez la fiche de révision complète sur Analyse des racines du second degré.
Voir la fiche →Chimie
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