a(x+b/2a)²−(b²−4ac)/(4a²)
Explication
La forme canonique s’écrit bien sous la forme d’un carré complété, avec le terme constant lié au discriminant. Les autres propositions modifient le signe ou la structure de la formule.
Le nombre et la nature des racines réelles
Explication
Le discriminant sert à savoir s’il existe zéro, une ou deux racines réelles, et s’il y a racine double ou non. Il ne donne pas seulement le sommet, même s’il intervient aussi dans la forme canonique.
Les abscisses des points d’intersection avec l’axe des abscisses
Explication
Résoudre p(x)=0 revient à trouver les abscisses où la parabole coupe l’axe des abscisses. Ce ne sont ni les ordonnées du sommet ni les intersections avec l’axe des ordonnées.
Lorsque Δ=0
Explication
Quand le discriminant est nul, les deux solutions se confondent en une racine unique, dite double. Si Δ>0, il y a deux racines distinctes ; si Δ<0, il n’y a pas de racine réelle.
a(x−x₁)(x−x₂)
Explication
Quand le discriminant est positif, le trinôme se met en produit de deux facteurs linéaires correspondant aux deux racines réelles. La forme a(x−x₀)² est réservée au cas Δ=0.
x₂=P/x₁
Explication
Le produit des racines vaut P, donc x₁x₂=P et on en déduit x₂=P/x₁. Les autres relations ne correspondent pas à la formule donnée pour le trinôme.
−b/a
Explication
Pour deux racines réelles distinctes, la somme S vaut −b/a. Le rapport c/a correspond au produit des racines, pas à leur somme.
c/a
Explication
Le produit P des racines est égal à c/a quand les deux racines sont réelles et distinctes. La quantité −b/a correspond, elle, à leur somme.
Le signe de a
Explication
Pour un trinôme à deux racines réelles, p(x) prend le signe de a à l’extérieur des racines et le signe opposé à l’intérieur. Ce n’est donc pas toujours positif.
Le signe de a sur tout ℝ
Explication
Quand le discriminant est négatif, il n’y a pas de racines réelles et le trinôme garde le même signe que a sur tout l’ensemble des réels. La racine double correspond au cas Δ=0, pas Δ<0.
Elle est tournée vers le haut et admet un minimum
Explication
Si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut. Elle admet donc une valeur minimale au sommet, et non un maximum.
Elle tend vers moins l’infini aux deux extrémités et admet un maximum
Explication
Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas, donc p(x) tend vers -∞ quand x tend vers ±∞ et la valeur au sommet est un maximum. L’option du minimum correspond au cas a > 0.
Mémorisez les réponses avec 12 flashcards sur Analyse des racines et de la parabole du second degré.
Forme canonique — définition ?
Représentation comme un carré complété plus une constante.
Discriminant — rôle ?
Détermine le nombre et la nature des racines.
Racines du trinôme — équation ?
Solutions de p(x)=0, intersections avec l'axe des abscisses.
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