Fiche de révision : Analyse des Séries Temporelles et Modèles Linéaires

📋 Plan du Cours

1. Corrélation linéaire et coefficient r
2. Droite de régression et méthode des moindres carrés
3. Limites du modèle de tendance linéaire
4. Variations saisonnières et désaisonnalisation
5. Moyennes mobiles et lissage des séries
6. Recherche de tendance après élimination saisonnière
7. Méthode des rapports au trend
8. Moyennes périodiques des coefficients saisonniers

📖 1. Corrélation linéaire et coefficient r

🔑 Notions clés & Définitions

• Corrélation linéaire : La corrélation linéaire mesure l’intensité d’une relation de dépendance entre deux variables, supposée de forme linéaire.
• Coefficient de corrélation r : Le coefficient de corrélation linéaire r quantifie la force et le sens de la relation entre y et x.
• Variables x et y : Les variables x et y représentent respectivement la variable connue et le volume des ventes à expliquer.
• Relation parfaite linéaire : Une relation parfaite linéaire correspond à un ajustement exact de y en fonction de x sans erreur.

📝 Points essentiels

• Le coefficient r est calculé à partir des écarts à la moyenne : r = Σ((xi−moy(x))*(yi−moy(y))) / √(Σ(xi−moy(x))^2 * Σ(yi−moy(y))^2).
• Le coefficient r est toujours compris entre −1 et 1.
• Si r = 0, les variables sont dites indépendantes et la prévision n’est pas possible car aucune relation n’est détectée.
• Si r = 1, la relation entre x et y est parfaite et évolue dans le même sens.
• Si r = −1, la relation est parfaite mais négative : quand x augmente, y diminue dans les mêmes proportions.
• Si 0 < r < 1, la corrélation est positive ; si −1 < r < 0, elle est négative.

💡 Astuce mémo

Signe de r = sens : + même sens, − sens opposé, 0 pas de lien.

📖 2. Droite de régression et méthode des moindres carrés

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite de régression : La droite de régression est l’équation $y=ax+b$ qui décrit la tendance linéaire reliant y à x.
• Tendance ou trend : La tendance (trend) est la composante linéaire estimée de la série, obtenue via l’ajustement.
• Méthode des moindres carrés : La méthode des moindres carrés estime la droite $y=ax+b$ en choisissant a et b pour minimiser les écarts.
• Pente a : La pente a mesure la variation moyenne de y quand x augmente d’une unité.
• Ordonnée à l’origine b : L’ordonnée à l’origine b est la valeur estimée de y quand x vaut 0 sur le repère utilisé.

📝 Points essentiels

• La relation linéaire s’écrit $y=ax+b$ et sert d’équation d’ajustement (droite de régression).
• La pente s’obtient par $a=\dfrac{\sum (xi-moy(x))*(yi-moy(y))}{\sum (xi-moy(x))^2}$.
• L’ordonnée à l’origine se calcule par $b=moy(y)-a*moy(x)$.
• Le modèle relie le volume des ventes y à une variable connue x (temps, prix, ventes d’un autre produit, budget publicitaire).
• La droite de régression fournit une valeur tendancielle $Va$ pour chaque rang x (ou temps) considéré.
• L’ajustement par moindres carrés est présenté comme le point de départ pour traiter ensuite les variations saisonnières.

💡 Astuce mémo

Moindres carrés → $a$ via covariance/variance de x, puis $b$ via moyenne : $b=moy(y)-a*moy(x)$.

📖 3. Limites du modèle de tendance linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse de continuité de la tendance : L’hypothèse de continuité suppose que la tendance observée dans le passé se maintiendra dans le futur.
• Perturbations du marché : Les perturbations du marché sont des changements externes susceptibles de casser la relation passée entre x et y.
• Innovations technologiques majeures : Les innovations technologiques majeures sont un exemple de facteur pouvant modifier durablement les ventes.
• Arrivée de nouveaux concurrents : L’arrivée de nouveaux concurrents est un exemple de changement concurrentiel pouvant perturber la tendance.
• Évolutions sociologiques des consommateurs : Les évolutions sociologiques des consommateurs sont un exemple de facteur de demande pouvant rendre la tendance passée non prédictive.

📝 Points essentiels

• Le modèle suppose que la tendance des années passées sera confirmée dans les années futures.
• Le modèle suppose qu’aucun élément déterminant ne viendra perturber le marché dans les prochaines années.
• Des innovations technologiques majeures peuvent invalider la projection de la tendance.
• L’arrivée de nouveaux concurrents peut modifier la relation entre la variable explicative et les ventes.
• Des évolutions sociologiques des consommateurs peuvent changer les niveaux de ventes indépendamment du trend.
• Ces limites sont formulées comme des risques de rupture de la stabilité du marché.

💡 Astuce mémo

Si le marché change, le trend linéaire casse : innovations, concurrents, sociologie.

📖 4. Variations saisonnières et désaisonnalisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Variations saisonnières : Les variations saisonnières sont des fluctuations périodiques dues au rythme des saisons ou à des habitudes humaines.
• Périodicité annuelle : La périodicité annuelle désigne un cycle qui se répète chaque année, rendant la saisonnalité repérable.
• Désaisonnalisation : La désaisonnalisation est l’élimination de l’effet saisonnier pour faire apparaître les autres causes de variation.
• Indice saisonnier : L’indice saisonnier mesure le rapport entre la valeur observée et la valeur tendancielle ajustée.
• Tendance générale : La tendance générale est la composante non saisonnière estimée avant de calculer les indices saisonniers.

📝 Points essentiels

• De nombreux phénomènes présentent des variations périodiques annuelles (ex : production agricole, ventes de parapluies ou de skis).
• Les variations peuvent aussi venir de facteurs humains liés aux traditions ou habitudes (ex : jouets, emploi).
• Si l’ampleur des variations est à peu près constante, on peut les exprimer mathématiquement pour les éliminer.
• La désaisonnalisation est présentée comme un préalable nécessaire à toute prévision d’un phénomène saisonnier.
• La représentation graphique aide à visualiser la configuration globale et à repérer une régularité.
• Dès que l’évolution n’est pas totalement désordonnée, on peut déterminer la tendance.

💡 Astuce mémo

Saisonnalité = cycle régulier ; désaisonnaliser = enlever le cycle pour voir le reste.

📖 5. Moyennes mobiles et lissage des séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyennes mobiles : Les moyennes mobiles remplacent chaque observation par la moyenne (ou le total) des p observations voisines pour lisser la série.
• Paramètre p : Le paramètre p fixe l’ordre du lissage, c’est-à-dire le nombre d’observations utilisées pour chaque moyenne mobile.
• Moyenne mobile centrée : La moyenne mobile centrée utilise un groupe de p observations dont l’observation courante est le centre.
• Moyenne mobile non centrée : La moyenne mobile non centrée remplace une observation par la moyenne d’un groupe de p observations sans symétrie autour du centre.
• Courbe lissée : La courbe lissée est la représentation obtenue après application des moyennes mobiles, plus régulière que la série brute.

📝 Points essentiels

• La méthode des moyennes mobiles est dite particulièrement efficace pour lisser des séries longues avec de fortes variations d’une observation à l’autre.
• On remplace chaque observation par le total ou la moyenne des p dernières observations.
• Il existe autant de moyennes mobiles que de choix possibles pour le paramètre p.
• Plus p est élevé, plus la courbe obtenue est lisse et peut être assimilée à une tendance.
• Si p est impair, il n’y a pas de différence entre moyenne mobile centrée et non centrée.
• Si p est pair, la moyenne mobile centrée d’ordre 4 utilise des demi-pondérations aux extrêmes : $MMC_i=\frac{1}{2}x_{i-2}+x_{i-1}+x_i+x_{i+1}+\frac{1}{2}x_{i+2}$ (avec le facteur $/4$ dans l’écriture du cours).

💡 Astuce mémo

p grand → lissage fort ; p impair → centré = non centré ; p pair → demi-pondérations aux extrêmes.

📖 6. Recherche de tendance après élimination saisonnière

🔑 Notions clés & Définitions

• Ajustement par la droite des moindres carrés : L’ajustement par moindres carrés sert à estimer une droite de tendance à partir d’une série rendue plus régulière.
• Allongement linéaire : L’allongement linéaire est l’idée que la tendance peut être approchée par un comportement linéaire sur la période étudiée.
• Élimination des variances saisonnières : L’élimination des variances saisonnières consiste à retirer l’effet saisonnier pour ne garder que la dynamique non saisonnière.
• Désaisonnalisation préalable : La désaisonnalisation préalable est l’étape avant toute recherche de tendance sur une série saisonnière.
• Point de départ d’autres analyses : La tendance obtenue après lissage et désaisonnalisation sert de base à des traitements ultérieurs.

📝 Points essentiels

• Une série présentant un allongement linéaire (approché par le calcul des moyennes mobiles) permet de faire ressortir la tendance.
• L’ajustement par la droite des moindres carrés d’une série lissée constitue un point de départ pour d’autres analyses.
• L’élimination des variances saisonnières (désaisonnalisation) est un préalable nécessaire à la prévision d’un phénomène soumis à des fluctuations saisonnières.
• La tendance est recherchée après avoir rendu la série moins influencée par le cycle saisonnier.
• Le cours relie explicitement l’approche par moyennes mobiles à la recherche de tendance.
• La désaisonnalisation vise à isoler les autres causes de variation que la saisonnalité.

💡 Astuce mémo

Désaisonnaliser d’abord, puis ajuster : trend = ce qui reste après le cycle.

📖 7. Méthode des rapports au trend

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode des rapports au trend : La méthode des rapports au trend calcule des indices saisonniers comme rapports entre valeurs observées et valeurs tendancielles.
• Valeur observée Vo : La valeur observée Vo est la donnée réelle de la série au moment considéré.
• Valeur ajustée Va : La valeur ajustée Va est la valeur correspondant à la tendance estimée pour la même période.
• Indice saisonnier Is : L’indice saisonnier Is est le rapport $Is=Vo/Va$ qui mesure l’écart saisonnier relatif à la tendance.
• Coefficient saisonnier moyen : Le coefficient saisonnier moyen est la moyenne des indices saisonniers de même rang (même saison dans le cycle).

📝 Points essentiels

• La tendance générale est d’abord approchée, puis on calcule $Is=Vo/Va$ pour chaque observation.
• Le coefficient saisonnier est obtenu comme la moyenne des indices saisonniers de même rang.
• Pour prévoir, on prolonge la droite de tendance pour obtenir une valeur tendancielle.
• On saisonnalise la valeur tendancielle en la multipliant par le coefficient saisonnier.
• La désaisonnalisation peut aussi s’écrire : Valeur désaisonnalisée = Vo / coefficient saisonnier.
• L’exemple utilise un trend $y=10.37x+132.10$ et des coefficients saisonniers moyens par trimestre pour produire des prévisions de l’année N.

💡 Astuce mémo

Rapport au trend : $Is=Vo/Va$ ; ensuite prévision = trend × coefficient saisonnier.

📖 8. Moyennes périodiques des coefficients saisonniers

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique des rapports : Les coefficients saisonniers de chaque période sont déterminés en faisant la moyenne arithmétique de rapports liés à cette période.
• Coefficient saisonnier C : Le coefficient saisonnier C d’une période est un facteur multiplicatif reliant la période à la moyenne globale.
• Moyenne trimestrielle : La moyenne trimestrielle est la moyenne des ventes sur l’ensemble des périodes, utilisée comme base de comparaison.
• Rapport période sur moyenne : Le rapport période/moyenne compare les ventes d’une période à la moyenne globale pour obtenir un facteur saisonnier.
• Structure saisonnière : La structure saisonnière regroupe les ventes par périodes (ex : trimestres) sur plusieurs années.

📝 Points essentiels

• Le coefficient de chaque période est déterminé par la moyenne arithmétique des rapports entre les données de la période et la moyenne de toutes les observations.
• Dans l’exemple, la moyenne trimestrielle vaut $39\,802/4=9\,950.50$.
• Pour le premier trimestre, $C1=6\,967/9\,950.50=0.70$.
• Pour le deuxième trimestre, $C2=13\,930/9\,950.50=1.40$.
• Pour le troisième trimestre, $C3=11\,940/9\,950.50=1.20$.
• Pour le quatrième trimestre, $C4=6\,965/9\,950.50=0.70$.

💡 Astuce mémo

C = (ventes de la période) / (moyenne globale) ; <1 sous-saisonnalité, >1 sur-saisonnalité.

📊 Tableaux de synthèse

Lien entre r et sens de la relation

Centrage des moyennes mobiles selon la parité de p

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre r et le coefficient saisonnier : r mesure la relation linéaire entre x et y, tandis que l’indice/coefficient saisonnier corrige la tendance pour la saisonnalité.
2. Croire que r = 0 signifie “faible corrélation” : le cours dit explicitement indépendance et donc prévision non possible.
3. Oublier que la droite de régression est $y=ax+b$ et que a et b se calculent via moyennes et sommes d’écarts.
4. Appliquer la désaisonnalisation sans avoir d’abord estimé une tendance (trend) : la méthode des rapports au trend suppose Va disponible.
5. Prendre une moyenne mobile centrée comme une moyenne mobile non centrée quand p est pair : le cours impose des demi-pondérations aux extrêmes.
6. Multiplier par le coefficient saisonnier au mauvais sens : en prévision, la valeur tendancielle est multipliée par le coefficient saisonnier (et la désaisonnalisation se fait par division).

✅ Checklist Examen

1. Savoir interpréter r : bornes (−1 à 1), cas r=0, r=1, r=−1 et le sens quand r est positif ou négatif.
2. Savoir écrire et utiliser la droite de régression $y=ax+b$ et calculer a et b avec les formules données.
3. Expliquer la limite du modèle linéaire : hypothèse de continuité et exemples de perturbations (innovations, concurrents, sociologie).
4. Identifier les variations saisonnières et justifier la désaisonnalisation comme préalable à la prévision.
5. Calculer une moyenne mobile (totale ou moyenne) à partir d’un paramètre p et décrire l’effet de p sur le lissage.
6. Différencier moyenne mobile centrée et non centrée selon que p est impair ou pair, et appliquer la formule donnée pour p=4.
7. Décrire la logique “moyennes mobiles → tendance” puis “désaisonnalisation préalable” pour retrouver une tendance exploitable.
8. Appliquer la méthode des rapports au trend : calcul de $Is=Vo/Va$, obtention du coefficient saisonnier moyen, puis prévision trend × coefficient.
9. Réaliser une désaisonnalisation par division : valeur désaisonnalisée = Vo / coefficient saisonnier.
10. Calculer des coefficients saisonniers par moyennes périodiques : C = (ventes de la période) / (moyenne globale) et interpréter les valeurs <1 et >1.