Fiche de révision : Analyse des suites arithmétiques et géométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition des suites et modes de définition
2. Suites arithmétiques : raison, formule et somme
3. Suites géométriques : raison, formule et somme
4. Limites des suites arithmétiques et géométriques

📖 1. Définition des suites et modes de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, indexée par le rang $n\in\mathbb{N}$.
• Terme de rang n : Le terme de rang $n$ est la valeur associée à l’indice $n$ dans la suite, notée $u_n$.
• Définition explicite : Une définition explicite donne directement $u_n$ sous la forme $u_n=f(n)$ en fonction du rang.
• Définition par récurrence : Une définition par récurrence relie $u_{n+1}$ à $u_n$ via une relation du type $u_{n+1}=f(u_n)$.

📝 Points essentiels

• Une suite numérique est notée $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ avec $u_n$ terme de rang $n$.
• Définition explicite : $u_n=f(n)$ donne $u_n$ directement à partir de $n$.
• Définition par récurrence : $u_{n+1}=f(u_n)$ calcule le terme suivant à partir du précédent.
• Les deux modes de définition décrivent la même suite mais avec des informations de départ différentes.

💡 Astuce mémo

Explicite = je calcule avec n ; Récurrence = je calcule avec u.

📖 2. Suites arithmétiques : raison, formule et somme

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante.
• Raison : La raison d’une suite arithmétique est le nombre constant $r$ tel que $u_{n+1}=u_n+r$.
• Somme des termes : La somme des termes d’une suite arithmétique additionne les valeurs $u_0$ à $u_n$.

📝 Points essentiels

• Condition caractéristique : $u_{n+1}=u_n+r$ avec $r$ constant.
• Formule explicite : $u_n=u_0+nr$.
• Sens de variation : $r>0$ croissante, $r<0$ décroissante, $r=0$ constante.
• Somme : $S=u_0+u_1+\cdots+u_n=\dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$.
• La somme utilise $u_0$ et $u_n$ (pas seulement $u_0$ et $r$).

💡 Astuce mémo

Arithmétique = addition constante : $u_n=u_0+nr$.

📖 3. Suites géométriques : raison, formule et somme

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite où le quotient entre deux termes consécutifs est constant.
• Raison : La raison d’une suite géométrique est le nombre constant $q$ tel que $u_{n+1}=qu_n$.
• Somme des termes : La somme des termes d’une suite géométrique additionne les valeurs $u_0$ à $u_n$.

📝 Points essentiels

• Condition caractéristique : $u_{n+1}=qu_n$ avec $q$ constant.
• Formule explicite : $u_n=u_0\,q^n$.
• Sens de variation (si $u_0>0$) : $q>1$ croissante, $0<q<1$ décroissante, $q=1$ constante.
• Somme (valable si $q\neq 1$) : $S=u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\,\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
• La formule de somme géométrique dépend de $q^{n+1}$ et exige $q\neq 1$.

💡 Astuce mémo

Géométrique = multiplication constante : $u_n=u_0 q^n$.

📖 4. Limites des suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une suite : La limite d’une suite décrit vers quelle valeur (ou vers quel comportement) les termes $u_n$ tendent quand $n$ devient grand.
• Comportement asymptotique : Le comportement asymptotique est la tendance des termes pour $n\to\infty$, comme aller vers $0$, $+\infty$, $-\infty$ ou osciller.

📝 Points essentiels

• Suite arithmétique : si $r>0$ alors $u_n\to+\infty$.
• Suite arithmétique : si $r<0$ alors $u_n\to-\infty$.
• Suite géométrique : si $|q|<1$ alors $u_n\to 0$.
• Suite géométrique : si $q>1$ alors $u_n\to+\infty$.
• Suite géométrique : si $q<-1$ alors la suite n’a pas de limite (elle oscille).

💡 Astuce mémo

Arithmétique : signe de $r$ décide $\pm\infty$ ; Géométrique : $|q|<1$ mène à $0$.

📊 Tableaux de synthèse

Arithmétique vs géométrique

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre raison $r$ (différence constante) et raison $q$ (multiplication constante).
2. Oublier la condition $q\neq 1$ dans la formule de somme des suites géométriques.
3. Se tromper de sens de variation en géométrique : les règles données supposent $u_0>0$.
4. Utiliser une formule de somme arithmétique avec $u_n$ au mauvais endroit (il faut $\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$).
5. Dire qu’une suite géométrique avec $q<-1$ a une limite alors qu’elle oscille.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une suite arithmétique et identifier la raison $r$ à partir de $u_{n+1}-u_n$.
2. Savoir écrire la formule explicite d’une suite arithmétique $u_n=u_0+nr$ et déterminer son sens de variation via le signe de $r$.
3. Savoir calculer la somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_n$ d’une suite arithmétique avec $\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$.
4. Savoir reconnaître une suite géométrique et identifier la raison $q$ à partir de $u_{n+1}/u_n$.
5. Savoir écrire la formule explicite d’une suite géométrique $u_n=u_0 q^n$ et déterminer son sens de variation (avec l’hypothèse $u_0>0$).
6. Savoir calculer la somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_n$ d’une suite géométrique pour $q\neq 1$ avec $u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
7. Savoir donner les limites des suites arithmétiques selon le signe de $r$ et celles des suites géométriques selon $|q|$, $q>1$ et $q<-1$.
8. Savoir étudier la croissance d’une suite en étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$.
9. Savoir montrer qu’une suite est bornée en exhibant un majorant $M$ tel que $u_n\le M$.
10. Savoir appliquer le raisonnement par récurrence : initialisation, hérédité, conclusion pour tout $n$.