QCM : Analyse des suites arithmétiques et géométriques — 10 questions

Question 1

1. Quelle relation caractérise une suite arithmétique ?

Un terme s’obtient en multipliant le terme précédent par une constante

Le quotient de deux termes consécutifs est constant

Chaque terme est la somme des deux précédents

Un terme s’obtient en ajoutant une constante au terme précédent

Explication

Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme au suivant en ajoutant une même raison. La multiplication constante correspond au contraire à une suite géométrique.

Answer

Un terme s’obtient en ajoutant une constante au terme précédent

Question 2

2. Dans une suite géométrique de premier terme U₀ et de raison q, quelle expression donne Uₙ ?

Uₙ = U₀ + qⁿ

Uₙ = q + nU₀

Uₙ = U₀qⁿ

Uₙ = U₀ + nq

Explication

Pour une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par q, d’où Uₙ = U₀qⁿ. La formule U₀ + nq correspond à une suite arithmétique.

Answer

Uₙ = U₀qⁿ

Question 3

3. Quelle formule donne la somme des termes d’une suite géométrique de premier terme et de raison q ?

Sₙ = premier + n×q

Sₙ = (n + 1)(premier + dernier) / 2

Sₙ = premier × (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q)

Sₙ = premier × (n + 1) × dernier

Explication

La somme des premiers termes d’une suite géométrique s’exprime à l’aide de la raison q par la formule premier × (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q). La formule avec le premier et le dernier terme est celle d’une suite arithmétique.

Answer

Sₙ = premier × (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q)

Question 4

4. Dans une suite arithmétique, à quoi correspond la somme des termes de rang 0 à n ?

À une somme qui dépend du premier et du dernier terme

À une somme identique au terme de rang n

À une somme égale au produit des termes consécutifs

À une somme qui dépend uniquement de la raison

Explication

Pour une suite arithmétique, la somme des premiers termes se calcule à partir du premier terme, du dernier terme et du nombre de termes. Elle ne dépend pas seulement de la raison.

Answer

À une somme qui dépend du premier et du dernier terme

Question 5

5. Comment reconnaît-on qu’une suite est croissante ?

On a Uₙ₊₁ > Uₙ pour tout n

On a Uₙ₊₁ < Uₙ pour tout n

On a Uₙ₊₁ ÷ Uₙ > 1 pour tout n

On a Uₙ₊₁ = Uₙ pour tout n

Explication

Une suite est croissante lorsque chaque terme est strictement plus grand que le précédent, donc Uₙ₊₁ > Uₙ. L’égalité caractérise une suite stationnaire.

Answer

On a Uₙ₊₁ > Uₙ pour tout n

Question 6

6. Quelle méthode permet souvent de déterminer le sens de variation d’une suite définie par une expression explicite ?

Étudier le signe de Uₙ₊₁ - Uₙ

Comparer Uₙ à 0 seulement

Calculer la limite de Uₙ sans autre étape

Étudier le signe de Uₙ × Uₙ₊₁

Explication

On compare souvent deux termes consécutifs en calculant Uₙ₊₁ - Uₙ, puis on étudie son signe. Un signe positif indique une croissance, un signe négatif une décroissance, et un signe nul une stationnarité.

Answer

Étudier le signe de Uₙ₊₁ - Uₙ

Question 7

7. Si Uₙ ≤ Vₙ à partir d’un certain rang et si Uₙ tend vers +∞, que peut-on conclure ?

Vₙ est forcément stationnaire

Vₙ converge vers une limite finie

Vₙ tend vers 0

Vₙ tend aussi vers +∞

Explication

Le théorème de comparaison permet de conclure que si une suite est minorée par une suite qui tend vers +∞, alors elle tend aussi vers +∞. L’inégalité dans le bon sens est essentielle.

Answer

Vₙ tend aussi vers +∞

Question 8

8. Que vaut la suite qⁿ lorsque -1 < q < 1 ?

Elle tend vers +∞

Elle tend vers 0

Elle tend vers 1

Elle n’a pas de limite

Explication

Quand -1 < q < 1, les puissances qⁿ tendent vers 0. Le cas q = -1 est particulier : la suite n’a pas de limite.

Answer

Elle tend vers 0

Question 9

9. Dans quel cas une suite monotone est-elle garantie convergente ?

Lorsqu’elle est croissante et minorée

Lorsqu’elle est bornée seulement

Lorsqu’elle est stationnaire uniquement

Lorsqu’elle est croissante et majorée

Explication

Une suite croissante et majorée est convergente, de même qu’une suite décroissante et minorée. La seule bornitude ne suffit pas à elle seule pour conclure.

Answer

Lorsqu’elle est croissante et majorée

Question 10

10. Quelle est la structure correcte d’une démonstration par récurrence ?

Montrer d’abord la conclusion puis l’hypothèse

Vérifier un seul rang puis conclure pour tous les rangs

Comparer deux suites sans base de départ

Montrer l’initialisation puis l’hérédité

Explication

Une preuve par récurrence comporte deux étapes : l’initialisation, puis l’hérédité, qui montre que la propriété se transmet de n à n+1. C’est ainsi qu’on établit la propriété pour tous les entiers naturels.

Answer

Montrer l’initialisation puis l’hérédité

QCM : Analyse des suites arithmétiques et géométriques — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation caractérise une suite arithmétique ?

2. Dans une suite géométrique de premier terme U₀ et de raison q, quelle expression donne Uₙ ?

3. Quelle formule donne la somme des termes d’une suite géométrique de premier terme et de raison q ?

4. Dans une suite arithmétique, à quoi correspond la somme des termes de rang 0 à n ?

5. Comment reconnaît-on qu’une suite est croissante ?

6. Quelle méthode permet souvent de déterminer le sens de variation d’une suite définie par une expression explicite ?

7. Si Uₙ ≤ Vₙ à partir d’un certain rang et si Uₙ tend vers +∞, que peut-on conclure ?

8. Que vaut la suite qⁿ lorsque -1 < q < 1 ?

9. Dans quel cas une suite monotone est-elle garantie convergente ?

10. Quelle est la structure correcte d’une démonstration par récurrence ?

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