Fiche de révision : Analyse des suites et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Suites numériques : monotonicité, arithmétique, géométrique et principe de récurrence
2. Dérivation : formules, fonctions composées, tangentes et continuité
3. Convexité, concavité, points d'inflexion et extremums locaux
4. Asymptotes et limites infinies de fonctions
5. Probabilités discrètes : dénombrement, loi binomiale, probabilité conditionnelle et espérance
6. Limites de suites : opérations, convergence, divergence, formes indéterminées et théorèmes de comparaison et d'encadrement
7. Limites usuelles de fonctions, exponentielle et théorèmes de composition et comparaison
8. Continuité des fonctions, propriétés et théorème de la bijection
9. Géométrie dans l'espace : représentation paramétrique des droites, position relative et équations cartésiennes des plans
10. Produit scalaire, orthogonalité, propriétés et applications géométriques
11. Logarithme népérien : propriétés, dérivation, limites et opérations
12. Primitives, équations différentielles et intégrales : calculs, propriétés et intégration par parties

📖 1. Suites numériques : monotonicité, arithmétique, géométrique et principe de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite monotone : Une suite numérique dont les termes sont soit toujours croissants, soit toujours décroissants, soit constants, selon que chaque terme est respectivement supérieur, inférieur ou égal au terme précédent.
• Arithmétique : La branche des mathématiques qui étudie les suites dont la différence entre deux termes consécutifs est constante, appelée raison.

📝 Points essentiels

• • Suite arithmétique : • unst = utn + m0 Somme : m (n+1) 2 Un = Umo + r (n - mo)
• • Suite géométrique : • un = un0 x q^n - mo Somme : q^m+1 - 1 9 - 1
• • Récurrence :
  • Définition
  • Initialisation -> pour n = 0
  • Hérédité -> Si Pn vrai alors Pn+1 aussi
  • Conclusion -> D'après principe de récurrence...

💡 À retenir

Comprendre les types fondamentaux de suites et le principe de récurrence est essentiel pour analyser leur comportement et démontrer des propriétés par induction.

📖 2. Dérivation : formules, fonctions composées, tangentes et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Une fonction obtenue en appliquant une fonction g à une autre fonction u, notée f = g ∘ u, dont la dérivée se calcule en multipliant la dérivée de u par la dérivée de g évaluée en u.
• Tangente : Une droite qui touche la courbe d'une fonction en un point donné et dont l'équation est y = f'(a)(x - a) + f(a), représentant la meilleure approximation linéaire locale de la fonction.
• Continuité Si f dérivable : I, alors f continue sur I

📝 Points essentiels

• L'équation de la tangente à la courbe de f en a est y = f'(a)(x - a) + f(a).
• Si une fonction est dérivable sur un intervalle I, alors elle est continue sur I.

💡 À retenir

Maîtriser les règles de dérivation et leur lien avec la continuité permet de comprendre localement le comportement des fonctions et de tracer leurs tangentes.

📖 3. Convexité, concavité, points d'inflexion et extremums locaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité : Propriété d'une fonction dont la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, caractérisée par une dérivée seconde strictement positive et une dérivée première croissante.
• Change de signe : Situation où une fonction ou sa dérivée passe d'une valeur positive à une valeur négative, ou inversement, indiquant un changement de comportement local.
• Extremum local : Cf(a) extremum local si f'(a) = 0

📝 Points essentiels

• Une fonction est convexe si sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, ce qui équivaut à f'' > 0 et f' croissante.
• Une fonction est concave si sa courbe est en dessous de chacune de ses tangentes, équivalent à f'' < 0.
• Un point d'inflexion est un point où f'' s'annule et change de signe.
• Un extremum local en a est caractérisé par f'(a) = 0 et un changement de signe de f' en a.
• Signe
  f ≥ 0 sur [a; b] => ∫_a^b f(x) dx ≥ 0
  f ≤ 0 sur [a; b] => ∫_a^b f(x) dx ≤ 0
  f ≤ g sur [a; b] => ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx

💡 À retenir

Analyser la convexité et les points d'inflexion permet de déterminer la forme locale de la fonction et d'identifier ses extremums.

📖 4. Asymptotes et limites infinies de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : valeur vers laquelle une fonction tend lorsque la variable approche une certaine valeur ou l’infini, sans diverger.
• Asymptote horizontale : droite y = a, qui devient proche de la courbe de la fonction lorsque x tend vers +∞, si lim x→+∞ f(x) = a fini.
• Asymptote verticale : droite x = b, qui devient proche de la courbe de la fonction lorsque x approche b, si lim x→b f(x) = +∞ ou -∞.
• Limites infinies : comportements où la fonction diverge vers +∞ ou -∞ aux bornes de son domaine, caractérisant son comportement asymptotique.

📝 Points essentiels

• Si lim x→+∞ f(x) = a fini, alors y = a est une asymptote horizontale à la courbe de f en +∞. Cela signifie que la valeur de f(x) se rapproche de a lorsque x devient très grand. Par exemple, pour f(x) = 1/x^n, lim x→+∞ f(x) = 0, donc y=0 est une asymptote horizontale à l’infini positif.

• Si lim x→b f(x) = +∞ ou -∞, alors x = b est une asymptote verticale. Cela indique que la fonction diverge vers l’infini ou le moins infin en approchant b. Par exemple, pour f(x) = 1/(x - b), lim x→b f(x) = +∞ ou -∞ selon le sens d’approche, ce qui montre que x=b est une asymptote verticale.

• Les limites infinies décrivent le comportement extrême des fonctions aux bornes de leur domaine. Elles permettent d’identifier si la fonction diverge ou tend vers une valeur finie, ce qui est essentiel pour comprendre leur représentation graphique et leur asymptotisme.

💡 À retenir

L’identification des asymptotes horizontales et verticales à partir des limites infinies permet de saisir le comportement extrême des fonctions et d’en prévoir la représentation graphique.

📖 5. Probabilités discrètes : dénombrement, loi binomiale, probabilité conditionnelle et espérance

🔑 Notions clés & Définitions

• Card(A) + Card : Somme des cardinaux de deux ensembles disjoints A et B, correspondant au cardinal de leur union.
• Distrib → Binom : Calculatrice : P(X

📝 Points essentiels

• Le cardinal d'une union disjointe est la somme des cardinaux, et celui d'un produit cartésien est le produit des cardinaux.
• Les permutations comptent les arrangements sans remise avec ordre, leur nombre est n!.
• La probabilité conditionnelle P_B(A) est définie par P(A ∩ B) / P(B), avec P(B) > 0.
• L'espérance d'une variable binomiale X ~ B(n,p) est E(X) = np, et l'espérance est linéaire : E(X+Y) = E(X) + E(Y).
• | | Produit cartésien | non | sans remise | bibliothèque | n × m |
• Loi de Bernoulli : Ω p → S "succès" q → S "échec" q = 1 - p
• Loi Binomiale P(X = k) = (n k) p^k (1-p)^(n-k) Calculatrice : P(X = k) → distrib → Binom Fclp P(X ≤ k) → distrib → Binom Frep
• Probabilité conditionnelle : P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• Probabilité totale P(B) = P_A1(B) × P(A1) + P_A2(B) + ...
• X est une variable aléatoire représentant le nb de succès ds une épreuve de Bernoulli.

💡 À retenir

Les outils de dénombrement et la loi binomiale sont fondamentaux pour calculer probabilités et espérances dans des expériences discrètes.

📖 6. Limites de suites : opérations, convergence, divergence, formes indéterminées et théorèmes de comparaison et d'encadrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de comparaison : Principe mathématique permettant de déduire la limite d'une fonction f(x) lorsque f est majorée ou minorée par une fonction g(x) dont la limite est connue, notamment si g(x) tend vers +∞ ou -∞ en un point donné.
• Suite convergente : Suite numérique qui admet une limite finie lorsque l'indice tend vers l'infini.
• Suite divergente : Suite numérique qui n'admet pas de limite finie, soit parce qu'elle n'a pas de limite, soit parce qu'elle tend vers +∞ ou -∞.
• Formes indéterminées : Expressions limites pour lesquelles la limite ne peut pas être déterminée directement, nécessitant une analyse approfondie, souvent par factorisation ou manipulation algébrique.

📝 Points essentiels

• La limite d'une somme, produit ou quotient de suites dépend des limites respectives, avec des cas spécifiques pour les formes indéterminées.
• Une suite convergente admet une limite finie, une suite divergente n'en admet pas ou tend vers ±∞.
• Les formes indéterminées nécessitent une analyse approfondie, souvent par factorisation.
• Le théorème de comparaison permet de déduire la limite d'une fonction majorée ou minorée par une fonction dont on connaît la limite infinie.
• Le théorème d'encadrement affirme que si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et f,h ont même limite finie l en a, alors g admet aussi la limite l en a.
• • Limite suite monotone : - (Un) une suite ↑ non majorée → diverge vers +∞ - (Un) une suite ↓ non minorée → diverge vers -∞ - (Un) une suite ↑ majorée → converge vers limite finie.

💡 À retenir

Comprendre les règles d'opérations sur les limites et les théorèmes de comparaison est clé pour analyser la convergence des suites.

📖 7. Limites usuelles de fonctions, exponentielle et théorèmes de composition et comparaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de composition : Le théorème qui affirme que si la limite de v(x) en x tend vers a est b, et si la limite de f(x) en x tend vers b est l, alors la limite de la composition f(v(x)) en x tendant vers a est égale à l.
• Limites usuelles : Lim 1/xⁿ = 0 x→+∞ lim 1/xⁿ = 0 x→-∞ lim 1/xⁿ = +∞ x→0⁺ lim 1/x²ⁿ+1 = -∞ x→0⁻ lim 1/x²ⁿ+1 = +∞ x→0⁺ lim 1/√x = 0 x→+∞
• Exponentielle :
  • Exponentielle lim eˣ = 0 x→-∞ lim eˣ = +∞ x→+∞

📝 Points essentiels

• • Théorème de composition Si lim v(x) = b et si lim = l alors lim f(x) = l x→0 x→b x→0
• --- Page 9 ---
• Théorème par encadrement : Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si f et h ont la limite finie en a alors g admet également une limite finie en a et lim g(x) = l. x→a+∞
• • Théorème de comparaison f(x) ≤ u(x) et lim u(x) = -∞ donc lim f(x) = -∞ x→m x→m x→m v(x) ≤ f(x) et lim v(x) = +∞ donc lim = +∞ x→m x→m x→m

💡 À retenir

Les limites usuelles et les théorèmes de composition et de comparaison facilitent le calcul des limites complexes en permettant d'encadrer ou de composer des fonctions, notamment avec l'exponentielle.

📖 8. Continuité des fonctions, propriétés et théorème de la bijection

🔑 Notions clés & Définitions

• Si f et g continues sur I alors : La somme, le produit, la puissance et le quotient (lorsque défini) de deux fonctions continues sur un intervalle I sont également continues sur cet intervalle.
• Continuité : La propriété d'une fonction d'avoir une valeur limite égale à sa valeur en chaque point de son domaine, assurant l'absence de rupture ou de saut.
• Théorème de la bijection : Un résultat affirmant qu'une fonction continue et monotone sur un intervalle fermé [a ; b] réalise une bijection sur son image, garantissant l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation f(x) = R dans cet intervalle lorsque R est compris entre f(a) et f(b).

📝 Points essentiels

• Les fonctions polynômes et la fonction racine carrée sont continues sur leurs domaines respectifs.
• Une fonction dérivable est continue sur son intervalle de définition.
• • Théorème de composition
• • Théorème de comparaison

💡 À retenir

Les fonctions polynômes et la fonction racine carrée sont continues sur leurs domaines respectifs.

📖 9. Géométrie dans l'espace : représentation paramétrique des droites, position relative et équations cartésiennes des plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation paramétrique d'une droite : (d) → droite passant par A (x₀ ; y₀ ; z₀) de vecteur directeur u (a ; b ; c)
• Position relative de deux droites : La relation géométrique entre deux droites dans l'espace, qui peut être déterminée en comparant leurs vecteurs directeurs pour vérifier si elles sont parallèles, orthogonales ou sécantes.
• Équation cartésienne d'un plan : Une équation de la forme ax + by + cz = 0 qui définit un plan dans l'espace, où (a, b, c) est un vecteur normal perpendiculaire au plan.

📝 Points essentiels

• Deux droites sont orthogonales si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
• L'équation cartésienne d'un plan est donnée par ax + by + cz = 0, où (a, b, c) est un vecteur normal au plan.
• Pour vérifier si un point appartient à une droite, on résout le système paramétrique avec les coordonnées du point.
• Un ensemble A est une partie de E.

💡 À retenir

La représentation paramétrique des droites et les équations cartésiennes des plans permettent d'analyser précisément la position relative des éléments géométriques dans l'espace.

📖 10. Produit scalaire, orthogonalité, propriétés et applications géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Opération bilinéaire et symétrique entre deux vecteurs, définie par le produit de leurs normes et le cosinus de l'angle entre eux.

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est défini par u·v = ||u|| ||v|| cos(θ), où θ est l'angle entre eux.
• Le produit scalaire est bilinéaire, symétrique et distribue sur l'addition.
• La norme d'un vecteur u = (a,b) est ||u|| = √(a² + b²).
• Le produit scalaire permet de calculer les projections orthogonales et de vérifier la colinéarité des vecteurs.
• • Produit scalaire de référence

💡 À retenir

Le produit scalaire est un outil fondamental pour étudier les angles, distances et orthogonalité en géométrie vectorielle.

📖 11. Logarithme népérien : propriétés, dérivation, limites et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Fonction inverse de l'exponentielle notée ln, définie pour tout réel strictement positif, qui satisfait des propriétés algébriques telles que ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) - ln(b), et ln(a^n) = n ln(a).
• Opération : Transformation mathématique appliquée à des nombres ou expressions, permettant notamment de manipuler et simplifier des expressions logarithmiques.

📝 Points essentiels

• Les opérations sur le logarithme permettent de simplifier les expressions, par exemple ln(√a) = (1/2) ln(a).
• Les propriétés algébriques du logarithme incluent ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) - ln(b), ln(a^n) = n ln(a).

💡 À retenir

Les opérations sur le logarithme permettent de simplifier les expressions, par exemple ln(√a) = (1/2) ln(a).

📖 12. Primitives, équations différentielles et intégrales : calculs, propriétés et intégration par parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Equations différentielles : Équations impliquant une fonction inconnue et ses dérivées, dont la solution générale est une famille de fonctions paramétrées.

📝 Points essentiels

• L'intégrale définie de f entre a et b est ∫_a^b f(t) dt = F(b) - F(a), où F est une primitive de f.
• La linéarité de l'intégrale permet de décomposer ∫_a^b (λ f + μ g) dx = λ ∫_a^b f dx + μ ∫_a^b g dx.
• La formule d'intégration par parties est ∫_a^b u'(x) v(x) dx = [u v]_a^b - ∫_a^b u(x) v'(x) dx.
• Intégrat° par parties
• Intégrat° par parties
  ∫_a^b u'(x) v(x) dx = uv_a^b - ∫_a^b u(x) v'(x) dx

💡 À retenir

Les primitives, équations différentielles et intégrales sont des outils clés pour résoudre des problèmes d'analyse et modéliser des phénomènes continus.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : Page 1 --- Chapitre 1 : Suites et Récurrence • Suite monotone : • u croissante si un+1 > un • u constante si un+1 = un • u décroissante si un+1 < un • Sens de variation : • un+1/un variation de f ∀n, un = f(un) un+1 comp (Source: "Page 1 --- Chapitre 1 : Suites et Récurrence • Suite monotone : • u croissante si un+1 > un • u constante si un+1 = un • u décroissante si un+1 < un • Sens de variation : • un+1/un variation de f ∀n, un = f(un) un+1 compare à 1 si : f'(emes) > 0 • Suite arithmétique : • unst = utn + m0 Somme : m (n+1) 2 Un = Umo + r (n - mo) • Suite géométrique : • un =")
2. Détail source à réviser : : • un+1/un variation de f ∀n, un = f(un) un+1 compare à 1 si : f'(emes) > 0 • Suite arithmétique : • unst = utn + m0 Somme : m (n+1) 2 Un = Umo + r (n - mo) • Suite géométrique : • un = un0 x q^n - mo Somme : q^m+1 - 1 (Source: ": • un+1/un variation de f ∀n, un = f(un) un+1 compare à 1 si : f'(emes) > 0 • Suite arithmétique : • unst = utn + m0 Somme : m (n+1) 2 Un = Umo + r (n - mo) • Suite géométrique : • un = un0 x q^n - mo Somme : q^m+1 - 1 9 - 1 • Récurrence : - Définition - Initialisation -> pour n = 0 - Hérédité -> Si Pn vrai alors Pn+1 aussi - Conclusion -> D'après")
3. Détail source à réviser : -> pour n = 0 - Hérédité -> Si Pn vrai alors Pn+1 aussi - Conclusion -> D'après principe de récurrence... --- Page 2 --- Chapitre 2 : Dérivation • Formules f(x) = x^n -> f'(x) = nx^(n-1) f(x) = 1/x -> f'(x) = -1/x^2 f(x) (Source: "-> pour n = 0 - Hérédité -> Si Pn vrai alors Pn+1 aussi - Conclusion -> D'après principe de récurrence... --- Page 2 --- Chapitre 2 : Dérivation • Formules f(x) = x^n -> f'(x) = nx^(n-1) f(x) = 1/x -> f'(x) = -1/x^2 f(x) = 1/x^n -> f'(x) = -n/x^(n+1) f(x) = √x -> f'(x) = 1/2√x f = u + v -> f' = u' + v' f = uv -> f' = u'v + uv' f = u/v -> f' = (u'v")
4. Détail source à réviser : = √x -> f'(x) = 1/2√x f = u + v -> f' = u' + v' f = uv -> f' = u'v + uv' f = u/v -> f' = (u'v - uv')/v^2 f = 1/v -> f' = -v'/v^2 • fonction composée u^n -> nu'u^(n-1) √u -> u'/2√u 1 -> -mu' u^n -> u^(n+1) e^u -> u'e^u f (Source: "= √x -> f'(x) = 1/2√x f = u + v -> f' = u' + v' f = uv -> f' = u'v + uv' f = u/v -> f' = (u'v - uv')/v^2 f = 1/v -> f' = -v'/v^2 • fonction composée u^n -> nu'u^(n-1) √u -> u'/2√u 1 -> -mu' u^n -> u^(n+1) e^u -> u'e^u f = g o u -> f' = u' x g' o u Opérations et dérivées composition Si f dérivable sur I, alors f continue s • Convexité f convexe si - Cf")
5. Détail source à réviser : et dérivées composition Si f dérivable sur I, alors f continue s • Convexité f convexe si - Cf en dessous de chacune de ses cordes - Cf au dessus de chacune de ses tangentes - f' croissante - f'' > 0 et inversement pour (Source: "et dérivées composition Si f dérivable sur I, alors f continue s • Convexité f convexe si - Cf en dessous de chacune de ses cordes - Cf au dessus de chacune de ses tangentes - f' croissante - f'' > 0 et inversement pour concave --- Page 3 --- Chapitre 2 : Dérivation • Formules f(x) = x^n -> f'(x) = nx^(n-1) f(x) = 1/x -> f'(x) = -1/x^2 • Tangente : T : y =")
6. Détail source à réviser : • Formules f(x) = x^n -> f'(x) = nx^(n-1) f(x) = 1/x -> f'(x) = -1/x^2 • Tangente : T : y = f'(a)(x - a) + f(a) • Nombres dérivés f'(a) = lim x->a (f(x) - f(a)) / (x - a) Une fonction est dérivable si elle est dérivable (Source: "• Formules f(x) = x^n -> f'(x) = nx^(n-1) f(x) = 1/x -> f'(x) = -1/x^2 • Tangente : T : y = f'(a)(x - a) + f(a) • Nombres dérivés f'(a) = lim x->a (f(x) - f(a)) / (x - a) Une fonction est dérivable si elle est dérivable en tout point. • Continuité Si f dérivable sur I, alors f continue sur I • Convexité f convexe si - Cf en dessous de chacune de ses")
7. Détail source à réviser : sur I, alors f continue sur I • Convexité f convexe si - Cf en dessous de chacune de ses cordes - Cf au dessus de chacune de ses tangentes - f' croissante - f'' > 0 et inversement pour concave --- Page 4 --- • Point d'in (Source: "sur I, alors f continue sur I • Convexité f convexe si - Cf en dessous de chacune de ses cordes - Cf au dessus de chacune de ses tangentes - f' croissante - f'' > 0 et inversement pour concave --- Page 4 --- • Point d'inflexion Point d'inflexion en A si f'' change de signe et s'annule en A. • Extremum local Cf(a) extremum local si f'(a) = 0 si f'(a)")
8. Détail source à réviser : change de signe et s'annule en A. • Extremum local Cf(a) extremum local si f'(a) = 0 si f'(a) s'annule et change de signe en a • Asymptote Si lim x->+∞ f(x) = a => y = a asymptote à f en +∞ Si lim x->b = +∞ => x = b asym (Source: "change de signe et s'annule en A. • Extremum local Cf(a) extremum local si f'(a) = 0 si f'(a) s'annule et change de signe en a • Asymptote Si lim x->+∞ f(x) = a => y = a asymptote à f en +∞ Si lim x->b = +∞ => x = b asymptote à f --- Page 5 --- Chapitre 3/5 : Dénombrement Loi Binomiale • Cardinal Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) Card(A × B) = Card(A) ×")
9. Détail source à réviser : Dénombrement Loi Binomiale • Cardinal Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) Card(A × B) = Card(A) × Card(B) | Ordre | Tirage | Exemples | Formules | |----------------|----------------|------------------------|----------------- (Source: "Dénombrement Loi Binomiale • Cardinal Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) Card(A × B) = Card(A) × Card(B) | Ordre | Tirage | Exemples | Formules | |----------------|----------------|------------------------|------------------------| | Permutation | oui | sans remise | anagramme | n! | | p-liste | oui | avec remise | digicode | n^p | | Arrangement A_p^n | oui |")
10. Détail source à réviser : | anagramme | n! | | p-liste | oui | avec remise | digicode | n^p | | Arrangement A_p^n | oui | sans remise | podium d'une course | n! / (n-p)! | | Combinaison (n p) | non | sans remise | main dans un jeu de cartes | n! (Source: "| anagramme | n! | | p-liste | oui | avec remise | digicode | n^p | | Arrangement A_p^n | oui | sans remise | podium d'une course | n! / (n-p)! | | Combinaison (n p) | non | sans remise | main dans un jeu de cartes | n! / p!(n-p)! | | Produit cartésien | non | sans remise | bibliothèque | n × m | • Loi de Bernoulli : Ω p → S "succès" q → S "échec" q = 1 -")
11. Détail source à réviser : = P(A ∩ B) / P(B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) • Probabilité totale P(B) = P_A1(B) × P(A1) + P_A2(B) + ... expérience aléatoire, répétée n fois de manière indépendante. X est une variable aléatoire représentant le n (Source: "= P(A ∩ B) / P(B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) • Probabilité totale P(B) = P_A1(B) × P(A1) + P_A2(B) + ... expérience aléatoire, répétée n fois de manière indépendante. X est une variable aléatoire représentant le nb de succès ds une épreuve de Bernoulli. X ~ B(n, p) q = 1 - p --- Page 6 --- Un ensemble A est une partie de E. H les éléments de A")
12. Détail source à réviser : X ~ B(n, p) q = 1 - p --- Page 6 --- Un ensemble A est une partie de E. H les éléments de A sont des éléments de E : A ⊂ E nb parties d'un ensemble à n éléments 2^n Succession épreuve Ω P(A1) → A1 P_A1(x) × P(X ∩ A1) = P (Source: "X ~ B(n, p) q = 1 - p --- Page 6 --- Un ensemble A est une partie de E. H les éléments de A sont des éléments de E : A ⊂ E nb parties d'un ensemble à n éléments 2^n Succession épreuve Ω P(A1) → A1 P_A1(x) × P(X ∩ A1) = P_A1(x) × P(A1) P_A1(𝑥̅) × P(X ∩ A1) = P_A1(𝑥̅) × P(A1) P(A2) → A2 P_A2(x) × P(X ∩ A2) = P_A2(x) × P(A2) P_A2(𝑥̅) × P(X ∩ A2) =")
13. Détail source à réviser : P_A1(𝑥̅) × P(A1) P(A2) → A2 P_A2(x) × P(X ∩ A2) = P_A2(x) × P(A2) P_A2(𝑥̅) × P(X ∩ A2) = P_A2(𝑥̅) × P(A2) {A1, A2} est une partition de Ω Espérance de X (espérance = moyenne) E(X) = np → somme de tt les pi (probabilit (Source: "P_A1(𝑥̅) × P(A1) P(A2) → A2 P_A2(x) × P(X ∩ A2) = P_A2(x) × P(A2) P_A2(𝑥̅) × P(X ∩ A2) = P_A2(𝑥̅) × P(A2) {A1, A2} est une partition de Ω Espérance de X (espérance = moyenne) E(X) = np → somme de tt les pi (probabilités) E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(aX) = aE(X) Exemple | x_i | -1 | 1 | 2 | 3 | 5 | | p_i | p1 | p2 | p3 | p4 | p5 | E(X) = -p1 + p2 + 2p3 + 3p4")
14. Détail source à réviser : | x_i | -1 | 1 | 2 | 3 | 5 | | p_i | p1 | p2 | p3 | p4 | p5 | E(X) = -p1 + p2 + 2p3 + 3p4 + 5p5 Moyenne x̄ = (1/N) Σ p_i x_i avec N = effectif totale (1/N) (p1 × (-1) + p2 × 1 + p3 × 2 + p4 × 3 + p5 × 5) Variance V.1 Σ p (Source: "| x_i | -1 | 1 | 2 | 3 | 5 | | p_i | p1 | p2 | p3 | p4 | p5 | E(X) = -p1 + p2 + 2p3 + 3p4 + 5p5 Moyenne x̄ = (1/N) Σ p_i x_i avec N = effectif totale (1/N) (p1 × (-1) + p2 × 1 + p3 × 2 + p4 × 3 + p5 × 5) Variance V.1 Σ p_i (x_i - x̄)^2 V = (1/N) Σ p_i x_i^2 - x̄^2 = (1/N) (p1 × (-1)^2 + p2 × 1^2 + p3 × 2^2 + p4 × 3^2 + p5 × 5^2) - x̄^2 --- Page 7 ---")
15. Détail source à réviser : - x̄^2 = (1/N) (p1 × (-1)^2 + p2 × 1^2 + p3 × 2^2 + p4 × 3^2 + p5 × 5^2) - x̄^2 --- Page 7 --- Chapitre 4 : Limite de Suite • Opérations : Les limites 1. Limite d'une somme | Si (u_n) a pour limite | l | l | l | +∞ | -∞ (Source: "- x̄^2 = (1/N) (p1 × (-1)^2 + p2 × 1^2 + p3 × 2^2 + p4 × 3^2 + p5 × 5^2) - x̄^2 --- Page 7 --- Chapitre 4 : Limite de Suite • Opérations : Les limites 1. Limite d'une somme | Si (u_n) a pour limite | l | l | l | +∞ | -∞ | +∞ | |------------------------|---|---|---|----|----|----| | et si (v_n) a pour limite | l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | | alors (u_n +")
16. Détail source à réviser : | et si (v_n) a pour limite | l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | | alors (u_n + v_n) a pour limite | l + l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | F.I | 2. Limite d'un produit | Si (u_n) a pour limite | l | l > 0 | l > 0 | l < 0 | l < 0 | +∞ (Source: "| et si (v_n) a pour limite | l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | | alors (u_n + v_n) a pour limite | l + l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | F.I | 2. Limite d'un produit | Si (u_n) a pour limite | l | l > 0 | l > 0 | l < 0 | l < 0 | +∞ | +∞ | -∞ | 0 | |------------------------|---|-------|-------|-------|-------|----|----|----|---| | et si (v_n) a")
17. Détail source à réviser : -----------------------|---|-------|-------|-------|-------|----|----|----|---| | et si (v_n) a pour limite | l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ | | alors (u_n × v_n) a pour limite | l × l' | +∞ | -∞ | -∞ | (Source: "-----------------------|---|-------|-------|-------|-------|----|----|----|---| | et si (v_n) a pour limite | l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ | | alors (u_n × v_n) a pour limite | l × l' | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ | +∞ | -∞ | +∞ | F.I | 3. Limite d'un quotient • Cas où la limite de (v_n) n'est pas nulle + / - ∞ | Si (u_n) a pour limite | l | l | +∞")
18. Détail source à réviser : • Cas où la limite de (v_n) n'est pas nulle + / - ∞ | Si (u_n) a pour limite | l | l | +∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ | |------------------------|---|---|----|----|----|----|------------| | et si (v_n) a pour limite | l' ≠ (Source: "• Cas où la limite de (v_n) n'est pas nulle + / - ∞ | Si (u_n) a pour limite | l | l | +∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ | |------------------------|---|---|----|----|----|----|------------| | et si (v_n) a pour limite | l' ≠ 0 | +∞ ou -∞ | l' > 0 | l' < 0 | l' > 0 | l' < 0 | +∞ ou -∞ | | alors (u_n / v_n) a pour limite | l / l' | 0 | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ |")
19. Détail source à réviser : l' > 0 | l' < 0 | +∞ ou -∞ | | alors (u_n / v_n) a pour limite | l / l' | 0 | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ | F.I | • Cas où la limite de (v_n) est nulle | Si (u_n) a pour limite | l > 0 ou +∞ | l > 0 ou +∞ | l < 0 ou -∞ | l < 0 ou (Source: "l' > 0 | l' < 0 | +∞ ou -∞ | | alors (u_n / v_n) a pour limite | l / l' | 0 | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ | F.I | • Cas où la limite de (v_n) est nulle | Si (u_n) a pour limite | l > 0 ou +∞ | l > 0 ou +∞ | l < 0 ou -∞ | l < 0 ou -∞ | 0 | |------------------------|--------------|--------------|--------------|--------------|---| | et si (v_n) a pour limite | 0 en")
20. Détail source à réviser : --------|--------------|--------------|--------------|---| | et si (v_n) a pour limite | 0 en restant positive (0+) | 0 en restant négative (0-) | 0 en restant positive (0+) | 0 en restant négative (0-) | 0 | | alors (u_ (Source: "--------|--------------|--------------|--------------|---| | et si (v_n) a pour limite | 0 en restant positive (0+) | 0 en restant négative (0-) | 0 en restant positive (0+) | 0 en restant négative (0-) | 0 | | alors (u_n / v_n) a pour limite | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ | F.I | (F.I. : Formes Indéterminées) --- Page 8 --- Chapitre 4 : Limite de Suite • Opérations :")
21. Détail source à réviser : | F.I | (F.I. : Formes Indéterminées) --- Page 8 --- Chapitre 4 : Limite de Suite • Opérations : 1. Limite d'une somme | Si (u_n) a pour limite | l | l | l | +∞ | -∞ | +∞ | |------------------------|---|---|---|----|---- (Source: "| F.I | (F.I. : Formes Indéterminées) --- Page 8 --- Chapitre 4 : Limite de Suite • Opérations : 1. Limite d'une somme | Si (u_n) a pour limite | l | l | l | +∞ | -∞ | +∞ | |------------------------|---|---|---|----|----|----| | et si (v_n) a pour limite | l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | | alors (u_n + v_n) a pour limite | l + l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | F.I |")
22. Détail source à réviser : +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | | alors (u_n + v_n) a pour limite | l + l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | F.I | 2. Limite d'un produit [Texte masqué par un papier] • Suite convergente : - Suite qui admet une limite finie • Suite diverge (Source: "+∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | | alors (u_n + v_n) a pour limite | l + l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | F.I | 2. Limite d'un produit [Texte masqué par un papier] • Suite convergente : - Suite qui admet une limite finie • Suite divergente : - Suite qui n'admet pas de limite - Suite qui admet une limite infinie (+/- ∞) • Formes indéterminées (FI) - factorisé par termes qui")
23. Détail source à réviser : Suite qui admet une limite infinie (+/- ∞) • Formes indéterminées (FI) - factorisé par termes qui tend (⊕) vite • Théorème de comparaison : Si f(x) ≥ g(x) et lim x→a g(x) = +∞ alors lim x→a f(x) = +∞ et inversement pour (Source: "Suite qui admet une limite infinie (+/- ∞) • Formes indéterminées (FI) - factorisé par termes qui tend (⊕) vite • Théorème de comparaison : Si f(x) ≥ g(x) et lim x→a g(x) = +∞ alors lim x→a f(x) = +∞ et inversement pour -∞ --- Page 9 --- • Théorème par encadrement : Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si f et h ont la limite finie en a alors g admet également une")
24. Détail source à réviser : : Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si f et h ont la limite finie en a alors g admet également une limite finie en a et lim g(x) = l. x→a+∞ • Limites suites arithmétiques : - si n > 0 alors Un est → +∞ - si n < 0 alors Un est → - (Source: ": Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si f et h ont la limite finie en a alors g admet également une limite finie en a et lim g(x) = l. x→a+∞ • Limites suites arithmétiques : - si n > 0 alors Un est → +∞ - si n < 0 alors Un est → -∞ • Limites suites géométriques : - si q > 1 alors lim qⁿ = +∞ - si -1 < q < 1 alors lim qⁿ = 0 - si q ≤ -1 (qⁿ) n a pas de limite. •")
25. Détail source à réviser : q > 1 alors lim qⁿ = +∞ - si -1 < q < 1 alors lim qⁿ = 0 - si q ≤ -1 (qⁿ) n a pas de limite. • Limite suite monotone : - (Un) une suite ↑ non majorée → diverge vers +∞ - (Un) une suite ↓ non minorée → diverge vers -∞ - ( (Source: "q > 1 alors lim qⁿ = +∞ - si -1 < q < 1 alors lim qⁿ = 0 - si q ≤ -1 (qⁿ) n a pas de limite. • Limite suite monotone : - (Un) une suite ↑ non majorée → diverge vers +∞ - (Un) une suite ↓ non minorée → diverge vers -∞ - (Un) une suite ↑ majorée → converge vers limite finie. - (Un) une suite ↓ majorée → converge vers limite finie. --- Page 10 --- Chapitre 6 :")
26. Détail source à réviser : finie. - (Un) une suite ↓ majorée → converge vers limite finie. --- Page 10 --- Chapitre 6 : Limite de Fonctions • Limites usuelles : lim 1/xⁿ = 0 x→+∞ lim 1/xⁿ = 0 x→-∞ lim 1/xⁿ = +∞ x→0⁺ lim 1/x²ⁿ+1 = -∞ x→0⁻ lim 1/x²ⁿ (Source: "finie. - (Un) une suite ↓ majorée → converge vers limite finie. --- Page 10 --- Chapitre 6 : Limite de Fonctions • Limites usuelles : lim 1/xⁿ = 0 x→+∞ lim 1/xⁿ = 0 x→-∞ lim 1/xⁿ = +∞ x→0⁺ lim 1/x²ⁿ+1 = -∞ x→0⁻ lim 1/x²ⁿ+1 = +∞ x→0⁺ lim 1/√x = 0 x→+∞ • Exponentielle lim eˣ = 0 x→-∞ lim eˣ = +∞ x→+∞ lim x eˣ = 0 x→0 lim eˣ/xⁿ = +∞ x→+∞ • Théorème de")
27. Détail source à réviser : lim eˣ = 0 x→-∞ lim eˣ = +∞ x→+∞ lim x eˣ = 0 x→0 lim eˣ/xⁿ = +∞ x→+∞ • Théorème de composition Si lim v(x) = b et si lim = l alors lim f(x) = l x→0 x→b x→0 • Théorème de comparaison f(x) ≤ u(x) et lim u(x) = -∞ donc lim (Source: "lim eˣ = 0 x→-∞ lim eˣ = +∞ x→+∞ lim x eˣ = 0 x→0 lim eˣ/xⁿ = +∞ x→+∞ • Théorème de composition Si lim v(x) = b et si lim = l alors lim f(x) = l x→0 x→b x→0 • Théorème de comparaison f(x) ≤ u(x) et lim u(x) = -∞ donc lim f(x) = -∞ x→m x→m x→m v(x) ≤ f(x) et lim v(x) = +∞ donc lim = +∞ x→m x→m x→m --- Page 11 --- Chapitre 7 : Continuité •")
28. Détail source à réviser : et lim v(x) = +∞ donc lim = +∞ x→m x→m x→m --- Page 11 --- Chapitre 7 : Continuité • Propriétés - f est continue si f est dérivable. - les fonctions polynômes sont continues sur R - la fonction √x est continue sur [0 ; + (Source: "et lim v(x) = +∞ donc lim = +∞ x→m x→m x→m --- Page 11 --- Chapitre 7 : Continuité • Propriétés - f est continue si f est dérivable. - les fonctions polynômes sont continues sur R - la fonction √x est continue sur [0 ; +∞[ - si f et g continues sur I alors : f + g / f × g / fⁿ → continues sur I et f/g continue sur son intervalle de déf. Théorème de la")
29. Détail source à réviser : f + g / f × g / fⁿ → continues sur I et f/g continue sur son intervalle de déf. Théorème de la bijection f continue et monotone sur [a ; b] f(a) ≤ R ≤ f(b) f(x₀) = R a une solut° unique sur [a ; b] --- Page 12 --- Chapit (Source: "f + g / f × g / fⁿ → continues sur I et f/g continue sur son intervalle de déf. Théorème de la bijection f continue et monotone sur [a ; b] f(a) ≤ R ≤ f(b) f(x₀) = R a une solut° unique sur [a ; b] --- Page 12 --- Chapitre 9 : Géométrie de l'espace • Représentation paramétrique d'une droite : (d) → droite passant par A (x₀ ; y₀ ; z₀) de vecteur directeur u")
30. Détail source à réviser : paramétrique d'une droite : (d) → droite passant par A (x₀ ; y₀ ; z₀) de vecteur directeur u (a ; b ; c) x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct → admet une infinité de représentation. • Position relative de deux droites : S (Source: "paramétrique d'une droite : (d) → droite passant par A (x₀ ; y₀ ; z₀) de vecteur directeur u (a ; b ; c) x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct → admet une infinité de représentation. • Position relative de deux droites : Soit (d₁) { x = 3 + t y = -1 + 2t et (d₂) { x = 5 + 2t' z = 2 - t z = 4t' → Vérifie si parallèles ou orthogonales u₁ (-1 ; 2 ; -1) →")
31. Détail source à réviser : { x = 5 + 2t' z = 2 - t z = 4t' → Vérifie si parallèles ou orthogonales u₁ (-1 ; 2 ; -1) → vecteur directeur (d₁) u₂ (2 ; 3 ; 4) → vecteur directeur (d₂) G pas colinéaire car -1/2 ≠ 2/3 G orthogonaux car u₁ . u₂ = 0 u₁ . (Source: "{ x = 5 + 2t' z = 2 - t z = 4t' → Vérifie si parallèles ou orthogonales u₁ (-1 ; 2 ; -1) → vecteur directeur (d₁) u₂ (2 ; 3 ; 4) → vecteur directeur (d₂) G pas colinéaire car -1/2 ≠ 2/3 G orthogonaux car u₁ . u₂ = 0 u₁ . u₂ = 2x1 x 2 + y₁ x y₂ + z₁ x z₂ → Vérifie si sécantes { 3 - t = 5 + 2t' -1 + 2t = -5 + 3t' 2 - t = 4t' Résout système formée de 2")
32. Détail source à réviser : si sécantes { 3 - t = 5 + 2t' -1 + 2t = -5 + 3t' 2 - t = 4t' Résout système formée de 2 équations E₁ 2t + t' = -2 E₁ 2t' + t = -2 E₂ 4t + t = 2 E₂ - E₁ { t = -6 t' = 2 Vérifie si troisième équation est vérifiée -1 + 2t = (Source: "si sécantes { 3 - t = 5 + 2t' -1 + 2t = -5 + 3t' 2 - t = 4t' Résout système formée de 2 équations E₁ 2t + t' = -2 E₁ 2t' + t = -2 E₂ 4t + t = 2 E₂ - E₁ { t = -6 t' = 2 Vérifie si troisième équation est vérifiée -1 + 2t = -5 + 3t' ↔ -1 + 2 × (-6) = -5 + 3 × 2 ↔ -13 = 1 --- Page 13 --- L'équation n'est pas vérifiée donc les droites ne sont pas sécantes.")
33. Détail source à réviser : 2 ↔ -13 = 1 --- Page 13 --- L'équation n'est pas vérifiée donc les droites ne sont pas sécantes. Donc (d1) et (d2) orthogonales sans être perpendiculaires • Équation cartésienne d'un plan : P : y = ax + by + cz = 0 <=> \ (Source: "2 ↔ -13 = 1 --- Page 13 --- L'équation n'est pas vérifiée donc les droites ne sont pas sécantes. Donc (d1) et (d2) orthogonales sans être perpendiculaires • Équation cartésienne d'un plan : P : y = ax + by + cz = 0 <=> $\vec{n}$ (a ; b ; c) vecteur normal au plan • Point sur une droite : M1 (-1, 3, 2) M2 (-2, 3, 4) D' { x = -4 + 3t y = 6 - 3t z = 8 - 6t")
34. Détail source à réviser : plan • Point sur une droite : M1 (-1, 3, 2) M2 (-2, 3, 4) D' { x = -4 + 3t y = 6 - 3t z = 8 - 6t Pour M1 : { -4 + 3t = -1 <=> t = 1 { 6 - 3t = 3 | Remplace t par 1 | 6 - 3 × 1 = 3 { 8 - 6t = 2 8 - 6 × 1 = 2 M1 (1, 3, 2) (Source: "plan • Point sur une droite : M1 (-1, 3, 2) M2 (-2, 3, 4) D' { x = -4 + 3t y = 6 - 3t z = 8 - 6t Pour M1 : { -4 + 3t = -1 <=> t = 1 { 6 - 3t = 3 | Remplace t par 1 | 6 - 3 × 1 = 3 { 8 - 6t = 2 8 - 6 × 1 = 2 M1 (1, 3, 2) => 3 équations satisfaites => M1 ∈ D' Pour M2 : { -4 + 3t = 2 <=> t = 2/3 { 6 - 3t = 3 | remplace t par 2/3 | 6 - 3 × 2/3 = 4 { 8 - 6t = 4")
35. Détail source à réviser : M2 : { -4 + 3t = 2 <=> t = 2/3 { 6 - 3t = 3 | remplace t par 2/3 | 6 - 3 × 2/3 = 4 { 8 - 6t = 4 8 - 6 × 2/3 = 4 M2 (2/3, 4, 4) ≠ M2 (-2, 3, 4) donc équations pas satisfaites donc M2 ∉ D'. --- Page 14 --- Chapitre 9 : Pro (Source: "M2 : { -4 + 3t = 2 <=> t = 2/3 { 6 - 3t = 3 | remplace t par 2/3 | 6 - 3 × 2/3 = 4 { 8 - 6t = 4 8 - 6 × 2/3 = 4 M2 (2/3, 4, 4) ≠ M2 (-2, 3, 4) donc équations pas satisfaites donc M2 ∉ D'. --- Page 14 --- Chapitre 9 : Produit scalaire Orthogonalité • Angle : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}$ • Projeté")
36. Détail source à réviser : \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}$• Projeté orthogonale : Si H projeté orthogonal de C sur (AB), alors :$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH$• Produit scala _(Source: "\cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}$ • Projeté orthogonale : Si H projeté orthogonal de C sur (AB), alors : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH$ • Produit scalaire de référence • $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ • $\vec{u} \cdot (\vec{k} \vec{v}) = \vec{k}")_
37. Détail source à réviser : \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$•$\vec{u} \cdot (\vec{k} \vec{v}) = \vec{k} (\vec{u} \cdot \vec{v})$•$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$•$|\vec{u} + \vec (Source: "\cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$•$\vec{u} \cdot (\vec{k} \vec{v}) = \vec{k} (\vec{u} \cdot \vec{v})$•$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$•$|\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$•$|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} +")
38. Détail source à réviser : (\vec{u} + \vec{v})$•$|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2$•$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} (AB^2 + AC^2 - BC^2)$• Orthogonalité : - 2 d _(Source: "(\vec{u} + \vec{v})$ • $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ • $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} (AB^2 + AC^2 - BC^2)$ • Orthogonalité : - 2 droites ⟂ lorsque leur parallèles respectives passent par un $\vec{m}$ puis sont perpendiculaires o 2 vecteurs non-nuls ⟂ lorsque les")_
39. Détail source à réviser : passent par un $\vec{m}$ puis sont perpendiculaires o 2 vecteurs non-nuls ⟂ lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont ⟂ - $\overrightarrow{AB}$ & $\overrightarrow{CD}$ colinéaires si (AB) // (CD) ou AB = k (Source: "passent par un $\vec{m}$ puis sont perpendiculaires o 2 vecteurs non-nuls ⟂ lorsque les droites dirigées par ces vecteurs sont ⟂ - $\overrightarrow{AB}$ & $\overrightarrow{CD}$ colinéaires si (AB) // (CD) ou AB = k × CD - $\vec{u}$ colinéaire à AB alors $\vec{u}$ vecteur directeur de (AB) Opérat° : $\vec{u} + \vec{v}$ coordonnée (a + a', b +")
40. Détail source à réviser : $\vec{u}$ vecteur directeur de (AB) Opérat° : $\vec{u} + \vec{v}$ coordonnée (a + a', b + b') $\vec{u} = \vec{v}$ équivant à a = a' et b = b' --- Page 15 --- Norme $\|\vec{u}\| = \sqrt{a^2 + b^2}$ $\overrightarr _(Source: "$\vec{u}$vecteur directeur de (AB) Opérat° :$\vec{u} + \vec{v}$coordonnée (a + a', b + b')$\vec{u} = \vec{v}$équivant à a = a' et b = b' --- Page 15 --- Norme$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}$$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{BG}$ => AHGB parallélogramme G image de B par translation qui transforme A en H --- Page 16 --- Chapitre 11 :")_
41. Détail source à réviser : parallélogramme G image de B par translation qui transforme A en H --- Page 16 --- Chapitre 11 : Logarithme népérien $\ln(1) = 0$ | $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ | $\ln(a^n) = n _(Source: "parallélogramme G image de B par translation qui transforme A en H --- Page 16 --- Chapitre 11 : Logarithme népérien$\ln(1) = 0$|$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$$\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$|$\ln(a^n) = n \ln(a)$$\ln(\frac{1}{a}) = - \ln(a)$|$\ln(e^x) = x$|$\ln(e) = 1Équat° & Inégalités a < b <=>\ln(a) < \ln(b)$ | a > b <=>")_
42. Détail source à réviser : $\ln(e^x) = x$ | $\ln(e) = 1$ Équat° & Inégalités a < b <=> $\ln(a) < \ln(b)$ | a > b <=> $\ln(a) > \ln(b)$ a = b <=> $\ln(a) = \ln(b)$ Dérivat° $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ | $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ Limites (Source: "$\ln(e^x) = x$ | $\ln(e) = 1$ Équat° & Inégalités a < b <=> $\ln(a) < \ln(b)$ | a > b <=> $\ln(a) > \ln(b)$ a = b <=> $\ln(a) = \ln(b)$ Dérivat° $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ | $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ Limites $\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ | $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0^+$ |")
43. Détail source à réviser : \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0^+$|$\lim_{x \to 0} x \ln(x) = 0^-$Opérations$\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a) --- Page 17 --- Chapitre 10 : Primitives f(x) = 1 ---> _(Source: "\to +\infty} \ln(x) = +\infty $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0^+$ | $\lim_{x \to 0} x \ln(x) = 0^-$ Opérations $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a)$ --- Page 17 --- Chapitre 10 : Primitives f(x) = 1 ---> F(x) = x + k f(x) = x^m ---> F(x) = 1/(m+1) x^(m+1) + k f(x) = 1/x avec x > 0 ---> F(x) = ln x + k f(x) = 1/√x avec x > 0 ---> F(x)")_
44. Détail source à réviser : = 1/(m+1) x^(m+1) + k f(x) = 1/x avec x > 0 ---> F(x) = ln x + k f(x) = 1/√x avec x > 0 ---> F(x) = 2√x + k f(x) = sin x ---> F(x) = -cos x + k f(x) = cos x ---> F(x) = sin x + k u^m . u^n ---> u^(m+1)/(m+1) u'/√u ---> 2 (Source: "= 1/(m+1) x^(m+1) + k f(x) = 1/x avec x > 0 ---> F(x) = ln x + k f(x) = 1/√x avec x > 0 ---> F(x) = 2√x + k f(x) = sin x ---> F(x) = -cos x + k f(x) = cos x ---> F(x) = sin x + k u^m . u^n ---> u^(m+1)/(m+1) u'/√u ---> 2√u u'/u ---> ln u u' . e^u ---> e^u --- Page 18 --- Chapitre 12 : Equations différentielles y' = ay <=> y(x) = C e^(ax) exemple : y' = 3y")
45. Détail source à réviser : 18 --- Chapitre 12 : Equations différentielles y' = ay <=> y(x) = C e^(ax) exemple : y' = 3y <=> y(x) = C e^(3x) avec y(0) = 2 => 2 = C e^0 = C => C = 2 y(x) = 2 e^(3x) y' = ay + b <=> y(x) = C e^(ax) - b/a => -b/a + k e (Source: "18 --- Chapitre 12 : Equations différentielles y' = ay <=> y(x) = C e^(ax) exemple : y' = 3y <=> y(x) = C e^(3x) avec y(0) = 2 => 2 = C e^0 = C => C = 2 y(x) = 2 e^(3x) y' = ay + b <=> y(x) = C e^(ax) - b/a => -b/a + k e^(ax) exemple : y' = -2y + 3 <=> y(x) = C e^(-2x) - 3/-2 => y(x) = C e^(-2x) + 3/2 --- Page 19 --- Chapitre 13 : Intégrale / Intégrat° A")
46. Détail source à réviser : C e^(-2x) - 3/-2 => y(x) = C e^(-2x) + 3/2 --- Page 19 --- Chapitre 13 : Intégrale / Intégrat° A = ∫_a^b f(t) dt ua 1 ua = |1| = |1 + 1| = 11 lim x→0+ (F(x+k) - F(x))/k = f(x) F(x) = f(x) ∫_a^b f(t) dt = F(b) - F(a) = [F _(Source: "C e^(-2x) - 3/-2 => y(x) = C e^(-2x) + 3/2 --- Page 19 --- Chapitre 13 : Intégrale / Intégrat° A = ∫_a^b f(t) dt ua 1 ua = |1| = |1 + 1| = 11 lim x→0+ (F(x+k) - F(x))/k = f(x) F(x) = f(x) ∫_a^b f(t) dt = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b Linéarité ∫_a^b λ f(x) + \mu{} g(x) dx = λ ∫_a^b f(x) dx + \mu{} ∫_a^b g(x) dx Relation Chasle ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫c^b f(x)")
47. Détail source à réviser : \mu{} g(x) dx = λ ∫_a^b f(x) dx + \mu{} ∫_a^b g(x) dx Relation Chasle ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx Signe f ≥ 0 sur [a; b] => ∫_a^b f(x) dx ≥ 0 f ≤ 0 sur [a; b] => ∫_a^b f(x) dx ≤ 0 f ≤ g sur [a; b] => ∫_a^b f(x) _(Source: "\mu{} g(x) dx = λ ∫_a^b f(x) dx + \mu{} ∫_a^b g(x) dx Relation Chasle ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx Signe f ≥ 0 sur [a; b] => ∫_a^b f(x) dx ≥ 0 f ≤ 0 sur [a; b] => ∫_a^b f(x) dx ≤ 0 f ≤ g sur [a; b] => ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx Intégrat° par parties ∫_a^b u'(x) v(x) dx = uv_a^b - ∫_a^b u(x) v'(x) dx Valeur moyenne v = 1/(b-a) ∫a^b f(x)")
48. Détail source à réviser : --- Page 1 --- Chapitre 1 : Suites et Récurrence • Suite monotone : • u croissante si un+1 > un • u constante si un+1 = un • u décroissante si un+1 < un • Sens de variation : • un+1/un variation de f ∀n, un = f(un) un+1 (Source: "--- Page 1 --- Chapitre 1 : Suites et Récurrence • Suite monotone : • u croissante si un+1 > un • u constante si un+1 = un • u décroissante si un+1 < un • Sens de variation : • un+1/un variation de f ∀n, un = f(un) un+1 compare à 1 si : f'(emes) > 0 • Suite arithmétique : • unst = utn + m0 Somme : m (n+1) 2 Un = Umo + r (n - mo) • Suite géométrique : • un...")
49. Détail source à réviser : --- Page 2 --- Chapitre 2 : Dérivation • Formules f(x) = x^n -> f'(x) = nx^(n-1) f(x) = 1/x -> f'(x) = -1/x^2 f(x) = 1/x^n -> f'(x) = -n/x^(n+1) f(x) = √x -> f'(x) = 1/2√x f = u + v -> f' = u' + v' f = uv -> f' = u'v + u (Source: "--- Page 2 --- Chapitre 2 : Dérivation • Formules f(x) = x^n -> f'(x) = nx^(n-1) f(x) = 1/x -> f'(x) = -1/x^2 f(x) = 1/x^n -> f'(x) = -n/x^(n+1) f(x) = √x -> f'(x) = 1/2√x f = u + v -> f' = u' + v' f = uv -> f' = u'v + uv' f = u/v -> f' = (u'v - uv')/v^2 f = 1/v -> f' = -v'/v^2 • fonction composée u^n -> nu'u^(n-1) √u -> u'/2√u 1 -> -mu' u^n -> u^(n+1) e^...")
50. Détail source à réviser : chacune de ses cordes - Cf au dessus de chacune de ses tangentes - f' croissante - f'' > 0 et inversement pour concave --- Page 3 --- Chapitre 2 : Dérivation • Formules f(x) = x^n -> f'(x) = nx^(n-1) f(x) = 1/x -> f'(x) (Source: "chacune de ses cordes - Cf au dessus de chacune de ses tangentes - f' croissante - f'' > 0 et inversement pour concave --- Page 3 --- Chapitre 2 : Dérivation • Formules f(x) = x^n -> f'(x) = nx^(n-1) f(x) = 1/x -> f'(x) = -1/x^2 • Tangente : T : y = f'(a)(x - a) + f(a) • Nombres dérivés f'(a) = lim x->a (f(x) - f(a)) / (x - a) Une fonction est dérivable s...")
51. Détail source à réviser : ocal Cf(a) extremum local si f'(a) = 0 si f'(a) s'annule et change de signe en a • Asymptote Si lim x->+∞ f(x) = a => y = a asymptote à f en +∞ Si lim x->b = +∞ => x = b asymptote à f --- Page 5 --- Chapitre 3/5 : Dénomb (Source: "ocal Cf(a) extremum local si f'(a) = 0 si f'(a) s'annule et change de signe en a • Asymptote Si lim x->+∞ f(x) = a => y = a asymptote à f en +∞ Si lim x->b = +∞ => x = b asymptote à f --- Page 5 --- Chapitre 3/5 : Dénombrement Loi Binomiale • Cardinal Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) Card(A × B) = Card(A) × Card(B) | Ordre | Tirage | Exemples | Formules |...")
52. Détail source à réviser : p) | non | sans remise | main dans un jeu de cartes | n (Source: "p) | non | sans remise | main dans un jeu de cartes | n")
53. Détail source à réviser : p) q = 1 - p --- Page 6 --- Un ensemble A est une partie de E (Source: "p) q = 1 - p --- Page 6 --- Un ensemble A est une partie de E")
54. Détail source à réviser : Y) = E(X) + E(Y) E(aX) = aE(X) Exemple | x_i | -1 | 1 | 2 | 3 | 5 | | p_i | p1 | p2 | p3 | p4 | p5 | E(X) = -p1 + p2 + 2p3 + 3p4 + 5p5 Moyenne x̄ = (1/N) Σ p_i x_i avec N = effectif totale (1/N) (p1 × (-1) + p2 × 1 + p3 (Source: "Y) = E(X) + E(Y) E(aX) = aE(X) Exemple | x_i | -1 | 1 | 2 | 3 | 5 | | p_i | p1 | p2 | p3 | p4 | p5 | E(X) = -p1 + p2 + 2p3 + 3p4 + 5p5 Moyenne x̄ = (1/N) Σ p_i x_i avec N = effectif totale (1/N) (p1 × (-1) + p2 × 1 + p3 × 2 + p4 × 3 + p5 × 5) Variance V")
55. Détail source à réviser : 1. Limite d'une somme | Si (u_n) a pour limite | l | l | l | +∞ | -∞ | +∞ | |------------------------|---|---|---|----|----|----| | et si (v_n) a pour limite | l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | | alors (u_n + v_n) a pour lim (Source: "1. Limite d'une somme | Si (u_n) a pour limite | l | l | l | +∞ | -∞ | +∞ | |------------------------|---|---|---|----|----|----| | et si (v_n) a pour limite | l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | | alors (u_n + v_n) a pour limite | l + l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | F")
56. Détail source à réviser : 2. Limite d'un produit | Si (u_n) a pour limite | l | l > 0 | l > 0 | l < 0 | l < 0 | +∞ | +∞ | -∞ | 0 | |------------------------|---|-------|-------|-------|-------|----|----|----|---| | et si (v_n) a pour limite | l' (Source: "2. Limite d'un produit | Si (u_n) a pour limite | l | l > 0 | l > 0 | l < 0 | l < 0 | +∞ | +∞ | -∞ | 0 | |------------------------|---|-------|-------|-------|-------|----|----|----|---| | et si (v_n) a pour limite | l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ | | alors (u_n × v_n) a pour limite | l × l' | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ | +∞ | -∞ | +∞ | F")
57. Détail source à réviser : | l | +∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ | |------------------------|---|---|----|----|----|----|------------| | et si (v_n) a pour limite | l' ≠ 0 | +∞ ou -∞ | l' > 0 | l' < 0 | l' > 0 | l' < 0 | +∞ ou -∞ | | alors (u_n / (Source: "| l | +∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ | |------------------------|---|---|----|----|----|----|------------| | et si (v_n) a pour limite | l' ≠ 0 | +∞ ou -∞ | l' > 0 | l' < 0 | l' > 0 | l' < 0 | +∞ ou -∞ | | alors (u_n /")
58. Détail source à réviser : : Formes Indéterminées) --- Page 8 --- Chapitre 4 : Limite de Suite • Opérations : 1 (Source: ": Formes Indéterminées) --- Page 8 --- Chapitre 4 : Limite de Suite • Opérations : 1")
59. Détail source à réviser : 2. Limite d'un produit [Texte masqué par un papier] • Suite convergente : - Suite qui admet une limite finie • Suite divergente : - Suite qui n'admet pas de limite - Suite qui admet une limite infinie (+/- ∞) • Formes in (Source: "2. Limite d'un produit [Texte masqué par un papier] • Suite convergente : - Suite qui admet une limite finie • Suite divergente : - Suite qui n'admet pas de limite - Suite qui admet une limite infinie (+/- ∞) • Formes indéterminées (FI) - factorisé par termes qui tend (⊕) vite • Théorème de comparaison : Si f(x) ≥ g(x) et lim x→a g(x) = +∞ alors lim x→a f...")
60. Détail source à réviser : l. x→a+∞ • Limites suites arithmétiques : - si n > 0 alors Un est → +∞ - si n < 0 alors Un est → -∞ • Limites suites géométriques : - si q > 1 alors lim qⁿ = +∞ - si -1 < q < 1 alors lim qⁿ = 0 - si q ≤ -1 (qⁿ) n a pas d (Source: "l. x→a+∞ • Limites suites arithmétiques : - si n > 0 alors Un est → +∞ - si n < 0 alors Un est → -∞ • Limites suites géométriques : - si q > 1 alors lim qⁿ = +∞ - si -1 < q < 1 alors lim qⁿ = 0 - si q ≤ -1 (qⁿ) n a pas de limite")
61. Détail source à réviser : e de composition Si lim v(x) = b et si lim = l alors lim f(x) = l x→0 x→b x→0 • Théorème de comparaison f(x) ≤ u(x) et lim u(x) = -∞ donc lim f(x) = -∞ x→m x→m x→m v(x) ≤ f(x) et lim v(x) = +∞ donc lim = +∞ x→m x→m x→m (Source: "e de composition Si lim v(x) = b et si lim = l alors lim f(x) = l x→0 x→b x→0 • Théorème de comparaison f(x) ≤ u(x) et lim u(x) = -∞ donc lim f(x) = -∞ x→m x→m x→m v(x) ≤ f(x) et lim v(x) = +∞ donc lim = +∞ x→m x→m x→m")
62. Détail source à réviser : - les fonctions polynômes sont continues sur R - la fonction √x est continue sur [0 ; +∞[ - si f et g continues sur I alors : f + g / f × g / fⁿ → continues sur I et f/g continue sur son intervalle de déf (Source: "- les fonctions polynômes sont continues sur R - la fonction √x est continue sur [0 ; +∞[ - si f et g continues sur I alors : f + g / f × g / fⁿ → continues sur I et f/g continue sur son intervalle de déf")
63. Détail source à réviser : 4) → vecteur directeur (d₂) G pas colinéaire car -1/2 ≠ 2/3 G orthogonaux car u₁ (Source: "4) → vecteur directeur (d₂) G pas colinéaire car -1/2 ≠ 2/3 G orthogonaux car u₁")
64. Détail source à réviser : Donc (d1) et (d2) orthogonales sans être perpendiculaires • Équation cartésienne d'un plan : P : y = ax + by + cz = 0 <=> $\vec{n}$ (a ; b ; c) vecteur normal au plan • Point sur une droite : M1 (-1, 3, 2) M2 (-2, 3, 4 (Source: "Donc (d1) et (d2) orthogonales sans être perpendiculaires • Équation cartésienne d'un plan : P : y = ax + by + cz = 0 <=> $\vec{n}$ (a ; b ; c) vecteur normal au plan • Point sur une droite : M1 (-1, 3, 2) M2 (-2, 3, 4) D' { x = -4 + 3t y = 6 - 3t z = 8 - 6t Pour M1 : { -4 + 3t = -1 <=> t = 1 { 6 - 3t = 3 | Remplace t par 1 | 6 - 3 × 1 = 3 { 8 - 6t = 2...")
65. Détail source à réviser : 4) ≠ M2 (-2, 3, 4) donc équations pas satisfaites donc M2 ∉ D' (Source: "4) ≠ M2 (-2, 3, 4) donc équations pas satisfaites donc M2 ∉ D'")
66. Détail source à réviser : Projeté orthogonale : Si H projeté orthogonal de C sur (AB), alors : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH$ • Produit scalaire de référence • $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (Source: "Projeté orthogonale : Si H projeté orthogonal de C sur (AB), alors : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH$ • Produit scalaire de référence • $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$")
67. Détail source à réviser : les droites dirigées par ces vecteurs sont ⟂ - $\overrightarrow{AB}$ & $\overrightarrow{CD}$ colinéaires si (AB) // (CD) ou AB = k × CD - $\vec{u}$ colinéaire à AB alors $\vec{u}$ vecteur directeur de (AB) (Source: "les droites dirigées par ces vecteurs sont ⟂ - $\overrightarrow{AB}$ & $\overrightarrow{CD}$ colinéaires si (AB) // (CD) ou AB = k × CD - $\vec{u}$ colinéaire à AB alors $\vec{u}$ vecteur directeur de (AB)")
68. Détail source à réviser : > b <=> $\ln(a) > \ln(b)$ a = b <=> $\ln(a) = \ln(b)$ Dérivat° $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ | $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ Limites $\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ | $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ (Source: "> b <=> $\ln(a) > \ln(b)$ a = b <=> $\ln(a) = \ln(b)$ Dérivat° $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ | $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ Limites $\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ | $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$")
69. Détail source à réviser : 1 ---> F(x) = x + k f(x) = x^m ---> F(x) = 1/(m+1) x^(m+1) + k f(x) = 1/x avec x > 0 ---> F(x) = ln x + k f(x) = 1/√x avec x > 0 ---> F(x) = 2√x + k f(x) = sin x ---> F(x) = -cos x + k f(x) = cos x ---> F(x) = sin x + (Source: "1 ---> F(x) = x + k f(x) = x^m ---> F(x) = 1/(m+1) x^(m+1) + k f(x) = 1/x avec x > 0 ---> F(x) = ln x + k f(x) = 1/√x avec x > 0 ---> F(x) = 2√x + k f(x) = sin x ---> F(x) = -cos x + k f(x) = cos x ---> F(x) = sin x +")
70. Détail source à réviser : e^u ---> e^u --- Page 18 --- Chapitre 12 : Equations différentielles y' = ay <=> y(x) = C e^(ax) exemple : y' = 3y <=> y(x) = C e^(3x) avec y(0) = 2 => 2 = C e^0 = C => C = 2 y(x) = 2 e^(3x) y' = ay + b <=> y(x) = C e^(a (Source: "e^u ---> e^u --- Page 18 --- Chapitre 12 : Equations différentielles y' = ay <=> y(x) = C e^(ax) exemple : y' = 3y <=> y(x) = C e^(3x) avec y(0) = 2 => 2 = C e^0 = C => C = 2 y(x) = 2 e^(3x) y' = ay + b <=> y(x) = C e^(ax) - b/a => -b/a + k e^(ax) exemple : y' = -2y + 3 <=> y(x) = C e^(-2x) - 3/-2 => y(x) = C e^(-2x) + 3/2 --- Page 19 --- Chapitre 13 : In...")
71. Détail source à réviser : F(x)]_a^b Linéarité ∫_a^b λ f(x) + \mu{} g(x) dx = λ ∫_a^b f(x) dx + \mu{} ∫_a^b g(x) dx Relation Chasle ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx Signe f ≥ 0 sur [a; _(Source: "F(x)]_a^b Linéarité ∫_a^b λ f(x) + \mu{} g(x) dx = λ ∫_a^b f(x) dx + \mu{} ∫_a^b g(x) dx Relation Chasle ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫c^b f(x) dx Signe f ≥ 0 sur [a;")
72. Détail source à réviser : a) + f(a) • Nombres dérivés f'(a) = lim x->a (f(x) - f(a)) / (x - a) Une fonction est dérivable si elle est dérivable en tout point (Source: "a) + f(a) • Nombres dérivés f'(a) = lim x->a (f(x) - f(a)) / (x - a) Une fonction est dérivable si elle est dérivable en tout point")
73. Détail source à réviser : A. • Extremum local Cf(a) extremum local si f'(a) = 0 si f'(a) s'annule et change de signe en a • Asymptote Si lim x->+∞ f(x) = a => y = a asymptote à f en +∞ Si lim x->b = +∞ => x = b asymptote à f --- Page 5 --- Chapit (Source: "A. • Extremum local Cf(a) extremum local si f'(a) = 0 si f'(a) s'annule et change de signe en a • Asymptote Si lim x->+∞ f(x) = a => y = a asymptote à f en +∞ Si lim x->b = +∞ => x = b asymptote à f --- Page 5 --- Chapitre 3/5 : Dénombrement Loi Binomiale • Cardinal Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) Card(A × B) = Card(A) × Card(B) | Ordre | Tirage | Exemple...")
74. Détail source à réviser : 3. Limite d'un quotient • Cas où la limite de (v_n) n'est pas nulle + / - ∞ | Si (u_n) a pour limite | l | l | +∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ | |------------------------|---|---|----|----|----|----|------------| | et si (v (Source: "3. Limite d'un quotient • Cas où la limite de (v_n) n'est pas nulle + / - ∞ | Si (u_n) a pour limite | l | l | +∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ | |------------------------|---|---|----|----|----|----|------------| | et si (v_n) a pour limite | l' ≠ 0 | +∞ ou -∞ | l' > 0 | l' < 0 | l' > 0 | l' < 0 | +∞ ou -∞ | | alors (u_n / v_n) a pour limite | l / l' | 0 | +...")
75. Détail source à réviser : c) vecteur normal au plan • Point sur une droite : M1 (-1, 3, 2) M2 (-2, 3, 4) D' { x = -4 + 3t y = 6 - 3t z = 8 - 6t Pour M1 : { -4 + 3t = -1 <=> t = 1 { 6 - 3t = 3 | Remplace t par 1 | 6 - 3 × 1 = 3 { 8 - 6t = 2 8 - 6 (Source: "c) vecteur normal au plan • Point sur une droite : M1 (-1, 3, 2) M2 (-2, 3, 4) D' { x = -4 + 3t y = 6 - 3t z = 8 - 6t Pour M1 : { -4 + 3t = -1 <=> t = 1 { 6 - 3t = 3 | Remplace t par 1 | 6 - 3 × 1 = 3 { 8 - 6t = 2 8 - 6 × 1 = 2 M1 (1, 3, 2) => 3 équations satisfaites => M1 ∈ D' Pour M2 : { -4 + 3t = 2 <=> t = 2/3 { 6 - 3t = 3 | remplace t par 2/3 | 6 - 3...")
76. Détail source à réviser : c) x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct → admet une infinité de représentation (Source: "c) x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct → admet une infinité de représentation")
77. Détail source à réviser : u^n ---> u^(m+1)/(m+1) u'/√u ---> 2√u u'/u ---> ln u u' (Source: "u^n ---> u^(m+1)/(m+1) u'/√u ---> 2√u u'/u ---> ln u u'")
78. Détail source à réviser : • Extremum local Cf(a) extremum local si f'(a) = 0 si f'(a) s'annule et change de signe en a • Asymptote Si lim x->+∞ f(x) = a => y = a asymptote à f en +∞ Si lim x->b = +∞ => x = b asymptote à f --- Page 5 --- Chapitre (Source: "• Extremum local Cf(a) extremum local si f'(a) = 0 si f'(a) s'annule et change de signe en a • Asymptote Si lim x->+∞ f(x) = a => y = a asymptote à f en +∞ Si lim x->b = +∞ => x = b asymptote à f --- Page 5 --- Chapitre 3/5 : Dénombrement Loi Binomiale • Cardinal Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) Card(A × B) = Car")
79. Détail source à réviser : | | p-liste | oui | avec remise | digicode | n^p | | Arrangement A_p^n | oui | sans remise | podium d'une course | n (Source: "| | p-liste | oui | avec remise | digicode | n^p | | Arrangement A_p^n | oui | sans remise | podium d'une course | n")
80. Détail source à réviser : • Position relative de deux droites : Soit (d₁) { x = 3 + t y = -1 + 2t et (d₂) { x = 5 + 2t' z = 2 - t z = 4t' → Vérifie si parallèles ou orthogonales u₁ (-1 ; 2 ; -1) → vecteur directeur (d₁) u₂ (2 ; 3 ; 4) → vecteur d (Source: "• Position relative de deux droites : Soit (d₁) { x = 3 + t y = -1 + 2t et (d₂) { x = 5 + 2t' z = 2 - t z = 4t' → Vérifie si parallèles ou orthogonales u₁ (-1 ; 2 ; -1) → vecteur directeur (d₁) u₂ (2 ; 3 ; 4) → vecteur directeur (d₂) G pas colinéaire car -1/2 ≠ 2/3 G orthogonaux car u₁")
81. Détail source à réviser : u₂ = 2x1 x 2 + y₁ x y₂ + z₁ x z₂ → Vérifie si sécantes { 3 - t = 5 + 2t' -1 + 2t = -5 + 3t' 2 - t = 4t' Résout système formée de 2 équations E₁ 2t + t' = -2 E₁ 2t' + t = -2 E₂ 4t + t = 2 E₂ - E₁ { t = -6 t' = 2 Vérifie s (Source: "u₂ = 2x1 x 2 + y₁ x y₂ + z₁ x z₂ → Vérifie si sécantes { 3 - t = 5 + 2t' -1 + 2t = -5 + 3t' 2 - t = 4t' Résout système formée de 2 équations E₁ 2t + t' = -2 E₁ 2t' + t = -2 E₂ 4t + t = 2 E₂ - E₁ { t = -6 t' = 2 Vérifie si troisième équation est vérifiée -1 + 2t = -5 + 3t' ↔ -1 + 2 × (-6) = -5 + 3 × 2 ↔ -13 = 1 --- Page 13 --- L'équation n'est pas vérifiée...")
82. Détail source à réviser : x→a+∞ • Limites suites arithmétiques : - si n > 0 alors Un est → +∞ - si n < 0 alors Un est → -∞ • Limites suites géométriques : - si q > 1 alors lim qⁿ = +∞ - si -1 < q < 1 alors lim qⁿ = 0 - si q ≤ -1 (qⁿ) n a pas de l (Source: "x→a+∞ • Limites suites arithmétiques : - si n > 0 alors Un est → +∞ - si n < 0 alors Un est → -∞ • Limites suites géométriques : - si q > 1 alors lim qⁿ = +∞ - si -1 < q < 1 alors lim qⁿ = 0 - si q ≤ -1 (qⁿ) n a pas de limite")
83. Détail source à réviser : --- Page 10 --- Chapitre 6 : Limite de Fonctions • Limites usuelles : lim 1/xⁿ = 0 x→+∞ lim 1/xⁿ = 0 x→-∞ lim 1/xⁿ = +∞ x→0⁺ lim 1/x²ⁿ+1 = -∞ x→0⁻ lim 1/x²ⁿ+1 = +∞ x→0⁺ lim 1/√x = 0 x→+∞ • Exponentielle lim eˣ = 0 x→-∞ l (Source: "--- Page 10 --- Chapitre 6 : Limite de Fonctions • Limites usuelles : lim 1/xⁿ = 0 x→+∞ lim 1/xⁿ = 0 x→-∞ lim 1/xⁿ = +∞ x→0⁺ lim 1/x²ⁿ+1 = -∞ x→0⁻ lim 1/x²ⁿ+1 = +∞ x→0⁺ lim 1/√x = 0 x→+∞ • Exponentielle lim eˣ = 0 x→-∞ lim eˣ = +∞ x→+∞ lim x eˣ = 0 x→0 lim eˣ/xⁿ = +∞ x→+∞ • Théorème de composition Si lim v(x) = b et si lim = l alors lim f(x) = l x→0 x→b x...")
84. Détail source à réviser : • Continuité Si f dérivable sur I, alors f continue sur I • Convexité f convexe si - Cf en dessous de chacune de ses cordes - Cf au dessus de chacune de ses tangentes - f' croissante - f'' > 0 et inversement pour concave (Source: "• Continuité Si f dérivable sur I, alors f continue sur I • Convexité f convexe si - Cf en dessous de chacune de ses cordes - Cf au dessus de chacune de ses tangentes - f' croissante - f'' > 0 et inversement pour concave --- Page 4 --- • Point d'inflexion Point d'inflexion en A si f'' change de signe et s'annule en A")
85. Détail source à réviser : B) = Card(A) + Card(B) Card(A × B) = Card(A) × Card(B) | Ordre | Tirage | Exemples | Formules | |----------------|----------------|------------------------|------------------------| | Permutation | oui | sans remise | an (Source: "B) = Card(A) + Card(B) Card(A × B) = Card(A) × Card(B) | Ordre | Tirage | Exemples | Formules | |----------------|----------------|------------------------|------------------------| | Permutation | oui | sans remise | anagramme | n")
86. Détail source à réviser : H les éléments de A sont des éléments de E : A ⊂ E nb parties d'un ensemble à n éléments 2^n Succession épreuve Ω P(A1) → A1 P_A1(x) × P(X ∩ A1) = P_A1(x) × P(A1) P_A1(𝑥̅) × P(X ∩ A1) = P_A1(𝑥̅) × P(A1) P(A2) → A2 P_A2 (Source: "H les éléments de A sont des éléments de E : A ⊂ E nb parties d'un ensemble à n éléments 2^n Succession épreuve Ω P(A1) → A1 P_A1(x) × P(X ∩ A1) = P_A1(x) × P(A1) P_A1(𝑥̅) × P(X ∩ A1) = P_A1(𝑥̅) × P(A1) P(A2) → A2 P_A2(x) × P(X ∩ A2) = P_A2(x) × P(A2) P_A2(𝑥̅) × P(X ∩ A2) = P_A2(𝑥̅) × P(A2) {A1, A2} est une partition de Ω Espérance de X (espé")
87. Détail source à réviser : Limite d'une somme | Si (u_n) a pour limite | l | l | l | +∞ | -∞ | +∞ | |------------------------|---|---|---|----|----|----| | et si (v_n) a pour limite | l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | | alors (u_n + v_n) a pour limite (Source: "Limite d'une somme | Si (u_n) a pour limite | l | l | l | +∞ | -∞ | +∞ | |------------------------|---|---|---|----|----|----| | et si (v_n) a pour limite | l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | | alors (u_n + v_n) a pour limite | l + l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | F")
88. Détail source à réviser : Limite d'un produit | Si (u_n) a pour limite | l | l > 0 | l > 0 | l < 0 | l < 0 | +∞ | +∞ | -∞ | 0 | |------------------------|---|-------|-------|-------|-------|----|----|----|---| | et si (v_n) a pour limite | l' | + (Source: "Limite d'un produit | Si (u_n) a pour limite | l | l > 0 | l > 0 | l < 0 | l < 0 | +∞ | +∞ | -∞ | 0 | |------------------------|---|-------|-------|-------|-------|----|----|----|---| | et si (v_n) a pour limite | l' | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ | | alors (u_n × v_n) a pour limite | l × l' | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ | +∞ | -∞ | +∞ | F")
89. Détail source à réviser : Limite d'un quotient • Cas où la limite de (v_n) n'est pas nulle + / - ∞ | Si (u_n) a pour limite | l | l | +∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ | |------------------------|---|---|----|----|----|----|------------| | et si (v_n) (Source: "Limite d'un quotient • Cas où la limite de (v_n) n'est pas nulle + / - ∞ | Si (u_n) a pour limite | l | l | +∞ | +∞ | -∞ | -∞ | +∞ ou -∞ | |------------------------|---|---|----|----|----|----|------------| | et si (v_n) a pour limite | l' ≠ 0 | +∞ ou -∞ | l' > 0 | l' < 0 | l' > 0 | l' < 0 | +∞ ou -∞ | | alors (u_n / v_n) a pour limite | l / l' | 0 | +∞ |...")
90. Détail source à réviser : Limite d'un produit [Texte masqué par un papier] • Suite convergente : - Suite qui admet une limite finie • Suite divergente : - Suite qui n'admet pas de limite - Suite qui admet une limite infinie (+/- ∞) • Formes indét (Source: "Limite d'un produit [Texte masqué par un papier] • Suite convergente : - Suite qui admet une limite finie • Suite divergente : - Suite qui n'admet pas de limite - Suite qui admet une limite infinie (+/- ∞) • Formes indéterminées (FI) - factorisé par termes qui tend (⊕) vite • Théorème de comparaison : Si f(x) ≥ g(x) et lim x→a g(x) = +∞ alors lim x→a f(x)...")
91. Détail source à réviser : Théorème de la bijection f continue et monotone sur [a ; b] f(a) ≤ R ≤ f(b) f(x₀) = R a une solut° unique sur [a ; b] --- Page 12 --- Chapitre 9 : Géométrie de l'espace • Représentation paramétrique d'une droite : (d) → (Source: "Théorème de la bijection f continue et monotone sur [a ; b] f(a) ≤ R ≤ f(b) f(x₀) = R a une solut° unique sur [a ; b] --- Page 12 --- Chapitre 9 : Géométrie de l'espace • Représentation paramétrique d'une droite : (d) → droite passant par A (x₀ ; y₀ ; z₀) de vecteur directeur u (a ; b ; c) x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct → admet une infinité de représ...")
92. Détail source à réviser : X ~ B(n, p) q = 1 - p --- Page 6 --- Un ensemble A est une partie de E (Source: "X ~ B(n, p) q = 1 - p --- Page 6 --- Un ensemble A est une partie de E")
93. Détail source à réviser : --- Page 14 --- Chapitre 9 : Produit scalaire Orthogonalité • Angle : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}$ • Projeté orthogonale : Si H projeté orthogonal de C sur (A (Source: "--- Page 14 --- Chapitre 9 : Produit scalaire Orthogonalité • Angle : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}$ • Projeté orthogonale : Si H projeté orthogonal de C sur (AB), alors : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH$ • Produit scalaire de référence • $\vec{u} \cdot \vec{v} =...")
94. Détail source à réviser : ' = 3y <=> y(x) = C e^(3x) avec y(0) = 2 => 2 = C e^0 = C => C = 2 y(x) = 2 e^(3x) y' = ay + b <=> y(x) = C e^(ax) - b/a => -b/a + k e^(ax) exemple : y' = -2y + 3 <=> y(x) = C e^(-2x) - 3/-2 => y(x) = C e^(-2x) + 3/2 (Source: "' = 3y <=> y(x) = C e^(3x) avec y(0) = 2 => 2 = C e^0 = C => C = 2 y(x) = 2 e^(3x) y' = ay + b <=> y(x) = C e^(ax) - b/a => -b/a + k e^(ax) exemple : y' = -2y + 3 <=> y(x) = C e^(-2x) - 3/-2 => y(x) = C e^(-2x) + 3/2")
95. Détail source à réviser : arrow{AH} = \overrightarrow{BG}$=> AHGB parallélogramme G image de B par translation qui transforme A en H --- Page 16 --- Chapitre 11 : Logarithme népérien$\ln(1) = 0$|$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$_(Source: "arrow{AH} = \overrightarrow{BG}$ => AHGB parallélogramme G image de B par translation qui transforme A en H --- Page 16 --- Chapitre 11 : Logarithme népérien $\ln(1) = 0$ | $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$")_
96. Détail source à réviser : b] => ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx Intégrat° par parties ∫_a^b u'(x) v(x) dx = uv_a^b - ∫_a^b u(x) v'(x) dx Valeur moyenne v = 1/(b-a) ∫_a^b f(x) dx _(Source: "b] => ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx Intégrat° par parties ∫_a^b u'(x) v(x) dx = uv_a^b - ∫_a^b u(x) v'(x) dx Valeur moyenne v = 1/(b-a) ∫a^b f(x) dx")

📊 Tableaux de Synthèse

Comparatif des types de suites

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confusion entre suite arithmétique et géométrique.
2. Oublier que la suite monotone peut être constante.
3. Confondre principe de récurrence et définition directe.
4. Erreur dans le calcul de la somme d'une suite géométrique.
5. Mélanger dérivées de fonctions composées et fonctions simples.
6. Confusion entre convexité et concavité.
7. Erreur dans l'application du théorème de comparaison pour limites.

✅ Checklist Examen

1. Vérifier la définition d'une suite arithmétique.
2. Savoir calculer la somme d'une suite géométrique.
3. Maîtriser la formule de la dérivée d'une fonction composée.
4. Identifier la convexité ou concavité d'une fonction.
5. Utiliser le produit scalaire pour vérifier l'orthogonalité.
6. Appliquer la propriété du logarithme pour simplifier.
7. Calculer une probabilité conditionnelle.
8. Déterminer la limite d'une suite divergente.
9. Utiliser le théorème de l'encadrement pour limites.
10. Reconnaitre une équation différentielle linéaire.