Fiche de révision : Analyse du discriminant et du signe d'un trinôme quadratique

📖 1. Discriminant et racines du trinôme

Discriminant : Le discriminant $=b^2-4ac$ mesure le nombre de racines reelles deun trinf4me $ax^2+bx+c$ .
Racines $x_1$ et $x_2$ : Les racines sont les valeurs de $x$ qui annulent le trinf4me et se calculent a partir de $a,b,c$ et de .
Racine double $x_S$ : La racine double correspond au cas of9 $=0$ et seobtient avec $x_S=-frac{b}{2a}$ .

On calcule le discriminant $=b^2-4ac$ pour traiter $P(x)=ax^2+bx+c$ .
Si $>0$ , le trinf4me admet deux racines reelles $x_1=a0 rac{-b-a0\sqrt{}}{2a}$ et $x_2=a0 rac{-b+a0\sqrt{}}{2a}$ .
Si $=0$ , il y a une racine double $x_S=-a0 rac{b}{2a}$ et on peut ecrire la factorisation avec $(x-x_S)^2$ .
Si $<0$ , le trinf4me naadmets aucune racine dans $\mathbb{R}$ .

Factorisation pour $>0$ : Quand $>0$ , $P(x)$ se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$ , ce qui permet deobtenir son signe via les intervalles autour de $x_1$ et $x_2$ .
Factorisation pour $=0$ : Quand $=0$ , $P(x)$ se factorise en $a(x-x_S)^2$ , ce qui empeche le changement de signe au passage par $x_S$ .
Signe de $a$ : Le symbole $\mathrm{sgn}(a)$ indique le signe de $a$ et donne le signe de $P(x)$ quand $x\to\pm\infty$ .

Pour $>0$ et avec $x_1<x_2$ , on a $P(x)<0$ entre $x_1$ et $x_2$ si $a>0$ , et $P(x)>0$ entre $x_1$ et $x_2$ si $a<0$ .
Pour $>0$ , le signe de $P(x)$ vaut $\mathrm{sgn}(a)$ sur $(-\infty,x_1)$ et sur $(x_2,+\infty)$ .
Pour $=0$ , $P(x)$ a toujours le signe $\mathrm{sgn}(a)$ de part et daautre de $x_S$ et sannule uniquement en $x_S$ .
Pour $<0$ , $P(x)$ ne sannule jamais et garde le signe $\mathrm{sgn}(a)$ sur $\mathbb{R}$ .

Trois cas du discriminant

Condition sur	Racines reelles	Factorisation
$>0$	Deux racines $x_1,x_2$	$a(x-x_1)(x-x_2)$
$=0$	Une racine double $x_S$	$a(x-x_S)^2$
$<0$	Aucune racine dans $\mathbb{R}$	Pas de factorisation reelle en facteurs lineaires

Confondre $x_1$ et $x_2$ : $x_1=a0\frac{-b-\sqrt{\u0004}}{2a}$ et $x_2=a0\frac{-b+\sqrt{\u0004}}{2a}$ , donc $x_1<x_2$ .
Oublier que pour $=0$ , la factorisation est un carre $(x-x_S)^2$ , donc le signe ne change pas au passage par $x_S$ .
Croire que $<0$ implique un changement de signe : le trinf4me ne sannule pas et garde le signe $\mathrm{sgn}(a)$ .
Dire que le signe aux infinis est independant de $a :$ P(x) $tend e0 garder le signe de$ a $quand$ x\to\pm\infty$.
Melangre $\mathrm{sgn}(-a)$ et $\mathrm{sgn}(a)$ : $\mathrm{sgn}(-a)$ est le signe oppose de $\mathrm{sgn}(a)$ .
Melangre la racine double $x_S=-\frac{b}{2a}$ avec la formule de $x_1,x_2$ qui utilise $\sqrt{\u0004}$ .

Savoir calculer le discriminant $=b^2-4ac$ pour $P(x)=ax^2+bx+c$ .
Savoir donner les racines $x_1=a0\frac{-b-\sqrt{\u0004}}{2a}$ et $x_2=a0\frac{-b+\sqrt{\u0004}}{2a}$ quand $>0$ .
Savoir donner la racine double $x_S=-\frac{b}{2a}$ quand $=0$ .
Savoir conclure que pour $<0$ , aucune racine nest dans $\mathbb{R}$ .
Savoir utiliser la factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$ pour le signe quand $>0$ .
Savoir utiliser la factorisation $a(x-x_S)^2$ pour le signe quand $=0$ .
Savoir associer le signe de $P(x)$ sur les intervalles avec $\mathrm{sgn}(a)$ sur $(-\infty,x_1)$ et $(x_2,+\infty)$ quand $>0$ .
Savoir donner le signe de $P(x)$ sur $(x_1,x_2)$ quand $>0$ en utilisant le lien avec $\mathrm{sgn}(a)$ .
Savoir conclure que si $\le 0$ , le trinf4me ne change pas de signe et a le signe $\mathrm{sgn}(a)$ (avec zeros seulement pour $=0$ ).
Savoir conclure le signe de $P(x)$ au voisinage des infinis : il suit $\mathrm{sgn}(a)$ sur les extreemites indiquees dans les tableaux.