Analyse du discriminant et du signe d'un trinôme quadratique

📋 Plan du Cours

1. Discriminant et racines du trinôme
2. Signe du trinôme selon le discriminant

📖 1. Discriminant et racines du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant $=b^2-4ac$ mesure le nombre de racines reelles deun trinf4me $ax^2+bx+c$.
• Racines $x_1$ et $x_2$ : Les racines sont les valeurs de $x$ qui annulent le trinf4me et se calculent a partir de $a,b,c$ et de $$.
• Racine double $x_S$ : La racine double correspond au cas of9 $=0$ et seobtient avec $x_S=-frac{b}{2a}$.

📝 Points essentiels

• On calcule le discriminant $=b^2-4ac$ pour traiter $P(x)=ax^2+bx+c$.
• Si $>0$, le trinf4me admet deux racines reelles $x_1=a0 rac{-b-a0\sqrt{}}{2a}$ et $x_2=a0 rac{-b+a0\sqrt{}}{2a}$.
• Si $=0$, il y a une racine double $x_S=-a0 rac{b}{2a}$ et on peut ecrire la factorisation avec $(x-x_S)^2$.
• Si $<0$, le trinf4me naadmets aucune racine dans $\mathbb{R}$.

📖 2. Signe du trinôme selon le discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation pour $>0$ : Quand $>0$, $P(x)$ se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$, ce qui permet deobtenir son signe via les intervalles autour de $x_1$ et $x_2$.
• Factorisation pour $=0$ : Quand $=0$, $P(x)$ se factorise en $a(x-x_S)^2$, ce qui empeche le changement de signe au passage par $x_S$.
• Signe de $a$ : Le symbole $\mathrm{sgn}(a)$ indique le signe de $a$ et donne le signe de $P(x)$ quand $x\to\pm\infty$.

📝 Points essentiels