QCM : Analyse du trinôme du second degré (16 questions)

Explication

La forme canonique s’écrit bien $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$. Les autres propositions ne correspondent pas à la forme canonique d’un trinôme du second degré.

Explication

Un trinôme du second degré nécessite $a\neq0$ ; sinon, l’expression devient affine ou linéaire. Les autres conditions ne sont pas exigées pour définir un trinôme du second degré.

Explication

L’axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$, ce qui revient à $x=-\frac{b}{2a}$. Les autres écritures confondent l’axe avec une ordonnée ou avec une mauvaise expression.

Explication

Quand a>0, la parabole est ouverte vers le haut : la fonction décroît jusqu’au sommet puis croît ensuite. L’option inverse correspond au cas a<0.

Explication

La méthode consiste à écrire l’équation sous la forme $a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right)=0$, puis à résoudre l’équation en carré égal. Les autres propositions ne correspondent pas à la procédure indiquée.

Explication

Comme $a\neq0$, on peut diviser par a et résoudre l’équation équivalente sur les carrés. Cela ne donne pas automatiquement une solution unique ni l’absence de solution.

Explication

Si $\Delta<0$, l’équation ax^2+bx+c=0 n’admet aucune solution réelle. Les deux racines réelles apparaissent seulement lorsque $\Delta>0$.

Explication

Quand $\Delta=0$, il y a une racine double unique : $x_0=-\frac{b}{2a}$. La formule avec $\sqrt{\Delta}$ est celle du cas $\Delta>0$.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, l’équation du second degré possède deux solutions réelles distinctes. Une racine double correspond au cas $\Delta=0$.

Explication

Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise sous la forme a(x-x_1)(x-x_2), où x_1 et x_2 sont les deux racines réelles. Les autres écritures ne reproduisent pas correctement la factorisation.

Explication

Quand Δ>0 et que x1<x2 existent, le trinôme est du signe de a pour x<x1 et pour x>x2, et du signe opposé sur ]x1;x2[. Les autres propositions inversent ou déforment cette répartition.

Explication

Si Δ=0, l’équation admet une seule solution réelle, appelée racine double, qui vaut x0=-b/(2a). La présence de deux racines distinctes correspond au cas Δ>0.

Explication

Les formules de Vieta donnent x1+x2=-b/a dès que deux racines existent, distinctes ou confondues. Le quotient c/a correspond au produit des racines.

Explication

Le produit des racines vaut x1x2=c/a dans le cadre des relations de Vieta. La somme, elle, vaut -b/a.

Explication

L’abscisse du sommet, qui est aussi celle de l’axe de symétrie, vaut la moyenne des deux racines : α=(x1+x2)/2. Ce n’est ni leur différence ni leur produit.

Explication

Si le trinôme a deux racines, l’abscisse du sommet est la moyenne des racines, donc α=(x1+x2)/2. Cette propriété traduit la symétrie de la parabole par rapport à l’axe vertical passant par le milieu des racines.