f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
Explication
La forme canonique s’écrit bien f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, avec \alpha=-\frac{b}{2a} et \beta=f(\alpha). Les autres propositions ne correspondent pas à la forme canonique d’un trinôme du second degré.
a doit être non nul
Explication
Un trinôme du second degré nécessite a\neq0 ; sinon, l’expression devient affine ou linéaire. Les autres conditions ne sont pas exigées pour définir un trinôme du second degré.
x=\alpha
Explication
L’axe de symétrie a pour équation x=\alpha, ce qui revient à x=-\frac{b}{2a}. Les autres écritures confondent l’axe avec une ordonnée ou avec une mauvaise expression.
Elle décroît puis croît
Explication
Quand a>0, la parabole est ouverte vers le haut : la fonction décroît jusqu’au sommet puis croît ensuite. L’option inverse correspond au cas a<0.
Mettre l’expression sous la forme a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right)=0
Explication
La méthode consiste à écrire l’équation sous la forme a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right)=0, puis à résoudre l’équation en carré égal. Les autres propositions ne correspondent pas à la procédure indiquée.
De se ramener à une équation du second membre en carrés égaux
Explication
Comme a\neq0, on peut diviser par a et résoudre l’équation équivalente sur les carrés. Cela ne donne pas automatiquement une solution unique ni l’absence de solution.
Il n’admet aucune solution réelle
Explication
Si \Delta<0, l’équation ax^2+bx+c=0 n’admet aucune solution réelle. Les deux racines réelles apparaissent seulement lorsque \Delta>0.
x_0=-\frac{b}{2a}
Explication
Quand \Delta=0, il y a une racine double unique : x_0=-\frac{b}{2a}. La formule avec \sqrt{\Delta} est celle du cas \Delta>0.
Deux racines réelles distinctes
Explication
Lorsque \Delta>0, l’équation du second degré possède deux solutions réelles distinctes. Une racine double correspond au cas \Delta=0.
a(x-x_1)(x-x_2)
Explication
Si \Delta>0, le trinôme se factorise sous la forme a(x-x_1)(x-x_2), où x_1 et x_2 sont les deux racines réelles. Les autres écritures ne reproduisent pas correctement la factorisation.
Il a le signe de a à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles
Explication
Quand Δ>0 et que x1<x2 existent, le trinôme est du signe de a pour x<x1 et pour x>x2, et du signe opposé sur ]x1;x2[. Les autres propositions inversent ou déforment cette répartition.
Il admet une unique racine double égale à -b/(2a)
Explication
Si Δ=0, l’équation admet une seule solution réelle, appelée racine double, qui vaut x0=-b/(2a). La présence de deux racines distinctes correspond au cas Δ>0.
-b/a
Explication
Les formules de Vieta donnent x1+x2=-b/a dès que deux racines existent, distinctes ou confondues. Le quotient c/a correspond au produit des racines.
c/a
Explication
Le produit des racines vaut x1x2=c/a dans le cadre des relations de Vieta. La somme, elle, vaut -b/a.
(x1 + x2)/2
Explication
L’abscisse du sommet, qui est aussi celle de l’axe de symétrie, vaut la moyenne des deux racines : α=(x1+x2)/2. Ce n’est ni leur différence ni leur produit.
α = (x1 + x2)/2
Explication
Si le trinôme a deux racines, l’abscisse du sommet est la moyenne des racines, donc α=(x1+x2)/2. Cette propriété traduit la symétrie de la parabole par rapport à l’axe vertical passant par le milieu des racines.
Mémorisez les réponses avec 16 flashcards sur Analyse du trinôme du second degré.
Trinôme degré 2 — définition ?
Fonction polynôme $ax^2+bx+c$, $a eq0$.
Forme canonique — expression ?
$f(x)=a(x- rac{-b}{2a})^2+eta$.
Sommet parabole — coordonnées ?
$Sig(- rac{b}{2a}; rac{ riangle}{4a}ig)$.
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