Fiche de révision : Analyse et résolution des équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique et équations du second degré
2. Forme factorisée et étude du signe
3. Représentation graphique et variations
4. Listes Python
5. Raisonnement par contraposition
6. Variables aléatoires et loi de probabilité
7. Espérance, variance et simulation
8. Exponentielle, droites et cercles
9. Dérivées, tangentes et variations
10. Arbres de probabilités et indépendance
11. Cercle trigonométrique et fonctions

📖 1. Forme canonique et équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Forme canonique : écriture d’un trinôme du second degré sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ afin de résoudre des équations $f(x)=k$ facilement.
• Identité remarquable : Identités remarquables : $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ pour passer d’une forme développée à une forme sous carré.
• Discriminant : Discriminant : quantité $\Delta=b^2-4ac$ associée à $ax^2+bx+c$ qui détermine l’existence des solutions réelles.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, on peut écrire $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ puis résoudre $f(x)=k$ en ramenant à un carré.
• Dans la forme $ax^2+bx+c=0$, si $\Delta>0$ alors il y a deux racines réelles distinctes, si $\Delta=0$ une racine double, et si $\Delta<0$ aucune racine dans $\mathbb{R}$.
• Pour $5x^2-10x=0$, on factorise : $5x^2-10x=x(5x-10)$ donc $x=0$ ou $x=2$.
• Pour $4x^2-12=0$, on simplifie : $x^2=3$ donc $x=\sqrt3$ ou $x=-\sqrt3$.
• Si une racine $x_1$ est connue pour $ax^2+bx+c=0$, alors $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$ permettent de déduire l’autre racine $x_2$.
• Pour une équation $f(x)=k$ en forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$, on isole $(x-\alpha)^2$ après $k-\beta$ avant de prendre les racines carrées.

💡 Astuce mémo

Carré d’abord : $a(x-\alpha)^2+\beta$ transforme $f(x)=k$ en “un carré = une constante”.

📖 2. Forme factorisée et étude du signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : Forme factorisée : écriture d’un trinôme comme produit $(mx+p)(m'x+p')$ ou $a(x-x_1)(x-x_2)$ pour résoudre $f(x)=0$ et étudier le signe.
• Factorisation par identité : Factorisation par identité : utilisation de $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ pour obtenir des facteurs linéaires.
• Signe de $a$ : Signe de $a$ : règle qui fixe si une parabole est au-dessus ou au-dessous de l’axe pour déterminer le signe de $f(x)$.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $\Delta\ge0$, alors $f(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines (et change de signe entre les racines).
• Si $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $\Delta<0$, alors $f(x)$ garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$.
• Pour $f(x)=(mx+p)(m'x+p')$, on détermine le signe en combinant le signe de $mx+p$ et celui de $m'x+p'$ (via leurs racines).
• Pour résoudre une inéquation $f(x)>0$ (ou $\ge0$, $<0$, $\le0$), on dresse le tableau de signe de $f$ et on retient les intervalles compatibles avec le signe demandé.
• Si on connaît les racines $x_1$ et $x_2$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ et l’inconnue $a$ se trouve en utilisant une valeur particulière de $f$.
• Si on sait factoriser à partir d’un exemple de différence de carrés, alors $x^2+4x-5=(x+2)^2-9=(x-1)(x+5)$.

💡 Astuce mémo

“Zéros d’abord” : en forme factorisée, le signe ne change qu’aux racines.

📖 3. Représentation graphique et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe de symétrie : Axe de symétrie : droite verticale $x=\alpha$ passant par le sommet d’une parabole.
• Sommet de la parabole : Sommet : point $S(\alpha;\beta)$ avec $\beta=f(\alpha)$ qui donne aussi l’extremum lorsque la parabole est définie.
• Translation horizontale : Translation horizontale : pour $x\mapsto f(x-m)$, la courbe de $f$ est décalée de $m$ unités vers la droite.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=ax^2+bx+c$, alors la parabole est orientée vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$.
• L’axe de symétrie est donné par $x=\alpha$ où $\alpha$ vaut le point milieu des racines lorsque la forme canonique est utilisée, et le sommet est $S(\alpha;\beta)$ avec $\beta=f(\alpha)$.
• Pour déterminer les variations, on utilise le signe de $a$ (et donc l’orientation) puis on construit le tableau de variations associé à l’extremum.
• Pour l’optimisation, un tableau de variations fournit directement la valeur et la position du maximum ou du minimum.
• Le passage $x\mapsto f(x-m)$ correspond à un décalage vers la droite de la courbe de $m$ unités (exemple : $x\mapsto(x-4)^2$ est celle de $x\mapsto x^2$ décalée de 4 vers la droite).
• Si on sait placer l’extremum, alors l’étude des variations donne la position relative aux valeurs de $x$ de part et d’autre du sommet.

💡 Astuce mémo

Parabole : signe de $a$ = sens ; $abla$ de la courbe = extremum au sommet ; “$-m$ dans $f(x-m)$” décale à droite.

📖 4. Listes Python

🔑 Notions clés & Définitions

• Liste Python : Liste Python : structure notée avec des crochets, permettant de stocker plusieurs éléments ordonnés.
• Taille d’une liste : Taille d’une liste : nombre d’éléments, obtenu par $\texttt{len(L)}$.
• Produit cartésien : Produit cartésien : ensemble $E\times F$ des couples $(x,y)$ avec $x\in E$ et $y\in F$.

📝 Points essentiels

• Créer une liste : $\texttt{L=[]}$ produit une liste vide, et la compréhension $\texttt{[x**2 for x in range(10)]}$ construit les carrés jusqu’à $9^2$.
• Accéder par indice : dans une liste $L$, $L[0]$ est le premier élément et $L[2]$ le troisième ; $\texttt{len(L)}$ donne le nombre d’éléments.
• Ajouter à la fin : $\texttt{L=L+[25]}$ ou $\texttt{L.append(25)}$ ajoutent un élément en fin de liste.
• Supprimer un élément : $\texttt{L.pop(2)}$ enlève l’élément d’indice 2 tandis que $\texttt{L.remove(16)}$ supprime la première occurrence de $16$.
• Si $\text{Card}(E)=m$ et $\text{Card}(F)=n$, alors $\text{Card}(E\times F)=m\times n$.
• Un produit cartésien peut modéliser une expérience aléatoire par successions de choix, par exemple “lancer une pièce puis un dé”.

💡 Astuce mémo

Longueur et indices : $\texttt{L[0]}$ commence à 0, et $\texttt{len(L)}$ compte les éléments.

📖 5. Raisonnement par contraposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation d’une proposition : Négation : transformation d’une proposition en son contraire en changeant “>” en “\le”, “et” en “ou”, et “\forall” en “\exists” (et réciproquement).
• Implication logique : Implication logique : relation $A\Rightarrow B$ signifiant que si $A$ est vraie alors $B$ l’est aussi.
• Contraposée : Contraposée : transformation de $A\Rightarrow B$ en $\neg B\Rightarrow \neg A$ qui conserve la valeur de vérité.

📝 Points essentiels

• Pour $\neg(f(x)\ge2)$, la négation donne $f(x)\le2$.
• Pour $\neg(f(x)<0\ \text{ou}\ f(x)>2)$, la négation donne $f(x)\ge0\ \text{et}\ f(x)\le2$.
• Pour $\neg(\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)>2)$, la négation donne $\exists x\in\mathbb{R},\ f(x)\le2$.
• Une implication $A\Rightarrow B$ a la même valeur de vérité que sa contraposée $\neg B\Rightarrow \neg A$.
• Le raisonnement par contraposition consiste à prouver $\neg B\Rightarrow \neg A$ pour conclure à $A\Rightarrow B$.
• Une condition nécessaire s’écrit $B\Rightarrow A$, une condition suffisante s’écrit $A\Rightarrow B$, et l’équivalence s’écrit $A\Leftrightarrow B$.

💡 Astuce mémo

Contraposition = “renverse et nie” : $A\Rightarrow B$ devient $\neg B\Rightarrow\neg A$.

📖 6. Variables aléatoires et loi de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement {X = a} : Événement {X = a} : ensemble des issues pour lesquelles la variable aléatoire $X$ prend exactement la valeur $a$.
• Événement {X ≤ a} : Événement {X ≤ a} : ensemble des issues pour lesquelles $X$ prend une valeur au plus égale à $a$.
• Loi de probabilité : Loi de probabilité : tableau associant à chaque valeur possible de $X$ sa probabilité $P(X=\xi)$.
• Univers Ω : Univers $\Omega$ : ensemble des issues possibles de l’expérience aléatoire étudiée.

📝 Points essentiels

• Pour une expérience de deux dés, $\Omega$ contient $6\times6=36$ issues équiprobables.
• Pour la somme $X$ des deux dés, $\{X=12\}={(6;6)}$ et $P(X=12)=\frac{1}{36}$.
• Pour la même somme $X$, $\{X\le3\}={(1;1),(1;2),(2;1)}$ et $P(X\le3)=\frac{3}{36}$.
• Lorsque $X$ prend un nombre fini de valeurs, la loi de probabilité est un tableau listant les $\xi_i$ et les $P(X=\xi_i)$.
• Dans l’exemple somme de deux dés, la loi vérifie que la somme des probabilités vaut 1.
• On peut calculer $P(X\ge10)$ par addition des probabilités exactes : $P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)$.

💡 Astuce mémo

Distinguer : {X=a} = exact, et {X≤a} = toutes les issues dont la valeur reste sous le seuil.

📖 7. Espérance, variance et simulation

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance E(X) : Espérance : moyenne pondérée $E(X)=\sum p_i x_i$ des valeurs $x_i$ de la variable aléatoire.
• Variance V(X) : Variance : moyenne des carrés des écarts à l’espérance, $V(X)=\sum p_i(x_i-E(X))^2$.
• Écart-type σ(X) : Écart-type : racine carrée de la variance, $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
• Simulation aléatoire en Python : Simulation : génération de valeurs aléatoires avec $\texttt{randint(a,b)}$ ou $\texttt{random()}$ pour approcher des résultats.

📝 Points essentiels

• Formule : $E(X)=\sum p_i x_i$ (et elle correspond à la moyenne des valeurs quand on répète l’expérience un grand nombre de fois).
• Variance : $V(X)=\sum p_i(x_i-E(X))^2$ et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
• Si $X$ représente un gain et que le jeu est équitable, alors $E(X)=0$ (ni avantage ni désavantage).
• En Python, on peut définir une fonction qui calcule $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$ à partir de deux listes : valeurs $x_i$ et probabilités $p_i$.
• Pour simuler des tirages : $\texttt{randint(a,b)}$ renvoie un entier entre $a$ et $b$, et $\texttt{random()}$ renvoie un réel entre 0 et 1.

💡 Astuce mémo

Espérance = moyenne pondérée ; variance = “moyenne des écarts au carré” ; écart-type = variance puis racine.

📖 8. Exponentielle, droites et cercles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : Fonction exponentielle : fonction dérivable telle que $e^x$ vaut 1 en 0 et est sa propre dérivée.
• Dérivée de l’exponentielle : Règle de dérivation : $(e^x)'=e^x$ et si $u$ est dérivable alors $(e^u)'=u'e^u$.
• Équation cartésienne de droite : Équation cartésienne de droite : forme $ax+by+c=0$ avec un vecteur normal $(a;b)$ non nul orthogonal à la direction de la droite.
• Équation de cercle : Équation de cercle : écriture du type $(x-x_I)^2+(y-y_I)^2=r^2$ ou forme développée $x^2+ax+y^2+by+c=0$.

📝 Points essentiels

• L’unicité citée : il existe une seule fonction dérivable valant 1 en 0 et égale à sa dérivée, notée $e^x$ (ou $\exp$).
• Dérivées : $(e^x)'=e^x$ et pour une fonction $u$ dérivable, $(e^u)'=u'e^u$.
• Égalités : $e^a\times e^b=e^{a+b}$ donc $e^x\times e^{-x}=1$, et $1/e^a=e^{-a}$.
• Équivalence pour résoudre : $e^a=e^b\Leftrightarrow a=b$, et pour les inégalités $e^a\le e^b\Leftrightarrow a\le b$.
• Pour une droite $ax+by+c=0$, un vecteur normal est $(a;b)$, et si $n(a;b)$ est normal à la droite passant par $A$, alors $A(x_A,y_A)$ vérifie l’équation et sert à déterminer $c$.
• Pour un cercle de centre $I(x_I;y_I)$ et rayon $r$, l’équation est $(x-x_I)^2+(y-y_I)^2=r^2$ (avec la réciproque annoncée pour $r>0$).

💡 Astuce mémo

Exponentielle : jamais négative (toujours $>0$) ; géométrie : normal = coefficients de $ax+by+c=0$, centre/rayon = complétion des carrés.

📖 9. Dérivées, tangentes et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé f’(a) : Nombre dérivé : pente de la tangente en $a$, notée $f'(a)$, ou taux de variation limite en $a$.
• Équation de la tangente : Tangente : droite $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ passant par le point $(a;f(a))$.
• Règles de dérivation : Règles de dérivation : puissances, constantes, produit, quotient et dérivées en “u” lorsque l’exponentielle est présente.
• Variation via signe de f’ : Variations : le signe de $f'(x)$ détermine si $f$ est croissante, décroissante ou constante.

📝 Points essentiels

• Lecture graphique : $f'(a)$ est la pente de la tangente en $a$ et vaut $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ si la tangente passe par deux points $A$ et $B$.
• Formule analytique : f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h, et $|x|$ n’est pas dérivable en 0.
• Règles en $x$ : $(x^n)'=n x^{n-1}$, donc $(x^2)'=2x$, $(x)'=1$, $(\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x}$ et $(1/x)'=-1/x^2$.
• En u : si $u$ est dérivable alors $(e^u)'=u'e^u$, et la règle produit $(u\times v)'=u'v+uv'$ et quotient $(u/v)'=(u'v-v'u)/v^2$ s’appliquent.
• Tangente : connaissant $a$, on calcule $f(a)$ et $f'(a)$ puis la tangente est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Comparaison courbe-tangente : l’écart $h(x)=f(x)-(mx+p)$, et le signe de $h(x)$ sur un intervalle donne la position de $C$ au-dessus ou au-dessous de $D:y=mx+p$.

💡 Astuce mémo

Tangente = “pente × déplacement” : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, et variations = signe de $f'$.

📖 10. Arbres de probabilités et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle P_A(B) : Probabilité conditionnelle : $P_A(B)$ est la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.
• Probabilité conjointe P(A ∩ B) : Probabilité conjointe : $P(A\cap B)$ est la probabilité que $A$ et $B$ soient réalisés.
• Arbre de probabilités : Arbre de probabilités : schéma où les niveaux correspondent à $P(A)$ puis $P_A(B)$ pour modéliser des successions.
• Indépendance de A et B : Indépendance : deux événements sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

📝 Points essentiels

• Différence : $P_A(B)$ correspond à la probabilité de $B$ après avoir “pris en compte” $A$, tandis que $P(A\cap B)$ correspond à la probabilité que $A$ et $B$ arrivent ensemble.
• Sur un arbre, les probabilités du 1er niveau sont de type $P(A)$ et celles du 2e niveau sont de type $P_A(B)$.
• Pour un parcours “A puis B”, on a $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
• Partition : si $A_1,\dots,A_n$ forment une partition, alors $P(B)=\sum_{k=1}^n P(A_k\cap B)=\sum_{k=1}^n P(A_k)\,P_{A_k}(B)$.
• Calcul conditionnel : $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ quand $B$ est sur le 2e niveau de l’arbre.
• Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants ssi $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

💡 Astuce mémo

Arbre = produit le long du chemin : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$, et indépendance = “pas besoin de conditionner”.

📖 11. Cercle trigonométrique et fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Cercle trigonométrique : cercle de centre O et de rayon 1 utilisé pour lire $\cos(\alpha)$ et $\sin(\alpha)$.
• Images sur le cercle : Images d’un angle : le point $M$ associé à $\alpha$ a pour coordonnées $(\cos\alpha,\sin\alpha)$.
• Valeurs remarquables : Valeurs remarquables : cosinus et sinus aux angles $0,\pi/6,\pi/4,\pi/3,\pi/2$ listés par le cours.
• Périodicité et parité : Parité et périodicité : propriétés de $\cos$ et $\sin$ permettant de simplifier des expressions.

📝 Points essentiels

• Le cercle a rayon 1, donc sa circonférence vaut $2\pi$ et son demi-cercle a pour longueur $\pi$.
• Sur le cercle trigonométrique, pour tout $\alpha$, on lit $\cos(\alpha)$ et $\sin(\alpha)$ comme coordonnées du point image $M$.
• On a toujours $-1\le\cos(\alpha)\le1$ et $-1\le\sin(\alpha)\le1$.
• Si on connaît $\sin\alpha$, alors on calcule $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$, on obtient deux valeurs possibles puis on choisit celle qui correspond au signe de $\cos\alpha$.
• Valeurs exactes : pour $x\in\{0,\pi/6,\pi/4,\pi/3,\pi/2\}$, le cours donne $\cos(x)$ et $\sin(x)$ (par exemple $\cos(\pi/6)=\sqrt3/2$ et $\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$).
• Périodicité : $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$.

💡 Astuce mémo

Coordonnées = trig : sur le cercle, $(\cos\alpha,\sin\alpha)$, et “2\pi = un tour”.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant du second degré

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $P_A(B)$ (condition sur $A$) avec $P(A\cap B)$ (événement conjoint) conduit à un arbre mal interprété.
2. Mélanger les règles de négation : oublier que “et” devient “ou” et “\forall” devient “\exists” quand on nie une proposition.
3. Croire que le signe de $f(x)$ se lit directement sur les coefficients sans passer par les racines et le “signe de a” pour une parabole.
4. Penser qu’une inéquation $f(x)>0$ se résout avec le discriminant seul : il faut construire le tableau de signe de $f$.
5. Confondre la formule de tangente : utiliser $y=f(a)+f'(a)x$ au lieu de $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
6. Croire que $e^x$ peut être négatif : la propriété “signe évident” impose $e^x>0$ pour tout réel.
7. Déduire un extremum global uniquement parce que $f'$ s’annule : un extremum local peut ne pas être global.

✅ Checklist Examen

1. Mettre un trinôme sous forme canonique à l’aide des identités remarquables puis résoudre une équation $f(x)=k$ en ramenant à un carré.
2. Résoudre rapidement des équations de degré 2 simples en factorisant et en utilisant les produits égaux à 0.
3. Calculer le discriminant $\Delta$ et conclure sur le nombre de racines réelles selon le signe de $\Delta$.
4. Utiliser la forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ pour résoudre $f(x)=0$ et pour construire un tableau de signe.
5. Construire un tableau de signe de $f(x)>0$ (ou $\ge0$, $<0$, $\le0$) et donner l’ensemble des solutions.
6. Déterminer orientation de la parabole via le signe de $a$, puis placer axe de symétrie et sommet $S(\alpha;\beta)$ pour conclure sur l’extremum.
7. Convertir la courbe de $f(x)$ en celle de $f(x-m)$ en décalant horizontalement de $m$ unités vers la droite.
8. Savoir créer, indexer, mesurer avec $\texttt{len}$, ajouter avec $\texttt{append}$ ou concaténer, et supprimer avec $\texttt{pop}$ ou $\texttt{remove}$ dans une liste Python.
9. Écrire et interpréter un produit cartésien $E\times F$, et déterminer son nombre d’éléments quand on connaît les cardinaux.
10. Rédiger des négations correctes de propositions en changeant “>”/“\le”, “et”/“ou”, et “\forall”/“\exists”.
11. Appliquer la contraposition : prouver $\neg B\Rightarrow\neg A$ pour conclure $A\Rightarrow B$.
12. Construire une loi de probabilité en tableau pour une variable aléatoire discrète et calculer $P(X\ge t)$ par addition des probabilités.
13. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$ à partir d’une loi sous forme de tableau et interpréter $E(X)$ et le cas $E(X)=0$.
14. Simuler des tirages en Python avec $\texttt{randint}$ et $\texttt{random}$ pour approcher des résultats.