QCM : Analyse et résolution des équations du second degré — 22 questions

Question 1

1. Dans une équation du second degré mise sous forme canonique, quelle transformation permet de résoudre facilement l’égalité f(x)=k ?

Factoriser en utilisant une différence de deux carrés

Isoler un carré puis prendre la racine carrée

Calculer seulement le discriminant

Tracer la parabole sans calcul algébrique

Explication

La forme canonique s’écrit sous la forme a(x-α)^2+β, ce qui permet de ramener f(x)=k à une équation du type “un carré = une constante”. Le discriminant n’est pas l’outil privilégié dans cette situation.

Answer

Isoler un carré puis prendre la racine carrée

Question 2

2. Que permet de conclure le discriminant d’une équation ax^2+bx+c=0 quand il est strictement négatif ?

L’équation n’a aucune racine réelle

L’équation est équivalente à une équation du premier degré

L’équation admet une racine double

L’équation admet deux racines réelles distinctes

Explication

Si Δ<0, l’équation n’a aucune solution dans ℝ. C’est le signe de Δ qui détermine l’existence des racines réelles.

Answer

L’équation n’a aucune racine réelle

Question 3

3. Pour un trinôme factorisé f(x)=a(x-x1)(x-x2) avec deux racines réelles distinctes, quel est le signe de f(x) à l’extérieur des racines ?

Le signe de a

Un signe toujours positif

Un signe qui dépend seulement de x1

Le signe opposé à celui de a

Explication

Quand Δ≥0 et que les racines sont réelles, le trinôme prend le signe de a à l’extérieur des racines. Entre les racines, il change de signe.

Answer

Le signe de a

Question 4

4. Quelle factorisation correspond à l’expression x^2+4x-5 ?

(x-2)(x+3)

(x-1)(x+5)

(x+1)(x-5)

(x+2)(x-9)

Explication

On peut écrire x^2+4x-5=(x+2)^2-9, puis utiliser une différence de deux carrés : (x-1)(x+5). Les autres propositions ne redonnent pas le bon trinôme.

Answer

(x-1)(x+5)

Question 5

5. Pour une parabole définie par f(x)=ax^2+bx+c, quel est l’effet du signe de a sur son orientation ?

a>0 : vers le bas, a<0 : vers le haut

a>0 : vers le haut, a<0 : vers le bas

Le signe de a n’influence pas l’orientation

L’orientation dépend uniquement de c

Explication

Le signe de a détermine l’ouverture de la parabole : vers le haut si a>0 et vers le bas si a<0. C’est essentiel pour construire le tableau de variations.

Answer

a>0 : vers le haut, a<0 : vers le bas

Question 6

6. Que représente la substitution x↦f(x-m) sur la courbe de f ?

Un décalage de m unités vers la gauche

Une rotation autour de l’origine

Une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées

Un décalage de m unités vers la droite

Explication

La transformation x↦f(x-m) translate la courbe de m unités vers la droite. Par exemple, (x-4)^2 correspond à un déplacement de 4 vers la droite.

Answer

Un décalage de m unités vers la droite

Question 7

7. Dans une liste Python L, que représente l’expression L[0] ?

Le deuxième élément de la liste

Le nombre total d’éléments

Le dernier élément de la liste

Le premier élément de la liste

Explication

L’indexation des listes commence à 0 en Python, donc L[0] désigne le premier élément. Le nombre d’éléments se trouve avec len(L).

Answer

Le premier élément de la liste

Question 8

8. Quelle instruction supprime la première occurrence de 16 dans une liste Python L ?

L.remove(16)

L.append(16)

L.pop(16)

L[16]=None

Explication

La méthode remove(16) supprime la première occurrence de la valeur 16. La méthode pop enlève un élément à un indice donné, pas une valeur.

Answer

L.remove(16)

Question 9

9. Quelle est la négation correcte de l’implication A ⇒ B ?

B ⇒ A

¬A ⇒ ¬B

A ⇒ ¬B

¬B ⇒ ¬A

Explication

La contraposée d’une implication A⇒B est ¬B⇒¬A et elle a la même valeur de vérité. Ce n’est pas simplement l’inverse B⇒A.

Answer

¬B ⇒ ¬A

Question 10

10. Comment s’écrit correctement la négation de la proposition “f(x)<0 ou f(x)>2” ?

f(x)>0 et f(x)<2

f(x)≤0 ou f(x)≥2

f(x)≥0 et f(x)≤2

f(x)≤0 et f(x)≥2

Explication

La négation d’un “ou” devient un “et”, et les inégalités strictes se retournent en inégalités larges. On obtient donc f(x)≥0 et f(x)≤2.

Answer

f(x)≥0 et f(x)≤2

Question 11

11. Dans une expérience aléatoire, comment appelle-t-on le tableau qui associe à chaque valeur possible d’une variable aléatoire sa probabilité ?

La forme factorisée

La loi de probabilité

Le tableau de variations

Le produit cartésien

Explication

La loi de probabilité est précisément le tableau qui relie chaque valeur possible de la variable aléatoire à sa probabilité. Les autres propositions renvoient à des notions de fonctions, d’algèbre ou d’ensembles.

Answer

La loi de probabilité

Question 12

12. Pour la somme de deux dés, quelle est la probabilité de l’événement {X = 12} ?

3/36

2/36

1/12

1/36

Explication

La somme 12 n’apparaît que pour l’issue (6,6), parmi 36 issues équiprobables, donc la probabilité vaut 1/36. Les autres valeurs correspondent à des événements plus fréquents ou mal comptés.

Answer

Somme des produits p_i x_i

Answer

randint(a,b)

Answer

ax + by + c = 0

Answer

Sa dérivée est elle-même et elle vaut 1 en 0

Answer

Le sens de variation de f

Answer

y = f'(a)(x-a) + f(a)

Answer

P(A) × P_A(B)

Answer

Lorsque P(A ∩ B) = P(A)P(B)

Answer

(cos α, sin α)

Answer

cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x)

Question 13

13. Quelle expression donne l’espérance d’une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x_i avec les probabilités p_i ?

Produit des valeurs par leur rang

Somme des produits p_i x_i

Somme des écarts à la moyenne

Racine carrée de la variance

Explication

L’espérance est une moyenne pondérée : on additionne chaque valeur multipliée par sa probabilité. Les autres réponses décrivent la variance, l’écart-type ou une quantité sans lien direct.

Question 14

14. Dans une simulation Python, quelle fonction renvoie un entier aléatoire compris entre deux bornes entières ?

len(L)

randint(a,b)

append(x)

random()

Explication

La fonction randint(a,b) génère un entier aléatoire entre a et b. random() renvoie un réel entre 0 et 1, tandis que len et append concernent les listes.

Question 15

15. Comment s’écrit l’équation cartésienne d’une droite dans le plan ?

y = f'(a)(x-a) + f(a)

a(x-b1)^2 + b2

(x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 = r^2

ax + by + c = 0

Explication

Une droite admet une équation de la forme ax+by+c=0, avec un vecteur normal (a;b). Les autres écritures correspondent à un cercle, une tangente ou une forme canonique.

Question 16

16. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

Elle est définie seulement pour x positif

Elle s’annule en 0 et change de signe

Sa dérivée est constante égale à 1

Sa dérivée est elle-même et elle vaut 1 en 0

Explication

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable qui vaut 1 en 0 et dont la dérivée est elle-même. Elle reste toujours strictement positive, contrairement à la proposition sur les changements de signe.

Question 17

17. Que représente le signe de la dérivée f'(x) sur un intervalle ?

La position du sommet de la parabole

Le nombre de zéros de f

La valeur exacte de f(x)

Le sens de variation de f

Explication

Le signe de f'(x) permet de savoir si f est croissante, décroissante ou constante sur l’intervalle. Les autres réponses concernent d’autres aspects de l’étude d’une fonction.

Question 18

18. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

y = f(x-a) + f(a)

y = f(a)x + f'(a)

y = f'(x)(a-x) + a

y = f'(a)(x-a) + f(a)

Explication

La tangente en a a pour équation y=f'(a)(x-a)+f(a). Cette formule utilise à la fois la pente en a et le point de tangence (a;f(a)).

Question 19

19. Dans un arbre de probabilités, comment calcule-t-on la probabilité de l’événement A ∩ B lorsqu’on suit d’abord A puis B ?

P(A) + P(B)

P(A) × P(B) seulement

P(A) × P_A(B)

P(B) / P(A)

Explication

Sur un arbre, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités le long du chemin : P(A∩B)=P(A)×P_A(B). Il ne faut pas confondre cela avec P(A)×P(B), qui n’est vrai que si les événements sont indépendants.

Question 20

20. Quand deux événements sont-ils indépendants ?

Lorsque P_A(B) = P(A) + P(B)

Lorsque P(B) = 0

Lorsque P(A ∩ B) = P(A)P(B)

Lorsque P(A ∩ B) = P(A) + P(B)

Explication

Deux événements sont indépendants si et seulement si la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités. Les autres égalités ne caractérisent pas l’indépendance.

Question 21

21. Sur le cercle trigonométrique, quelles sont les coordonnées du point associé à un angle α ?

(cos α, sin α)

(sin α, cos α)

(tan α, 1)

(1, α)

Explication

Sur le cercle trigonométrique de rayon 1, le point image d’un angle α a pour coordonnées (\cos\alpha,\sin\alpha). Les autres propositions confondent les rôles des fonctions trigonométriques ou ne décrivent pas des coordonnées du cercle.

Question 22

22. Quelle propriété permet de simplifier directement les valeurs de cosinus et de sinus après un tour complet ?

cos(x) = sin(x) pour tout x

cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x)

cos(-x) = -cos(x) et sin(-x) = sin(x)

cos(x + π) = cos(x) et sin(x + π) = sin(x)

Explication

Le cosinus et le sinus sont périodiques de période 2π, donc ajouter 2π ne change pas leur valeur. Les autres propositions mélangent parité et périodicité ou énoncent une égalité fausse.

QCM : Analyse et résolution des équations du second degré — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans une équation du second degré mise sous forme canonique, quelle transformation permet de résoudre facilement l’égalité f(x)=k ?

2. Que permet de conclure le discriminant d’une équation ax^2+bx+c=0 quand il est strictement négatif ?

3. Pour un trinôme factorisé f(x)=a(x-x1)(x-x2) avec deux racines réelles distinctes, quel est le signe de f(x) à l’extérieur des racines ?

4. Quelle factorisation correspond à l’expression x^2+4x-5 ?

5. Pour une parabole définie par f(x)=ax^2+bx+c, quel est l’effet du signe de a sur son orientation ?

6. Que représente la substitution x↦f(x-m) sur la courbe de f ?

7. Dans une liste Python L, que représente l’expression L[0] ?

8. Quelle instruction supprime la première occurrence de 16 dans une liste Python L ?

9. Quelle est la négation correcte de l’implication A ⇒ B ?

10. Comment s’écrit correctement la négation de la proposition “f(x)<0 ou f(x)>2” ?

11. Dans une expérience aléatoire, comment appelle-t-on le tableau qui associe à chaque valeur possible d’une variable aléatoire sa probabilité ?

12. Pour la somme de deux dés, quelle est la probabilité de l’événement {X = 12} ?

13. Quelle expression donne l’espérance d’une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x_i avec les probabilités p_i ?

14. Dans une simulation Python, quelle fonction renvoie un entier aléatoire compris entre deux bornes entières ?

15. Comment s’écrit l’équation cartésienne d’une droite dans le plan ?

16. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

17. Que représente le signe de la dérivée f'(x) sur un intervalle ?

18. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

19. Dans un arbre de probabilités, comment calcule-t-on la probabilité de l’événement A ∩ B lorsqu’on suit d’abord A puis B ?

20. Quand deux événements sont-ils indépendants ?

21. Sur le cercle trigonométrique, quelles sont les coordonnées du point associé à un angle α ?

22. Quelle propriété permet de simplifier directement les valeurs de cosinus et de sinus après un tour complet ?

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