Fiche de révision : Analyse géométrique et barycentres

📋 Plan du Cours

1. Barycentre de points pondérés
2. Isobarycentre
3. Homogénéité du barycentre
4. Réduction des sommes vectorielles
5. Coordonnées du barycentre
6. Barycentre partiel
7. Lignes de niveau
8. Sommes quadratiques et cercles
9. Rapport des distances et médiatrice
10. Lignes de niveau angulaires
11. Centre de gravité d’un cube évidé

📖 1. Barycentre de points pondérés

🔑 Notions clés & Définitions

• Barycentre : Point unique associé à $n$ points pondérés dont une combinaison vectorielle pondérée des positions vaut le vecteur nul.
• Points pondérés : Paires constituées d’un point et d’un coefficient réel servant de poids dans la définition du barycentre.
• Condition d’existence : Le barycentre existe et est unique lorsque la somme des coefficients des points pondérés est non nulle.
• Notation bar : Notation du barycentre sous la forme $G=\overline{(A_1,\alpha_1),\dots,(A_n,\alpha_n)}$.

📝 Points essentiels

• Pour $\alpha_1+\cdots+\alpha_n\neq 0$, il existe un unique point $G$ tel que $\sum_{i=1}^n \alpha_i\,\overrightarrow{GA_i}=\overrightarrow{0}$.
• Si $\alpha_1+\cdots+\alpha_n=0$, le barycentre n’existe pas.
• Pour $\alpha_1+\cdots+\alpha_n\neq 0$, on a $\overrightarrow{GA_1}=\sum_{i=2}^n\frac{\alpha_i}{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}\,\overrightarrow{A_1A_i}$, et en particulier pour deux points $\overrightarrow{AG}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB}$.
• Dans le cas de deux points pondérés $(A,\alpha)$ et $(B,\beta)$, $G$ vérifie $AG=\frac{\beta}{\alpha+\beta}AB$ en vecteurs.

💡 Astuce mémo

Somme des coefficients ≠ 0 : combinaison pondérée des vecteurs d’origine GA_i = 0, donc un point unique.

📖 2. Isobarycentre

🔑 Notions clés & Définitions

• Isobarycentre : Barycentre obtenu à partir de points pondérés tous affectés du même coefficient non nul $\alpha$.
• Milleu : Cas à deux points : l’isobarycentre correspond au milieu du segment.
• Centre de gravité du triangle : Cas à trois points non alignés : l’isobarycentre correspond au centre de gravité du triangle.
• Barycentre de $A,B,C,D$ : Dans un parallélogramme de centre $O$, $O$ peut être vu comme l’isobarycentre des quatre sommets.

📝 Points essentiels

• L’isobarycentre d’au moins deux points s’appuie sur une liste $(A_1,\alpha),(A_2,\alpha),\dots,(A_n,\alpha)$ avec $\alpha\neq 0$.
• Si $n=2$, l’isobarycentre est le milieu du segment $[A_1A_2]$.
• Si $n=3$ et les points sont non alignés, l’isobarycentre est le centre de gravité du triangle formé par ces points.
• Si $G$ est l’isobarycentre de $A_1,\dots,A_n$, alors $\sum_{i=1}^n \overrightarrow{GA_i}=\overrightarrow{0}$.
• Dans un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$, on a $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

💡 Astuce mémo

Même poids pour tous les points : la somme des vecteurs $\overrightarrow{GA_i}$ s’annule.

📖 3. Homogénéité du barycentre

🔑 Notions clés & Définitions

• Homogénéité : Propriété qui dit que multiplier tous les coefficients par un même réel non nul ne change pas le barycentre.
• Barycentre inchangé : Résultat stable : la position de $G$ ne dépend pas du facteur commun appliqué à tous les poids.

📝 Points essentiels

• Si $k\neq 0$ et $G=\overline{(A_1,\alpha_1),\dots,(A_n,\alpha_n)}$, alors $G=\overline{(A_1,k\alpha_1),\dots,(A_n,k\alpha_n)}$.
• Dans l’exercice avec $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$, on obtient $G=\overline{(A,1),(B,3)}$ et les cas où la proportion des coefficients donne cette même valeur conviennent.
• Les cas compatibles avec $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ sont ceux où $\frac{\beta}{\alpha+\beta}=\frac{3}{4}$ en notation $(A,\alpha)$ et $(B,\beta)$.
• Les cas où la somme $\alpha+\beta$ est nulle ne permettent pas de barycentre, donc ils ne peuvent pas satisfaire la définition du point $G$.

💡 Astuce mémo

Facteur commun sur les poids : on “simplifie” les coefficients sans bouger $G$.

📖 4. Réduction des sommes vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme vectorielle pondérée : Expression de la forme $\sum \alpha_i\,\overrightarrow{MA_i}$ utilisée pour relier une somme à un barycentre.
• Réduction vers un barycentre : Transformation qui remplace une somme vectorielle multiple par un coefficient fois $\overrightarrow{MG}$ lorsque $G$ est barycentre des points pondérés.
• Somme des coefficients : Grandeur $\sum_{i=1}^n \alpha_i$ qui conditionne si la réduction donne une expression dépendant de $M$ ou constante.

📝 Points essentiels

• Pour $\sum_{i=1}^n \alpha_i\neq 0$, avec $G=\overline{(A_1,\alpha_1),\dots,(A_n,\alpha_n)}$, on a $\sum_{i=1}^n \alpha_i\overrightarrow{MA_i}=\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i\right)\overrightarrow{MG}$.
• Si $\sum_{i=1}^n \alpha_i=0$, alors $\sum_{i=1}^n \alpha_i\overrightarrow{MA_i}$ est un vecteur constant indépendant de $M$.
• Dans l’exemple $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$, la somme des coefficients vaut $3$, donc l’expression se réduit à $3\overrightarrow{MG}$ où $G$ est le barycentre des points $(A,3),(B,1),(C,1),(D,-2)$.
• Dans l’exemple $4\overrightarrow{MA}-5\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$, la somme des coefficients vaut $0$, donc l’expression est constante et vaut $-3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (après remplacement de $M$ par $A$).

💡 Astuce mémo

Somme des coefficients : non nulle → “ça devient un seul vecteur $\overrightarrow{MG}$”, nulle → “constant”.

📖 5. Coordonnées du barycentre

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère : Système $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$ donnant des coordonnées aux points dans l’espace.
• Coordonnées barycentre : Règle de calcul des coordonnées de $G$ à partir de celles des points $A_i$ et de leurs coefficients.
• Somme pondérée : Combinaison de coordonnées avec coefficients $\alpha_i$, divisée par la somme des coefficients.

📝 Points essentiels

• Dans l’espace, si $A_i(x_i,y_i,z_i)$ et $G$ barycentre de $(A_i,\alpha_i)$, alors $x_G=\frac{\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i}{\sum_{i=1}^n \alpha_i}$, et pareil pour $y_G$ et $z_G$.
• Le dénominateur commun utilisé pour $x_G,y_G,z_G$ est la même somme $\sum_{i=1}^n \alpha_i$.
• Dans l’exercice, avec $A(0,-1,2)$, $B(8,5,-1)$, $C(8,-5,-2)$ et $G=\overline{(A,-1),(B,1),(C,-1)}$, la somme des coefficients vaut $-1$.
• Le choix correct du triplet est celui vérifiant la formule : $x_G=\frac{-1\cdot 0+1\cdot 8-1\cdot 8}{-1}=0$.
• Le calcul se fait composante par composante : une fois $x_G$ trouvé, on teste aussi $y_G$ et $z_G$ pour déterminer le triplet exact.

💡 Astuce mémo

Même recette sur $x,y,z$ : somme pondérée puis division par la somme des poids.

📖 6. Barycentre partiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Barycentre partiel : Barycentre obtenu en remplaçant plusieurs points pondérés par leur barycentre unique affecté de la somme des coefficients.
• Regroupement de points : Opération qui fusionne $p$ points pondérés en un seul point $H$ sans changer le barycentre global.
• Barycentre global inchangé : Propriété qui garantit que la fusion ne modifie pas la position du barycentre $G$ final.

📝 Points essentiels

• On ne change pas le barycentre $G$ en remplaçant $p$ points $(A_1,\alpha_1),\dots,(A_p,\alpha_p)$ par $H=\overline{(A_1,\alpha_1),\dots,(A_p,\alpha_p)}$ affecté du coefficient $\alpha_1+\cdots+\alpha_p$.
• Le barycentre partiel $H$ existe si $\alpha_1+\cdots+\alpha_p\neq 0$.
• La réécriture correspondante est : $\overline{(A_1,\alpha_1),\dots,(A_n,\alpha_n)}=\overline{(H,\alpha_1+\cdots+\alpha_p),(A_{p+1},\alpha_{p+1}),\dots,(A_n,\alpha_n)}$.
• Dans l’exercice sur $G$ avec $(A,-2),(B,1),(C,3)$, on pose $I=\overline{(A,-2),(C,3)}$ puis $G=\overline{(I,1),(B,1)}$.
• Comme $I$ est barycentre de $(A,-2)$ et $(C,3)$, la construction donne $\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AC}$ et ensuite $G$ est le milieu de $[IB]$.

💡 Astuce mémo

Je regroupe d’abord plusieurs points en un centre $H$, puis je refais le barycentre global avec $H$.

📖 7. Lignes de niveau

🔑 Notions clés & Définitions

• Ligne de niveau : Ensemble des points $M$ tels que la valeur de la fonction $f(M)$ soit égale à un nombre réel $k$.
• Application $f$ : Fonction qui associe à chaque point du plan une valeur réelle utilisée pour définir les lignes de niveau.
• Condition $f(M)=k$ : Équation qui caractérise précisément la ligne de niveau cherchée.

📝 Points essentiels

• Une ligne de niveau $k$ de $f$ est l’ensemble des points $M$ du plan vérifiant $f(M)=k$.
• Pour $f(M)=\sum_{i=1}^n \alpha_i\,\overrightarrow{MA_i}$, les formes des lignes de niveau dépendent de $\sum \alpha_i$ et du barycentre $G$ des $(A_i,\alpha_i)$.
• Si $\sum_{i=1}^n \alpha_i\neq 0$, la ligne de niveau $k$ est soit vide, soit réduite à $\{G\}$, soit un cercle de centre $G$.
• Si $\sum_{i=1}^n \alpha_i=0$, la ligne de niveau $k$ est vide ou un plan lorsque l’expression liée à $\sum \alpha_i\overrightarrow{OA_i}$ vaut $\vec 0$ et qu’elle ne dépend plus de $M$, sinon elle est une droite de vecteur normal $\sum \alpha_i\overrightarrow{OA_i}$.
• Dans l’exercice $MA^2-2MB^2=4$ avec $AB=2$, l’ensemble obtenu est un cercle de centre $G=\overline{(A,1),(B,-2)}$ et de rayon $2$.

💡 Astuce mémo

Ligne de niveau : tu “fies” une valeur $k$ à la fonction, puis la géométrie (cercle/droite/segment/arc) apparaît.

📖 8. Sommes quadratiques et cercles

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme quadratique : Expression de la forme $\sum \alpha_i\,MA_i^2$ utilisée pour obtenir des ensembles géométriques (cercle, droite, vide, etc.).
• Cercle de centre $G$ : Ensemble des points dont une expression quadratique se réduit à $MG^2$ égale à une constante.
• Égalité de type $MA^2-MB^2$ : Transformation qui relie une différence de carrés de distances à une autre distance via un barycentre.

📝 Points essentiels

• Pour l’application $f(M)=\sum_{i=1}^n \alpha_i\,MA_i^2$, si $\sum \alpha_i\neq 0$, la ligne de niveau $k$ est vide, ou réduit à un point $\{G\}$, ou un cercle de centre $G$ où $G=\overline{(A_i,\alpha_i)}$.
• Dans l’exercice $MA^2-2MB^2=4$ (avec $AB=2$), on trouve l’équivalence $MA^2-2MB^2=4\iff MG^2=4$, donc c’est un cercle de rayon $2$.
• Pour $MA^2-MB^2$ avec $AB=4$, le barycentre de $(A,1)$ et $(B,-1)$ n’existe pas car la somme des coefficients vaut $0$.
• Dans ce cas $MA^2-MB^2=16$ devient une condition linéaire en $IM^2$ puis en projection, ce qui donne une droite perpendiculaire à $(AB)$ en $B$.
• Le milieu $I$ de $[AB]$ intervient lorsque l’égalité mène à $MA^2-MB^2=2\,IM\cdot AB$ via les projections.

💡 Astuce mémo

Carrés des distances : si ça se factorise en $MG^2=\text{constante}$, tu reconnais un cercle.

📖 9. Rapport des distances et médiatrice

🔑 Notions clés & Définitions

• Rapport des distances : Fonction du plan associant à un point $M$ le quotient $\frac{MA}{MB}$.
• Médiatrice : Ensemble des points équidistants de deux points $A$ et $B$, en particulier quand $MA=MB$.
• Diamètre d’un cercle : Lien entre une condition sur $\frac{MA}{MB}$ et l’existence d’un cercle défini par l’écartement de deux points $G_1,G_2$.

📝 Points essentiels

• Pour $k>0$, la ligne de niveau de $M\mapsto \frac{MA}{MB}$ dépend de $k$ : si $k\neq 1$, c’est un cercle de diamètre $[G_1G_2]$.
• Si $k\neq 1$, alors $G_1=\overline{(A,1),(B,k)}$ et $G_2=\overline{(A,1),(B,-k)}$.
• Si $k=1$, alors la ligne de niveau $1$ est la médiatrice de $[AB]$.
• Pour l’exercice $\frac{MA}{MB}=\frac12$, on peut choisir $G_1=\overline{(A,1),(B,\frac12)}$ et $G_2=\overline{(A,1),(B,-\frac12)}$, ou multiplier tous les poids par $2$ pour obtenir $G_1=\overline{(A,2),(B,1)}$ et $G_2=\overline{(A,2),(B,-1)}$.
• Le cercle cherché a pour diamètre le segment joignant ces deux barycentres $G_1$ et $G_2$.

💡 Astuce mémo

Cas $k=1$ : équidistance donc médiatrice ; sinon cercle de diamètre défini par deux barycentres $G_1,G_2$.

📖 10. Lignes de niveau angulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure d’un angle orienté : Mesure notée $Mes(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})$ utilisée pour définir des ensembles angulaires.
• Ligne de niveau angulaire : Ensemble des points $M$ tels que la mesure orientée entre les directions vers $A$ et vers $B$ soit égale à une valeur donnée.
• Demi-plan : Région délimitée par la droite $(AB)$ et caractérisée par le point $O$ appartenant à un côté.
• Arc de cercle : Partie d’un cercle limitée par deux extrémités A et B correspondant à des contraintes sur l’angle.

📝 Points essentiels

• Pour $A\neq B$, l’ensemble des points $M$ tels que $Mes(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})=0$ est la droite $(AB)$ privée du segment $[AB]$.
• L’ensemble des points tels que $Mes(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})=\pi$ est le segment $[AB]$ privée des points $A$ et $B$.
• Pour $A\neq B$, l’ensemble des points $M$ tels que $Mes(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})=\alpha$ (avec $\alpha\in]-\pi,0[\cup]0,\pi[)$ est un arc d’un cercle passant par $A$ et $B$ dont le centre est sur la médiatrice de $[AB]$.
• Si $O$ est le point de la médiatrice tel que $Mes(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=2\alpha$, alors le cercle de centre $O$ passant par $A,B$ contient la ligne de niveau $\alpha$.
• Le point $M$ est du demi-plan de bord $(AB)$ contenant $O$ si et seulement si $-\frac{\pi}{2}\le \alpha\le \frac{\pi}{2}$.

💡 Astuce mémo

Angle imposé → arc d’un cercle sur une contrainte double via le centre $O$ (avec $2\alpha$).

📖 11. Centre de gravité d’un cube évidé

🔑 Notions clés & Définitions

• Cube homogène : Solide dont la masse se répartit uniformément, pour lequel le centre de gravité coïncide avec le centre géométrique.
• Barycentre de masse : Modèle où un barycentre pondéré représente un centre de gravité quand les coefficients sont des masses.
• Coefficients de masse : Poids associés aux points (ici $O$ et $K$) proportionnels aux masses des parties du solide.
• Cube évident : Cube de départ amputé d’un petit cube, ce qui modifie le centre de gravité via la masse retirée.

📝 Points essentiels

• Dans la situation, la masse du petit cube retranché vaut $\frac{a^3\rho}{8}$ et la masse du grand cube évidé vaut $\frac{7a^3\rho}{8}$ car le grand cube est 8 fois plus volumineux.
• Les coefficients affectés aux points $O$ et $K$ sont respectivement $\frac{7a^3\rho}{8}$ (masse restante) et $-\frac{a^3\rho}{8}$ (masse retranchée).
• On obtient $G=\overline{(O;7),(K;-1)}$ grâce à l’homogénéité des coefficients.
• La relation vectorielle donnée est $\overrightarrow{OG}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{OK}$ et donc $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{12}\overrightarrow{OD}$, donc $G$ est sur $[OD]$ avec le rapport $\frac{1}{12}$.
• L’affirmation selon laquelle le centre de gravité ne change pas après amputation est fausse car $G$ n’est pas confondu avec le centre $O$.

💡 Astuce mémo

Retirer une masse revient à mettre un coefficient négatif : $G$ se déplace alors vers la partie restante.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre condition d’existence : si $\sum \alpha_i=0$, le barycentre n’existe pas même si on peut écrire des formules intermédiaires.
2. Mélanger homothéité et changement de point : multiplier tous les coefficients par $k\neq 0$ ne change pas $G$, mais changer une seule valeur peut changer la position.
3. Utiliser la mauvaise réduction : si $\sum \alpha_i\neq 0$ alors la somme vaut $\left(\sum \alpha_i\right)\overrightarrow{MG}$, et si $\sum \alpha_i=0$ alors c’est constant et ne dépend pas de $M$.
4. Erreur de repère en coordonnées : les formules de $x_G,y_G,z_G$ demandent la même somme des coefficients au dénominateur pour chaque coordonnée.
5. Dans les lignes de niveau angulaires, oublier que le cercle correspond à un angle $\alpha$ via le choix de $O$ tel que $Mes(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=2\alpha$, et non à $\alpha$ directement.
6. Croire que $MA^2-MB^2$ donne un cercle : quand les coefficients menant au barycentre ont somme nulle, l’ensemble peut devenir une droite (pas un cercle).

✅ Checklist Examen

1. Déterminer si un ensemble de points pondérés admet un barycentre en vérifiant $\sum\alpha_i\neq 0$.
2. Écrire la condition vectorielle du barycentre $\sum \alpha_i\overrightarrow{GA_i}=\overrightarrow{0}$ et l’utiliser pour trouver une expression de vecteurs.
3. Dans le cas de deux points pondérés, calculer $\overrightarrow{AG}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$ et en déduire la position de $G$.
4. Utiliser l’homogénéité : multiplier tous les coefficients par un même $k\neq 0$ sans changer le barycentre.
5. Réduire une somme vectorielle du type $\sum \alpha_i\overrightarrow{MA_i}$ vers $\left(\sum\alpha_i\right)\overrightarrow{MG}$ ou vers un vecteur constant si $\sum\alpha_i=0$.
6. Calculer les coordonnées d’un barycentre dans un repère 3D par $x_G=\frac{\sum\alpha_i x_i}{\sum\alpha_i}$ (et idem pour $y_G,z_G$).
7. Construire un barycentre partiel : remplacer $p$ points par $H$ en affectant $H$ du coefficient $\alpha_1+\cdots+\alpha_p$.
8. Pour $f(M)=\sum\alpha_i MA_i^2$, identifier la nature de la ligne de niveau $k$ (vide, point, cercle, droite) en fonction de $\sum\alpha_i$.
9. Résoudre un exercice donnant $MA^2-2MB^2=4$ avec $AB$ fixé en ramenant l’équation à $MG^2=\text{constante}$ et en concluant sur un cercle.
10. Traiter $M\mapsto \frac{MA}{MB}$ : appliquer le cas $k=1$ (médiatrice) et le cas $k\neq 1$ (cercle de diamètre $[G_1G_2]$).
11. Pour $Mes(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})$, déterminer l’ensemble correspondant à $0$, $\pi$, ou une valeur $\alpha\in]-\pi,0[\cup]0,\pi[$ à partir du cercle centré en $O$ vérifiant l’égalité avec $2\alpha$.
12. Sur le problème du cube évidé, modéliser le centre de gravité par un barycentre de masses en attribuant des coefficients positifs et négatifs aux parties (masse retirée).