QCM : Analyse géométrique et barycentres — 22 questions

Explication

Le barycentre existe et est unique lorsque la somme des coefficients est différente de zéro. Si cette somme vaut 0, le barycentre n’existe pas.

Explication

Pour deux points pondérés, la position de $G$ est donnée par une division du segment selon le rapport des coefficients. La formule correcte est celle qui utilise $b2/(b1+b2)$.

Explication

Avec deux points portant le même poids non nul, l’isobarycentre est exactement le milieu du segment. C’est le cas le plus simple de l’isobarycentre.

Explication

Le centre du parallélogramme est l’isobarycentre des quatre sommets, donc la somme des vecteurs issus de $O$ vers les sommets est nulle. C’est précisément la relation indiquée.

Explication

C’est la propriété d’homogénéité : un facteur commun non nul appliqué à tous les poids ne change pas le barycentre. Seuls les rapports entre coefficients comptent.

Explication

Pour deux points, on a $a094=rac{b2}{b1+b2}a09192$. Avec $(A,3),(B,1)$, on obtient bien $1/(3+1)=1/4$ pour $AG$, donc $3/4$ pour $GB$ et la bonne position de $G$ sur $[AB]$.

Explication

Si la somme des coefficients n’est pas nulle, la somme se réduit à la somme des coefficients multipliée par le vecteur a094G. C’est la formule centrale de réduction des sommes vectorielles.

Explication

Quand la somme des coefficients vaut 0, la somme vectorielle ne dépend plus du point variable $M$ : elle est constante. C’est l’autre cas fondamental de réduction.

Explication

Les coordonnées du barycentre se calculent composante par composante par moyenne pondérée, avec la même somme des coefficients au dénominateur. La règle vaut pour $x$, $y$ et $z$.

Explication

Le même dénominateur apparaît pour chaque coordonnée : c’est la somme des coefficients. C’est ce qui garantit une cohérence entre $x_G$, $y_G$ et $z_G$.

Explication

L’abscisse du barycentre se calcule en faisant la somme pondérée des abscisses puis en divisant par la somme des coefficients. La même règle s’applique aux autres coordonnées.

Explication

On additionne les coefficients : -1 + 1 - 1 = -1. Cette somme non nulle permet bien l’existence d’un barycentre unique.

Explication

Le barycentre partiel consiste à regrouper plusieurs points en un point H, auquel on attribue la somme de leurs coefficients. Le barycentre global reste alors inchangé.

Explication

Avec deux points pondérés de coefficients -2 et 3, le barycentre est sur la droite (AC) et la relation vectorielle donnée est AI = 3AC. Ce point sert ensuite de barycentre partiel pour simplifier le calcul de G.

Explication

Quand la somme des coefficients n’est pas nulle, la réduction conduit à une expression en MG², donc la ligne de niveau peut être un cercle, un point ou être vide. Elle n’est pas forcément une droite.

Explication

Si la somme des coefficients est nulle, la somme vectorielle ne dépend plus de M : elle devient un vecteur constant. C’est précisément la situation indiquée pour les lignes de niveau de ce type.

Explication

Cette expression se réécrit sous la forme MG² = constante, ce qui décrit un cercle. Le centre est le barycentre associé aux coefficients 1 et -2.

Explication

Lorsque les coefficients se compensent, il n’y a pas de barycentre et la forme géométrique n’est plus celle d’un cercle. On peut alors obtenir une droite, selon la configuration.

Explication

Quand l’angle orienté entre MA et MB vaut 0, les trois points M, A et B sont alignés, mais M ne peut pas appartenir au segment [AB]. L’ensemble est donc la droite (AB) sans le segment [AB].

Explication

Pour une mesure angulaire non nulle différente de π, l’ensemble est un arc de cercle passant par A et B. Son centre appartient à la médiatrice de [AB], avec la relation d’angle 2α au centre.

Explication

Si l’angle orienté entre →MA et →MB est nul, les points A, M et B sont alignés avec M à l’extérieur du segment [AB]. Le segment privé de A et B correspond au cas Mes(→MA,→MB)=π.

Explication

Pour une valeur angulaire non nulle et différente de π, le lieu est un arc de cercle passant par A et B, dont le centre appartient à la médiatrice de [AB]. On choisit un point O tel que Mes(→OA,→OB)=2α.