Fiche de révision : Angles et repères de l’avion

📋 Plan du Cours

1. Repères liés aux forces aéronautiques
2. Angles d’attitude et de trajectoire
3. Incidence, pente et dérapage
4. Angles de cap et d’inclinaison
5. Repères de l’avion
6. Passage entre les repères
7. Rotations planes et tridimensionnelles
8. Conventions des rotations aéronautiques
9. Passage du repère terrestre au repère avion
10. Repère aérodynamique et repère avion
11. Passage vers le repère aérodynamique
12. Relations entre les angles
13. Angles cinématiques
14. Vitesses sol et vent
15. Vitesses aéronautiques
16. Vitesses sur la carte
17. Rotation et axes d’Euler
18. Blocage de cardan

📖 1. Repères liés aux forces aéronautiques

★ À maîtriser

• Le repère terrestre convient au poids, le repère avion à la poussée et le repère aérodynamique à la portance et à la traînée.

• Pour écrire les équations de la mécanique du vol, les forces doivent être projetées dans un même repère, ce qui nécessite des angles de passage entre repères.

Compléments

• Le poids s’applique au centre de gravité, provient de la gravité et suit l’axe de la Terre.

• La poussée s’applique à la sortie du moteur et suit l’axe longitudinal de l’avion.

• La portance et la traînée s’appliquent au centre de poussée et sont respectivement perpendiculaire et parallèle au vent relatif.

💡 Astuce mémo

Terre pour le poids, avion pour la poussée, air pour la portance et la traînée

📖 2. Angles d’attitude et de trajectoire

★ À maîtriser

• Les angles d’Euler ψ, θ et ϕ sont respectivement le lacet ou cap, l’assiette ou tangage, et l’inclinaison ou roulis.

📌 Les angles d’Euler décrivent l’orientation de la structure par rapport à la Terre, tandis que les angles aérodynamiques α et β décrivent la direction du vent relatif par rapport à l’avion.

Compléments

📌 Les angles de trajectoire γ et χ décrivent la direction du déplacement par rapport à l’horizon terrestre et se déduisent des angles aérodynamiques et d’Euler.

• Les angles de trajectoire sont référencés par a pour la vitesse air et par c ou k pour la vitesse cinématique au sol.

• L’angle δ représente la dérive due au vent traversier et relie géométriquement les angles de trajectoire aérodynamiques et cinématiques.

📖 3. Incidence, pente et dérapage

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle d’incidence : Angle entre la trajectoire de l’avion dans la masse d’air et l’axe longitudinal de l’avion.
• Angle de calage : Angle géométrique entre l’axe longitudinal de référence du fuselage et la corde du profil de l’aile.
• Assiette longitudinale : Angle, mesuré dans le plan de symétrie de l’avion, entre l’axe longitudinal de l’aéronef et le plan horizontal local.
• Angle de dérapage : Angle entre la trajectoire de l’avion dans la masse d’air et l’axe du fuselage.
• Pente : Angle entre la trajectoire et le plan horizontal local, positif lorsque la trajectoire se situe au-dessus de l’horizon.

★ À maîtriser

📌 La pente air γₐ décrit la trajectoire dans la masse d’air et sert en mécanique du vol, tandis que la pente cinématique γc ou γk décrit la trajectoire du centre de gravité par rapport à la Terre.

• Un vecteur TAS dirigé à gauche de l’axe du fuselage correspond à un vent relatif venant de la droite et à un dérapage β positif.

Compléments

• L’incidence α est positive lorsque le vent relatif vient du bas par rapport à l’axe du fuselage, et elle est liée à la génération de portance et de traînée.

📐 Formule - L’incidence du profil vaut $\alpha_{profil}=\alpha+\alpha_i$, où αᵢ est l’angle de calage.

• Les angles de calage des avions sont généralement compris entre 2° et 4°.

• La pente cinématique détermine si l’avion franchira un obstacle au sol.

• L’assiette θ est comprise entre −90° et +90° et elle est positive lorsque l’axe longitudinal est au-dessus de l’horizon.

• Lorsque β = 0, l’air s’écoule de face dans le plan de symétrie de l’avion et le vol est symétrique.

• Un dérapage positif β > 0 signifie que le vent relatif vient de la droite de l’avion.

• Un dérapage négatif β < 0 signifie que le vent relatif vient de la gauche de l’avion.

💡 Astuce mémo

β positif : vent relatif à droite ; β négatif : vent relatif à gauche.

📖 4. Angles de cap et d’inclinaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle de cap : L’angle de cap ou de lacet ψ est l’angle entre le Nord géographique et l’axe longitudinal de l’avion.
• Inclinaison latérale : L’inclinaison latérale φ, aussi appelée angle de roulis ou parfois gîte, est l’angle entre l’axe latéral de l’avion et l’horizon.

📝 Points essentiels

• L’angle de cap ψ varie de 0 à 360° dans le sens horaire à partir du Nord géographique.

• L’inclinaison latérale φ est définie entre −π et π, soit entre −180° et 180°.

• Un roulis à droite, avec φ > 0, abaisse l’aile droite et relève l’aile gauche.

📖 5. Repères de l’avion

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère terrestre lié à l’avion : Statique­ment lié à l’avion et orienté selon la convention NED : son origine est le centre de gravité G, x₀ pointe vers le Nord, y₀ vers l’Est et z₀ vers le bas, vers le centre de la Terre.
• Repère avion : D’origine au centre de gravité G, a pour axe xᵦ l’axe longitudinal orienté vers l’avant, pour axe yᵦ l’axe des ailes orienté vers la droite et pour axe zᵦ l’axe du plan de symétrie orienté vers le bas.
• Repère stabilité : Le repère stabilité Rₛ est un repère intermédiaire d’origine G, statiquement lié à l’avion, dont l’axe xₛ suit la projection de la vitesse air de régime permanent sur le plan de symétrie et fait donc l’angle d’incidence d’équilibre αₑ avec le fuselage, tandis que yₛ = yᵦ et que zₛ est dirigé vers le bas.
• Repère aérodynamique : Le repère aérodynamique Rₐ est centré en G et aligné sur le vent relatif : xₐ suit la vitesse air TAS, yₐ est perpendiculaire à xₐ dans le plan horizontal du vent relatif et dirigé vers la droite, et zₐ complète le repère direct vers le bas.
• Repère cinématique : Le repère cinématique R꜀ ou Rₖ est un repère orthonormé direct, centré en G et orienté selon la trajectoire réelle de l’avion par rapport au sol : x꜀ suit la vitesse sol, y꜀ est horizontal et perpendiculaire à x꜀ vers la droite, et z꜀ complète le repère vers le bas.

★ À maîtriser

• Les cinq repères introduits sont :

  • le repère terrestre lié à l’avion
  • le repère avion
  • le repère stabilité
  • le repère aérodynamique
  • le repère cinématique

• Le repère de stabilité RD aligne son axe principal sur la projection de la TAS d’équilibre dans le plan de symétrie et sert à établir les équations linéarisées de stabilité longitudinale et latérale autour d’un point de vol donné.

Compléments

• Dans le repère terrestre lié à l’avion, le plan horizontal local est le plan Gx₀y₀ et le poids s’exprime naturellement dans ce repère.

• Le repère stabilité facilite l’étude des petites perturbations en isolant les variations d’incidence Δα = α − αₑ et de dérapage β autour de l’équilibre.

• Dans le repère stabilité, les moments d’inertie restent constants et les équations du mouvement peuvent être linéarisées autour de l’état d’équilibre.

• En dérapage nul, l’axe xₛ est aligné avec la vitesse, la traînée est portée par −xₛ et la portance par −zₛ.

• Les forces aérodynamiques s’expriment naturellement dans le repère aérodynamique.

• Dans le repère de stabilité RD, xD est la projection de xC tournée de −αE, yD = yC et zD se trouve dans le plan de symétrie.

• Dans les repères de l’avion présentés, tous les axes ont pour origine le centre de gravité G.

📖 6. Passage entre les repères

★ À maîtriser

• 🔄 Le passage s’effectue par trois rotations successives :

  1. rotation autour de z₀ selon le cap ψ
  2. rotation autour de l’axe intermédiaire yᵢₙₜ selon l’assiette θ
  3. rotation autour de xᵦ selon l’inclinaison φ

• Les matrices de passage entre repères orthonormés sont orthogonales et la matrice inverse est égale à la matrice transposée.

📌 Pour inverser le passage terrestre-avion effectué dans l’ordre cap ψ, tangage θ, roulis φ, il faut appliquer les rotations inverses dans l’ordre opposé : roulis −φ, tangage −θ, puis cap −ψ.

Compléments

• Le passage du repère avion au repère stabilité est une rotation d’incidence d’équilibre αₑ.

• Le passage du repère avion au repère aérodynamique s’effectue par une rotation d’incidence α puis une rotation de dérapage β.

• Le passage du repère stabilité au repère aérodynamique s’effectue par une rotation d’incidence α − αₑ puis une rotation de dérapage β.

• Une erreur de sens ou d’ordre du produit matriciel peut inverser le signe des projections, notamment celles de la gravité ou du vent.

💡 Astuce mémo

Cap ψ → assiette θ → inclinaison φ.

📖 7. Rotations planes et tridimensionnelles

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une rotation plane d’angle θ, les coordonnées vérifient $\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\y'\end{pmatrix}$, avec θ orienté dans le sens trigonométrique.

📐 Formule - Pour une rotation tridimensionnelle d’angle ψ autour de Oz, $\begin{pmatrix}x'\y'\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\psi&\sin\psi&0\\-\sin\psi&\cos\psi&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}$.

Compléments

📐 Formule - La transformation inverse d’une rotation plane d’angle θ vérifie $\begin{pmatrix}x'\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}$.

📖 8. Conventions des rotations aéronautiques

★ À maîtriser

• Dans le repère terrestre local NED, les axes sont orientés vers le Nord, l’Est et le bas, de sorte qu’une rotation positive autour de l’axe vertical dirigé vers le bas est horaire vue du ciel.

• L’angle de tangage θ est positif lorsque l’avion cabre et négatif lorsqu’il pique.

• L’angle de roulis ϕ est positif lorsque l’aile droite s’enfonce et négatif lorsque l’aile gauche s’enfonce.

Compléments

• L’angle de cap ψ est positif dans le sens horaire ; un virage vers l’Est correspond à ψ > 0, tandis qu’un cap vers l’Ouest peut être représenté par ψ > 180 ou ψ < 0.

💡 Astuce mémo

Le nez cabré donne θ positif ; l’aile droite enfoncée donne ϕ positif.

📖 9. Passage du repère terrestre au repère avion

★ À maîtriser

• 🔄 La transformation s’effectue selon trois rotations successives :
  1. Rotation de cap ψ
  2. Rotation de tangage θ
  3. Rotation de roulis ϕ

📐 Formule - La matrice de passage du repère terrestre local au repère avion est $R=R_\phi R_\theta R_\psi$, où $R_\psi=\begin{pmatrix}\cos\psi&\sin\psi&0\\-\sin\psi&\cos\psi&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, $R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&0&-\sin\theta\\0&1&0\sin\theta&0&\cos\theta\end{pmatrix}$ et $R_\phi=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\phi&\sin\phi\\0&-\sin\phi&\cos\phi\end{pmatrix}$.

• La matrice de passage du repère stabilité au repère avion correspond à une rotation d’angle −αₑ autour de l’axe y.

Compléments

📐 Formule - Dans le repère terrestre lié à l’avion, le poids est $\vec W=(0{,}0,mg)$ ; dans le repère avion, il devient $\vec W=(-mg\sin\theta,\,mg\cos\theta\sin\phi,\,mg\cos\theta\cos\phi)$.

• Le repère stabilité ne diffère du repère avion que par une rotation autour de l’axe latéral y, liée à l’angle d’incidence αₑ.

📐 Formule - Le passage du repère stabilité au repère avion vérifie $\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha_e&0&\sin\alpha_e\\0&1&0\\-\sin\alpha_e&0&\cos\alpha_e\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_s\y_s\z_s\end{pmatrix}$.

💡 Astuce mémo

Cap ψ → tangage θ → roulis ϕ.

📖 10. Repère aérodynamique et repère avion

★ À maîtriser

• Le passage du repère avion au repère aérodynamique dépend de l’incidence α et du dérapage β.

• Le passage du repère avion au repère aérodynamique s’effectue par une rotation d’angle α autour de l’axe y, suivie d’une rotation d’angle −β autour de l’axe z aérodynamique.

📐 Formule - Dans le repère aérodynamique, la vitesse air s’écrit $\begin{pmatrix}TAS\\0\\0\end{pmatrix}$ et, dans le repère avion, ses composantes sont $u=TAS\cos\alpha\cos\beta,\quad v=TAS\sin\beta,\quad w=TAS\sin\alpha\cos\beta$.

Compléments

📐 Formule - La matrice de passage du repère aérodynamique au repère avion est $T=\begin{pmatrix}\cos\alpha\cos\beta&-\cos\alpha\sin\beta&-\sin\alpha\\-\sin\beta&\cos\beta&0\sin\alpha\cos\beta&-\sin\alpha\sin\beta&\cos\alpha\end{pmatrix}$.

📖 11. Passage vers le repère aérodynamique

★ À maîtriser

• La matrice du repère terrestre lié à l’avion vers le repère aérodynamique se calcule soit en multipliant la matrice avion-terrestre par la matrice aérodynamique-avion, soit avec les angles de trajectoire aérodynamiques χ, γ et μ.

📌 Les angles d’Euler décrivent l’orientation de l’avion, tandis que les angles de trajectoire décrivent sa direction de déplacement réelle dans la masse d’air ou par rapport au sol.

Compléments

📐 Formule - La méthode par multiplication de matrices s’écrit $R'=TR$, où T dépend de α et β et R des angles d’Euler ψ, θ et ϕ.

📐 Formule - Avec les angles de trajectoire aérodynamiques, la matrice s’écrit $R'=R_{\mu}R_{\gamma}R_{\chi}$, correspondant à trois rotations successives d’angles χ, γ puis μ.

• Les angles de trajectoire aérodynamiques sont souvent notés γ, χ et μ sans indice a.

• Les angles aérodynamiques α et β relient les angles d’Euler aux angles de trajectoire aérodynamiques.

💡 Astuce mémo

Avion → trajectoire : χ, puis γ, puis μ.

📖 12. Relations entre les angles

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cinématique : Le repère cinématique est orienté par le vecteur vitesse cinématique ou vitesse sol, tandis que le repère aérodynamique est orienté par le vecteur vitesse vraie TAS.
• Angles de trajectoire cinématiques : Les angles de trajectoire cinématiques γH, χH et μH sont définis entre le repère terrestre lié à l’avion et le repère cinématique, pour décrire la trajectoire sol.

★ À maîtriser

• En vol symétrique avec inclinaison nulle, lorsque β=0 et ϕ=0, χa=ψ, γa=θ−α et μa=0.

• Aux petits angles α, β, θ et ϕ, les relations approchées sont χa≈ψ+β, γa≈θ−α et μa≈ϕ.

Compléments

• Les relations aux petits angles servent de socle à la mécanique du vol linéarisée et à l’étude de la stabilité longitudinale, latérale et directionnelle.

• Les neuf égalités obtenues en comparant les matrices de passage ne sont pas indépendantes : trois suffisent, car les contraintes d’orthogonalité rendent automatiquement satisfaites les six autres.

• 🔄 Le passage s’effectue par trois rotations successives :

  1. Rotation d’angle χH
  2. Rotation d’angle γH
  3. Rotation d’angle μH

📖 13. Angles cinématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Angles cinématiques : Les angles cinématiques αH et βH sont les analogues de l’incidence et du dérapage, définis en prenant en compte la vitesse sol plutôt que la TAS.

★ À maîtriser

• Les forces aérodynamiques, notamment la portance, la traînée et le décrochage, dépendent de l’incidence aérodynamique α et du dérapage β ; αH ne permet donc pas de déterminer si l’avion va décrocher.

Compléments

• Les angles αH et βH sont peu utilisés en pratique par les pilotes et en mécanique du vol.

• Les sondes d’incidence et de dérapage situées sur le fuselage mesurent la direction du vent relatif et fournissent ainsi α et β, tandis que la connaissance de la position du sol nécessite des équipements de navigation tels que GNSS ou IRS.

• Les angles cinématiques sont parfois nécessaires aux lois avancées de pilotage automatique, notamment pour le guidage au toucher des roues ou l’atterrissage automatique par vent traversier.

• Les angles cinématiques servent aussi aux essais en vol et à l’analyse d’incidents pour comparer la trajectoire mesurée par GPS à l’attitude de l’avion sans mesure exacte du vent instantané.

📖 14. Vitesses sol et vent

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le repère cinématique, la vitesse sol s’écrit $\mathbf{V}_{sol} = (V_{sol},\,0,\,0)$ selon l’axe principal du repère.

📐 Formule - La vitesse sol est la somme vectorielle de la vitesse vraie et de la vitesse du vent : $\mathbf{V}_{sol} = \mathbf{TAS} + \mathbf{V}_{vent}$.

Compléments

• Pour calculer la relation entre les vitesses, elles doivent être exprimées dans un même repère ; la vitesse sol est donnée dans le repère cinématique, la TAS dans le repère aérodynamique et le vent généralement dans le repère terrestre lié à l’avion.

📖 15. Vitesses aéronautiques

🔑 Notions clés & Définitions

• CAS : vitesse indiquée corrigée des erreurs d’instrumentation et d’emplacement des sondes sur la cellule
• EAS : L’EAS (Equivalent Airspeed) est la vitesse conventionnelle corrigée des effets de compressibilité de l’air en altitude et reflète la pression dynamique réellement ressentie par la structure.
• TAS : La TAS (True Airspeed), aussi notée Vp ou Va, est la vitesse vraie de l’avion par rapport à la masse d’air environnante et tient compte de la variation de masse volumique de l’air avec l’altitude.
• IAS : L’IAS (Indicated Airspeed) est la vitesse lue directement sur l’anémomètre à partir de la pression dynamique mesurée par le tube Pitot et les prises statiques ; sur un avion moderne, la vitesse affichée en mode normal est la CAS.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La vitesse équivalente vérifie $EAS = f \cdot CAS = \sqrt{\frac{\rho}{\rho_0}}\,CAS$.

💡 Astuce mémo

TAS suit la masse d’air, vitesse sol suit la Terre.

📖 16. Vitesses sur la carte

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse cinématique : La vitesse cinématique, aussi appelée vitesse sol et notée VF, VV ou GS, est le vecteur vitesse réel tridimensionnel de l’avion par rapport à la Terre.
• Vent : Le vent, noté Vw ou W, est le vecteur vitesse de la masse d’air par rapport au sol.
• Vitesse sur la carte : La vitesse sur la carte est la projection en deux dimensions de la vitesse cinématique sur le plan horizontal local et représente le déplacement de l’avion sur la carte.

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse cinématique est la somme vectorielle de la TAS et du vent : $\vec V_F = \overrightarrow{TAS} + \vec V_S$.

Compléments

📐 Formule - La norme de la vitesse sol projetée sur la carte est $V_{F,W}=V_F\cos\gamma_F$ et sa direction est la route cinématique χF.

📖 17. Rotation et axes d’Euler

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de roulis : Le taux de roulis p est la composante de la rotation autour de l’axe longitudinal de l’avion.
• Taux de tangage : Le taux de tangage q est la composante de la rotation autour de l’axe latéral de l’avion.
• Taux de lacet : Le taux de lacet r est la composante de la rotation autour de l’axe vertical de l’avion.

📝 Points essentiels

• Les gyroscopes ou les INS/IRS mesurent dans le repère avion le vecteur rotation global de l’avion par rapport à la Terre, sous la forme $\vec\Omega_{C/A}=p\vec i_C+q\vec j_C+r\vec k_C$.

• Les taux p, q et r ne sont pas simplement égaux aux dérivées respectives des angles d’Euler, car les variations de cap, d’assiette et d’inclinaison s’effectuent autour d’axes exprimés dans des repères différents.

📖 18. Blocage de cardan

★ À maîtriser

📐 Formule - Les taux de rotation avion sont liés aux dérivées des angles d’Euler par $p=\dot\phi-\dot\psi\sin\theta$, $q=\dot\theta\cos\phi+\dot\psi\cos\theta\sin\phi$ et $r=-\dot\theta\sin\phi+\dot\psi\cos\theta\cos\phi$.

📐 Formule - Les dérivées des angles d’Euler s’obtiennent à partir des taux mesurés par $\dot\phi=p+\tan\theta(q\sin\phi+r\cos\phi)$, $\dot\theta=q\cos\phi-r\sin\phi$ et $\dot\psi=\frac{q\sin\phi+r\cos\phi}{\cos\theta}$.

📌 Lorsque l’assiette atteint ±90°, les équations de calcul de ϕ̇ et ψ̇ deviennent singulières, car elles comportent une division par zéro ou une tangente infinie.

• À une assiette de ±90°, les axes de roulis et de lacet deviennent colinéaires et parallèles à l’axe vertical terrestre, ce qui fait perdre un degré de liberté dans la description par angles d’Euler.

Compléments

• Pour exprimer la rotation globale dans le repère avion, il faut projeter les axes associés aux variations de cap et d’assiette dans la base avion, puis combiner leurs contributions avec celle de l’inclinaison.

• Le blocage de cardan empêche la description mathématique du mouvement par angles d’Euler, mais les commandes de vol continuent de fonctionner.

• Les avions modernes évitent les singularités en utilisant des quaternions pour intégrer le mouvement dans les calculs théoriques et les calculateurs de bord, puis les convertissent en angles d’Euler pour l’affichage cockpit.

💡 Astuce mémo

Assiette à ±90° → axes confondus → perte d’un degré de liberté.

📊 Tableaux de synthèse

Angles d’orientation et de trajectoire

Repères aérodynamique et cinématique