Fiche de révision : Équations et inéquations polynomiales

📋 Plan du Cours

1. Polynôme du second degré
2. Forme canonique et discriminant
3. Résolution des équations quadratiques
4. Signe et inéquations quadratiques
5. Somme et produit des racines
6. Équation et inéquation cubiques
7. Équations bicarrées
8. Équation quadratique avec paramètre

📖 1. Polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : de la forme $ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• La courbe représentative de la fonction $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$, est une parabole de sommet $S=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)$.

📖 2. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le nombre réel $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La forme canonique de $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$, est $P(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$.

📖 3. Résolution des équations quadratiques

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$, le signe de $\Delta=b^2-4ac$ détermine le nombre de racines réelles et leur factorisation.

Compléments

• Si $\Delta<0$, l'équation du second degré n'a pas de solution réelle et le polynôme n'est pas factorisable en facteurs linéaires réels.

📐 Formule - Si $\Delta=0$, l'équation admet la racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ et $P(x)=a(x-x_0)^2$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, l'équation admet deux racines distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📖 4. Signe et inéquations quadratiques

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre une inéquation du second degré, on étudie le signe de $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$, puis on retient les intervalles correspondant à l'inégalité demandée.

Compléments

• Si $\Delta<0$, le signe de $ax^2+bx+c$ est celui de a sur tout $\mathbb R$.

• Si $\Delta=0$, le trinôme s'annule en $x_0=-\frac{b}{2a}$ et garde le signe de a ailleurs.

• Si $\Delta>0$ et $x_1<x_2$, le trinôme a le signe de a à l'extérieur de $[x_1,x_2]$ et le signe opposé entre ses racines.

📖 5. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour les racines $x_1,x_2$ de $ax^2+bx+c=0$, avec $a\ne0$, leur somme est $S=x_1+x_2=-\frac ba$.

📐 Formule - Pour les racines $x_1,x_2$ de $ax^2+bx+c=0$, avec $a\ne0$, leur produit est $P=x_1x_2=\frac ca$.

Compléments

📐 Formule - Si deux nombres ont pour somme S et pour produit P, ils sont les racines de $x^2-Sx+P=0$.

📖 6. Équation et inéquation cubiques

★ À maîtriser

• Le polynôme $x^3-2x^2-5x+6$ se factorise en $(x-3)(x+2)(x-1)$.

Compléments

• Pour $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$, on a $P(3)=0$, donc 3 est une racine de P.

• L'équation $x^3-2x^2-5x+6=0$ a pour solutions $\{-2{,}1{,}3\}$.

• Pour $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$, $P(x)<0$ sur $$]-\infty,-2[\cup]1{,}3[$.

📖 7. Équations bicarrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation bicarrée : Une équation de la forme $ax^4+bx^2+c=0$, avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation bicarrée, on pose $X=x^2$, on résout $aX^2+bX+c=0$, puis on recherche les valeurs réelles de x correspondant aux racines obtenues.

💡 Astuce mémo

Poser X = x², résoudre en X, puis revenir à x.

📖 8. Équation quadratique avec paramètre

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour $(E_m):(m-2)x^2-(2m-1)x+m+3=0$, le discriminant vaut $\Delta=-8m+25$ lorsque l'équation est du second degré.

• L'équation $(E_m):(m-2)x^2-(2m-1)x+m+3=0$ est du premier degré pour $m=2$ et sa solution est $x=\frac53$.

• Pour $m\ne2$, la somme des racines de $(E_m)$ vaut $\frac{2m-1}{m-2}$ et leur produit vaut $\frac{m+3}{m-2}$.

• Pour $m=\frac{25}{8}$, le discriminant de $(E_m)$ est nul et l'équation admet une racine double.

• Pour $-3<m<2$, le produit des racines de $(E_m)$ est négatif, donc ses deux racines réelles sont de signes contraires lorsque $\Delta>0$.