QCM : Équations et inéquations polynomiales (10 questions)

Question 1

1. Pour $P(x)=2x^2+8x+5$ , quelle expression est sa forme canonique ?

(x+2)^2-\frac{3}{2}

2\left[(x+2)^2-\frac{3}{2}\right]

2\left[(x-2)^2-\frac{3}{2}\right]

2\left[(x+2)^2-5\right]

Explication

En appliquant la formule, $x+b/(2a)=x+8/4=x+2$ et $(b^2-4ac)/(4a^2)=(64-40)/16=3/2$ , avec le facteur extérieur $a=2$ . Les autres expressions omettent ce facteur, inversent le signe du terme linéaire dans le carré ou remplacent le discriminant par le terme constant.

Answer

$$2\left[(x+2)^2-\frac{3}{2}\right]$$

Question 2

2. Pour le polynôme $P(x)=3x^2+4x+2$ , quelle est la valeur du discriminant $\Delta$ ?

4

40

-8

-20

Explication

Le discriminant vaut $\Delta=b^2-4ac=4^2-4(3)(2)=16-24=-8$ . La valeur $40$ vient d’une addition, tandis que $-20$ et $4$ résultent de l’omission d’un élément de la formule.

Answer

$$S=(2,-5)$$

Answer

Elle n’a pas de solution réelle et le trinôme ne se factorise pas en facteurs linéaires réels.

Answer

Le signe opposé à celui de $$a$$.

Answer

À construire l’équation $$x^2-Sx+P=0$$ à partir de leur somme $$S$$ et de leur produit $$P$$.

Answer

Les trois facteurs linéaires s’annulent respectivement en $$3$$, $$-2$$ et $$1$$, qui sont les racines de $$P$$.

Answer

Cette substitution transforme l’équation en une équation du second degré en $$X$$, puis chaque racine admissible doit être examinée pour retrouver les valeurs réelles de $$x$$.

Answer

Poser $$-8m+25=0$$, puis vérifier que $$m\ne2$$ pour conserver une équation du second degré.

Answer

Les coefficients sont réels et $$a\ne0$$.

Question 3

3. La fonction $P(x)=2x^2-8x+3$ est représentée par une parabole. Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

S=(-2,-5)

S=(2,-5)

S=(2,-13)

S=(2,5)

Explication

Pour $a=2$ , $b=-8$ et $c=3$ , l’abscisse vaut $-\frac{b}{2a}=2$ et l’ordonnée vaut $-\frac{b^2-4ac}{4a}=-5$ . Le signe opposé donne une abscisse erronée, l’oubli du facteur $4a$ fausse l’ordonnée, et $-13$ correspond au discriminant plutôt qu’à l’ordonnée du sommet.

Question 4

4. Que signifie un discriminant négatif pour l’équation quadratique $ax^2+bx+c=0$ , avec $a\ne0$ ?

Elle n’a pas de solution réelle et le trinôme ne se factorise pas en facteurs linéaires réels.

Elle possède deux racines réelles distinctes et le trinôme se décompose en deux facteurs linéaires réels.

Elle possède une racine réelle et une racine non réelle, avec un facteur linéaire réel.

Elle possède une racine réelle double et le trinôme est le carré d’un facteur linéaire.

Explication

Lorsque le discriminant est négatif, l’équation n’admet aucune racine réelle et le trinôme ne peut pas se factoriser en facteurs linéaires réels. Une racine double correspond plutôt à un discriminant nul.

Question 5

5. Lorsque $\Delta>0$ et que les racines vérifient $x_1<x_2$ , quel est le signe de $ax^2+bx+c$ entre les deux racines ?

Le signe opposé à celui de

a

.

Un signe qui dépend de la valeur de

b

.

Le signe du discriminant

\Delta

.

Le même signe que celui de

a

.

Explication

Entre deux racines distinctes, le trinôme a le signe opposé à celui de son coefficient dominant $a$ . À l’extérieur de l’intervalle délimité par les racines, il reprend le signe de $a$ .

Question 6

6. À quoi servent la somme et le produit de deux racines pour retrouver l’équation du second degré qu’elles vérifient ?

À établir la forme canonique du trinôme à partir de la somme et du produit de ses racines.

À déterminer le discriminant de l’équation à partir de la somme et de la différence des racines.

À construire l’équation

x^2-Sx+P=0

à partir de leur somme

S

et de leur produit

P

.

À calculer les racines d’une équation sans connaître ni son coefficient dominant ni ses autres coefficients.

Explication

La somme $S$ et le produit $P$ permettent de former l’équation monique $x^2-Sx+P=0$ dont les deux nombres sont les racines. La forme canonique répond à un autre objectif et ne se déduit pas de cette relation seule.

Question 7

7. Quelle comparaison entre le polynôme cubique $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$ et sa factorisation décrit correctement leurs racines ?

Les racines sont

-2

,

1

et

3

, mais elles proviennent de facteurs quadratiques plutôt que linéaires.

Les trois facteurs linéaires s’annulent respectivement en

3

,

-2

et

1

, qui sont les racines de

P

.

La factorisation révèle deux racines réelles,

-2

et

3

, tandis que

1

est une racine double.

Les constantes des facteurs donnent les racines

-3

,

2

et

-1

de

P

.

Explication

Chaque facteur linéaire s’annule lorsque son expression vaut zéro, ce qui donne les racines $3$ , $-2$ et $1$ . Les constantes des facteurs changent de signe pour obtenir les racines, contrairement à ce que suggère le distracteur qui les reprend telles quelles.

Question 8

8. Pour résoudre une équation bicarrée, pourquoi pose-t-on $X=x^2$ avant de revenir aux valeurs de $x$ ?

Cette substitution élimine le terme constant de l’équation, puis les solutions se déduisent des coefficients de

x^4

et de

x^2

.

Cette substitution transforme l’équation en une équation du second degré en

X

, puis chaque racine admissible doit être examinée pour retrouver les valeurs réelles de

x

.

Cette substitution garantit que les racines obtenues pour

X

sont positives, puis chacune correspond à une unique valeur réelle de

x

.

Cette substitution transforme l’équation en une équation du premier degré en

X

, dont chaque racine fournit directement une seule valeur de

x

.

Explication

Comme $X=x^2$ , les termes en $x^4$ et $x^2$ deviennent respectivement $X^2$ et $X$ , ce qui donne une équation du second degré en $X$ . Une racine positive de cette équation peut correspondre à deux valeurs opposées de $x$ , tandis qu’une racine négative ne donne aucune valeur réelle de $x$ .

Question 9

9. Pour déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles l’équation $(E_m):(m-2)x^2-(2m-1)x+m+3=0$ admet une racine double, quelle démarche permet d’utiliser le discriminant ?

Poser

\frac{m+3}{m-2}=0

, puis vérifier que le coefficient de

x

est nul.

Poser

\frac{2m-1}{m-2}=0

, puis vérifier que le discriminant est positif.

Poser

-8m+25=0

, puis vérifier que

m\ne2

pour conserver une équation du second degré.

Poser

m-2=0

, puis vérifier que le terme constant de l’équation est nul.

Explication

Une racine double correspond à un discriminant nul, et ici $\Delta=-8m+25$ lorsque $m\ne2$ . Annuler le coefficient de $x^2$ , comme dans une autre démarche proposée, ferait de l’équation une équation du premier degré plutôt que de garantir une racine double.

Question 10

10. Quelle condition sur les coefficients caractérise un polynôme du second degré écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ ?

Les coefficients sont réels et

c\ne0

.

Les coefficients sont entiers et

a>0

.

Les coefficients sont réels et

a\ne0

.

Les coefficients sont réels et

b\ne0

.

Explication

Le polynôme est du second degré lorsque ses coefficients sont réels et que le coefficient de $x^2$ est non nul. La condition $c\ne0$ ne garantit pas le degré, car c’est la valeur de $a$ qui détermine le terme de plus haut degré.

QCM : Équations et inéquations polynomiales (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour $P(x)=2x^2+8x+5$ , quelle expression est sa forme canonique ?

2. Pour le polynôme $P(x)=3x^2+4x+2$ , quelle est la valeur du discriminant $\Delta$ ?

3. La fonction $P(x)=2x^2-8x+3$ est représentée par une parabole. Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

4. Que signifie un discriminant négatif pour l’équation quadratique $ax^2+bx+c=0$ , avec $a\ne0$ ?

5. Lorsque $\Delta>0$ et que les racines vérifient $x_1<x_2$ , quel est le signe de $ax^2+bx+c$ entre les deux racines ?

6. À quoi servent la somme et le produit de deux racines pour retrouver l’équation du second degré qu’elles vérifient ?

7. Quelle comparaison entre le polynôme cubique $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$ et sa factorisation décrit correctement leurs racines ?

8. Pour résoudre une équation bicarrée, pourquoi pose-t-on $X=x^2$ avant de revenir aux valeurs de $x$ ?

9. Pour déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles l’équation $(E_m):(m-2)x^2-(2m-1)x+m+3=0$ admet une racine double, quelle démarche permet d’utiliser le discriminant ?

10. Quelle condition sur les coefficients caractérise un polynôme du second degré écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ ?

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QCM : Équations et inéquations polynomiales (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour P(x)=2x2+8x+5P(x)=2x^2+8x+5P(x)=2x2+8x+5, quelle expression est sa forme canonique ?

2. Pour le polynôme P(x)=3x2+4x+2P(x)=3x^2+4x+2P(x)=3x2+4x+2, quelle est la valeur du discriminant Δ\DeltaΔ ?

3. La fonction P(x)=2x2−8x+3P(x)=2x^2-8x+3P(x)=2x2−8x+3 est représentée par une parabole. Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

4. Que signifie un discriminant négatif pour l’équation quadratique ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0, avec a≠0a\ne0a=0 ?

5. Lorsque Δ>0\Delta>0Δ>0 et que les racines vérifient x1<x2x_1<x_2x1​<x2​, quel est le signe de ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c entre les deux racines ?

6. À quoi servent la somme et le produit de deux racines pour retrouver l’équation du second degré qu’elles vérifient ?

7. Quelle comparaison entre le polynôme cubique P(x)=x3−2x2−5x+6P(x)=x^3-2x^2-5x+6P(x)=x3−2x2−5x+6 et sa factorisation décrit correctement leurs racines ?

8. Pour résoudre une équation bicarrée, pourquoi pose-t-on X=x2X=x^2X=x2 avant de revenir aux valeurs de xxx ?

9. Pour déterminer les valeurs de mmm pour lesquelles l’équation (Em):(m−2)x2−(2m−1)x+m+3=0 (E_m):(m-2)x^2-(2m-1)x+m+3=0 (Em​):(m−2)x2−(2m−1)x+m+3=0 admet une racine double, quelle démarche permet d’utiliser le discriminant ?

10. Quelle condition sur les coefficients caractérise un polynôme du second degré écrit sous la forme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ?

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1. Pour $P(x)=2x^2+8x+5$ , quelle expression est sa forme canonique ?

2. Pour le polynôme $P(x)=3x^2+4x+2$ , quelle est la valeur du discriminant $\Delta$ ?

3. La fonction $P(x)=2x^2-8x+3$ est représentée par une parabole. Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

4. Que signifie un discriminant négatif pour l’équation quadratique $ax^2+bx+c=0$ , avec $a\ne0$ ?

5. Lorsque $\Delta>0$ et que les racines vérifient $x_1<x_2$ , quel est le signe de $ax^2+bx+c$ entre les deux racines ?

7. Quelle comparaison entre le polynôme cubique $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$ et sa factorisation décrit correctement leurs racines ?

8. Pour résoudre une équation bicarrée, pourquoi pose-t-on $X=x^2$ avant de revenir aux valeurs de $x$ ?

9. Pour déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles l’équation $(E_m):(m-2)x^2-(2m-1)x+m+3=0$ admet une racine double, quelle démarche permet d’utiliser le discriminant ?

10. Quelle condition sur les coefficients caractérise un polynôme du second degré écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ ?