Quelles conditions doit vérifier une application linéaire f : E → F ?
f(x+y) = f(x) + f(y) et f(αx) = αf(x) pour tous x,y∈E et α∈K.
Quelle condition caractérise une application linéaire f selon α, β ∈ K et x, y ∈ E ?
f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).
Quelle valeur prend une application linéaire f en 0_E ?
f(0_E) = 0_F.
Qu'est-ce qu'un endomorphisme de E ?
Une application linéaire de E dans E.
Qu'est-ce qu'une forme linéaire sur E ?
Une application linéaire de E dans K.
Qu'est-ce que l'image d'une application linéaire f:E→F ?
L'ensemble des vecteurs de F obtenus comme images d'éléments de E.
Que devient l'image d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire ?
Un sous-espace vectoriel de F.
Comment se définit le noyau d'une application linéaire f:E→F ?
L'ensemble des vecteurs de E envoyés sur le vecteur nul de F.
Quelle condition caractérise l'injectivité d'une application linéaire f ?
Son noyau est réduit au vecteur nul de E.
Que devient une famille liée par une application linéaire ?
Elle reste liée.
Quand une famille libre reste-t-elle libre par une application linéaire ?
Si l'application linéaire est injective.
Qu'est-ce que L(E,F) dans le contexte des applications linéaires ?
L'ensemble des applications linéaires de E dans F.
Quelle propriété possède L(E,F) dans l'espace des applications de E dans F ?
C'est un sous-espace vectoriel.
Que devient la somme de deux applications linéaires ?
Elle est linéaire.
Que devient le produit d'une application linéaire par un scalaire ?
Il est linéaire.
Que peut-on dire de la composée de deux applications linéaires ?
Elle est une application linéaire.
Que génère l'image d'une famille génératrice de E par une application linéaire f ?
Elle engendre Im(f).
Que devient l'image d'une base de E par un isomorphisme de E dans F ?
C'est une base de F.
Qu'est-ce qu'un isomorphisme entre espaces vectoriels E et F ?
Une application linéaire bijective de E dans F.
Qu'est-ce qu'un automorphisme de l'espace vectoriel E ?
Un isomorphisme de E dans E.
Quelle propriété a la réciproque d'une application linéaire bijective ?
Elle est linéaire.
Quand deux espaces vectoriels de dimension finie sont-ils isomorphes ?
Quand leurs dimensions sont égales.
Que signifie qu'une application linéaire entre espaces de même dimension finie est injective ?
Qu'elle est aussi surjective.
Que signifie qu'une application linéaire entre espaces de même dimension finie est surjective ?
Qu'elle est aussi injective.
À quoi équivaut l'injectivité et la surjectivité d'une application linéaire entre espaces de même dimension finie ?
À la bijectivité.
Que garantit l'existence d'une application linéaire f:E→F avec f(eᵢ)=fᵢ ?
Il existe une unique application linéaire f vérifiant f(eᵢ)=fᵢ pour tout i.
Quand une application linéaire f est-elle injective selon la famille (f₁,…,fₙ) ?
f est injective si et seulement si (f₁,…,fₙ) est libre.
Quand une application linéaire f est-elle surjective selon la famille (f₁,…,fₙ) ?
f est surjective si et seulement si (f₁,…,fₙ) engendre F.
Quand une application linéaire f est-elle bijective selon la famille (f₁,…,fₙ) ?
f est bijective si et seulement si (f₁,…,fₙ) est une base de F.
Comment construit-on la matrice M_{B,C}(u) d'une application linéaire u ?
On place dans la jᵉ colonne les coordonnées de u(eⱼ) dans la base C.
À quel espace appartient la matrice M_{B,C}(u) si dim(E)=p et dim(F)=n ?
M_{B,C}(u) appartient à M_{n,p}(K).
Quelle propriété a l'application u↦M_{B,C}(u) entre L(E,F) et M_{n,p}(K) ?
C'est un isomorphisme entre L(E,F) et M_{n,p}(K).
Quelle est la dimension de L(E,F) si dim(E)=p et dim(F)=n ?
dim L(E,F) = n × p.
Quelle formule relie la matrice de la composée v∘u aux matrices de u et v ?
M_{B_1,B_3}(v∘u) = M_{B_2,B_3}(v) M_{B_1,B_2}(u).
Qu'est-ce que la matrice de passage P_{B,B'} ?
C'est la matrice dont la jᵉ colonne est le jᵉ vecteur de B' exprimé dans B.
Quelle relation existe entre P_{B,B'} et P_{B',B} ?
P_{B,B'}^{-1} = P_{B',B}.
Comment exprimer X en fonction de X' et P_{B,B'} ?
X = P X'.
Comment calculer M' représentant u dans (B',C') à partir de M, P et Q ?
M' = Q^{-1} M P.
Quelle formule relie M' et M pour un endomorphisme u avec P_{B,B'} ?
M' = P^{-1} M P.
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1. Laquelle des propriétés caractérise une application linéaire f:E→F ?
2. Pour quels scalaires α, β et vecteurs x, y la relation suivante caractérise-t-elle la linéarité : f(αx+βy)=… ?
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