Elle vérifie f(x+y)=f(x)+f(y) et f(αx)=αf(x)
Explication
Une application linéaire conserve l’addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire. Ces deux propriétés définissent la linéarité.
αf(x)+βf(y)
Explication
Une application est linéaire si et seulement si f(αx+βy)=αf(x)+βf(y) pour tous α, β, x et y.
Dans F, car elle contient les vecteurs obtenus comme f(x)
Explication
L’image est l’ensemble des vecteurs f(x) obtenus lorsque x parcourt E ; elle constitue donc un sous-ensemble de F. Le noyau, lui, est un sous-ensemble de E.
Dans F, et f(G) est un sous-espace vectoriel de F
Explication
L’image d’un sous-espace par une application linéaire est un sous-espace de l’espace d’arrivée F. Elle reste donc dans F et possède les propriétés de stabilité correspondantes.
Les vecteurs x de E tels que f(x)=0_F
Explication
Le noyau est Ker(f)={x∈E∣f(x)=0_F}. Il rassemble donc les vecteurs du domaine envoyés sur le vecteur nul de l’espace d’arrivée.
Ker(f)={0_E}
Explication
Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau se réduit au vecteur nul de E. Un noyau contenant un vecteur non nul signale que deux vecteurs distincts peuvent avoir la même image.
Le sous-espace des applications linéaires de E dans F
Explication
L(E,F) est l’ensemble des applications linéaires de E dans F. Cet ensemble forme un sous-espace vectoriel de l’espace de toutes les applications de E dans F.
C’est une application linéaire de E dans G
Explication
La composée de deux applications linéaires est linéaire. Ici, f envoie E vers F puis g envoie F vers G, donc g∘f est linéaire de E dans G.
Cette famille engendre Im(f)
Explication
Tout élément de Im(f) s’écrit comme l’image d’une combinaison linéaire des eᵢ ; par linéarité, il est donc combinaison linéaire des f(eᵢ). La famille image engendre ainsi Im(f).
C’est une application linéaire bijective de E dans F
Explication
Un isomorphisme est, par définition, une application à la fois linéaire et bijective. Une application linéaire de E dans E est plus précisément un endomorphisme, qui n’est pas nécessairement bijectif.
Elle est linéaire de F vers E
Explication
La réciproque d’une application linéaire bijective est elle-même linéaire, et elle va de F vers E.
Oui, si et seulement si leurs dimensions sont égales
Explication
En dimension finie, deux espaces vectoriels sont isomorphes si et seulement si leurs dimensions sont égales. Il n’est pas nécessaire qu’ils soient constitués des mêmes éléments.
u est surjective et donc bijective
Explication
Entre deux espaces de même dimension finie, l’injectivité et la surjectivité sont équivalentes pour une application linéaire. Ainsi, u est aussi surjective et bijective.
Une unique application linéaire
Explication
Les images des vecteurs d’une base déterminent de manière unique une application linéaire. La famille des images n’a pas besoin d’être une base de F pour que cette application existe.
La famille est libre
Explication
L’application est injective si et seulement si la famille de ses images est libre. La génération de F caractérise plutôt la surjectivité.
On place les coordonnées de u(eⱼ) dans C comme jᵉ colonne
Explication
La jᵉ colonne de M_{B,C}(u) est formée des coordonnées de u(eⱼ) dans la base C.
M_{n,p}(K)
Explication
Une matrice représentant une application de E vers F possède n lignes, liées aux coordonnées dans F, et p colonnes, liées aux vecteurs de la base de E. Elle appartient donc à M_{n,p}(K).
M_{B₁,B₃}(v∘u)=M_{B₂,B₃}(v)M_{B₁,B₂}(u)
Explication
La matrice de la composée s’obtient en multipliant dans l’ordre des applications : la matrice de v à gauche de celle de u.
Les coordonnées dans B du jᵉ vecteur de B’
Explication
P_{B,B’} est formée des coordonnées, dans B, des vecteurs de B’. Elle permet donc de convertir les coordonnées dans B’ en coordonnées dans B.
(P_{B,B’})⁻¹=P_{B’,B}
Explication
Les matrices de passage dans les deux sens sont réciproques : l’inverse de P_{B,B’} est P_{B’,B}.
X’=P⁻¹X
Explication
La relation de changement de coordonnées est X=PX’. En multipliant par P⁻¹, on obtient X’=P⁻¹X.
Mémorisez les réponses avec 39 flashcards sur Applications linéaires et matrices.
Quelles conditions doit vérifier une application linéaire f : E → F ?
f(x+y) = f(x) + f(y) et f(αx) = αf(x) pour tous x,y∈E et α∈K.
Quelle condition caractérise une application linéaire f selon α, β ∈ K et x, y ∈ E ?
f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).
Quelle valeur prend une application linéaire f en 0_E ?
f(0_E) = 0_F.
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