bq, bq + 1, jusqu’à bq + (b − 1)
Explication
Tout entier relatif s’écrit sous la forme bq + r, où le reste r peut prendre les valeurs 0, 1, …, b − 1. Cela donne les formes énumérées dans la première réponse.
Un entier a divise un autre s'il existe un entier relatif tel que le produit donne l'autre.
Explication
La divisibilité signifie qu'il existe un entier relatif k tel que b = ka, ce qui correspond à la première option. Les autres options décrivent des propriétés ou cas spécifiques mais ne donnent pas la définition générale.
Il existe un entier relatif k tel que b = ka.
Explication
Par définition, a divise b lorsqu’il existe un entier relatif k tel que b = ka. Le facteur k doit donc multiplier a pour obtenir b.
Il existe un entier relatif k tel que b = ka.
Explication
a divise b si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que b = ka, ce qui signifie que b est un multiple de a.
a = bq + r avec 0 ≤ r < b
Explication
La division euclidienne s’écrit a = bq + r, avec un reste r compris entre 0 et b − 1. Le couple (q,r) est unique.
Déterminer la plus grande valeur commune pouvant diviser les deux entiers
Explication
L'algorithme d'Euclide sert à déterminer le plus grand diviseur commun (PGCD) en utilisant la division successive et le reste, jusqu'à obtenir un reste nul.
ma + nb
Explication
Lorsque c divise a et b, c divise toute combinaison linéaire ma + nb, où m et n sont des entiers relatifs. Cette propriété ne signifie pas qu’une division par c constitue une combinaison linéaire.
Au 19ème siècle, avec le développement de la théorie des nombres
Explication
La notion de congruence a été formellement introduite par Carl Friedrich Gauss dans son ouvrage 'Disquisitiones Arithmeticae' publié en 1801, marquant une étape clé dans la théorie des nombres.
Les classes modulo n regroupent des entiers selon leur reste lors de la division par n, tandis que les congruences indiquent une égalité de reste.
Explication
Les classes modulo n regroupent tous les entiers ayant le même reste lors de la division par n, ce qui correspond à la définition de la congruence modulo n, mais elles sont conceptuellement différentes : l'une est un ensemble, l'autre une relation d'équivalence.
Bézout
Explication
Bézout est crédité de la formulation du théorème qui affirme que si deux entiers sont premiers entre eux, il existe une combinaison linéaire de ces deux entiers qui donne 1. Euclide a développé l'algorithme pour calculer le PGCD, mais ce n'est pas lui qui a formulé ce théorème.
Il permet de déterminer si une équation ax + by = c possède une solution entière en vérifiant si le PGCD de a et b divise c.
Explication
Le théorème de Bézout stipule que deux entiers sont premiers entre eux si et seulement s'il existe une combinaison linéaire de ces deux entiers égalant 1, ce qui permet de déterminer si l'équation ax + by = c a une solution en vérifiant si le PGCD de a et b divise c.
Mémorisez les réponses avec 11 flashcards sur Arithmétique dans les entiers.
Quelle condition définit qu'a divise b pour deux entiers relatifs a et b ?
Il existe un entier relatif k tel que b = ka.
Divisibilité
Existe un entier k tel que b = ka.
Que vaut N si N divise n et n + 1 pour un entier relatif N ?
N vaut 1 ou −1.
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