QCM : Arithmétique des entiers naturels — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel énoncé traduit correctement la relation entre un diviseur et un multiple ?

Si n=a×kn=a\times k avec a>0a>0 et kk naturels, alors aa est un diviseur de nn.
Si n=a×kn=a\times k avec k>0k>0 et aa naturel, alors nn est un diviseur de aa.
Si n=a−kn=a-k avec a>0a>0 et kk naturels, alors nn est un multiple de aa.
Si n=a+kn=a+k avec a>0a>0 et kk naturels, alors aa est un diviseur de nn.

Si $$n=a\times k$$ avec $$a>0$$ et $$k$$ naturels, alors $$a$$ est un diviseur de $$n$$.

Explication

La relation de divisibilité repose sur une écriture multiplicative de la forme n=a×kn=a\times k, où aa est positif et kk est naturel. L’addition ne définit pas cette relation, et inverser les rôles de aa et nn change la notion de diviseur.

2. Qu'est-ce qu'un diviseur d'un nombre naturel ?

Un nombre premier qui divise un nombre donné.
Un nombre qui divise un autre nombre sans laisser de reste.
Un nombre qui est un multiple d'un autre nombre.
Un entier naturel a tel qu'il existe un entier naturel k vérifiant n=a×kn=a\times k avec a > 0 ; n est alors un multiple de a.

Un nombre qui divise un autre nombre sans laisser de reste.

Explication

Un diviseur d'un nombre est un entier naturel qui divise ce nombre sans laisser de reste. La réponse qui correspond à cette définition est la deuxième, mais la première est une définition de multiple, ce qui peut prêter à confusion, donc la bonne réponse est la deuxième.

3. Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie pour tout entier naturel nn ?

00 est un diviseur de nn, tandis que 11 n’est pas un diviseur de tout entier naturel.
11 est un multiple de nn, tandis que nn n’est pas un diviseur de lui-même.
nn est un diviseur de 11, tandis que 00 est un diviseur de tout entier naturel.
11 est un diviseur de nn, tandis que 00 n’est pas un diviseur de tout entier naturel.

$$1$$ est un diviseur de $$n$$, tandis que $$0$$ n’est pas un diviseur de tout entier naturel.

Explication

L’entier 11 divise tout entier naturel, car tout entier nn s’écrit n=1×nn=1\times n. En revanche, 00 n’est pas diviseur de tout entier naturel, car une expression n=0×kn=0\times k ne permet pas d’obtenir un entier naturel non nul.

4. Selon la définition, qu'est-ce qu'un diviseur d'un nombre naturel n ?

Un nombre qui est un multiple de n.
Un nombre qui divise n sans laisser de reste, sauf si n est nul.
Un entier naturel a tel qu'il existe un entier naturel k vérifiant n=a×n = a \times k, avec a > 0.
Un nombre premier qui divise n.

Un entier naturel a tel qu'il existe un entier naturel k vérifiant $$n = a \times$$ k, avec a > 0.

Explication

Un diviseur de n est un entier naturel a tel qu'il existe un entier naturel k avec n=a×n = a \times k, ce qui signifie qu'a divise n. La réponse qui correspond à cette définition est la première.

5. Un élève veut vérifier si 57245724 est divisible par 99. Quel calcul doit-il effectuer en priorité ?

Comparer son chiffre des centaines avec le reste de la division par 99.
Additionner ses chiffres et vérifier si 5+7+2+45+7+2+4 est divisible par 99.
Multiplier ses deux derniers chiffres et vérifier si le produit vaut 99.
Observer uniquement son chiffre des unités et vérifier s’il vaut 99.

Additionner ses chiffres et vérifier si $$5+7+2+4$$ est divisible par $$9$$.

Explication

La divisibilité par 99 se teste en calculant la somme des chiffres : ici, 5+7+2+4=185+7+2+4=18, qui est divisible par 99. Le chiffre des unités sert au critère de divisibilité par 1010, pas à celui de 99.

6. Quel est le rôle principal de la division euclidienne dans le traitement des nombres entiers ?

Elle permet de décomposer un nombre en un quotient et un reste, facilitant ainsi la résolution de problèmes de divisibilité.
Elle détermine si un nombre est pair ou impair.
Elle est utilisée pour calculer la somme des chiffres d’un nombre.
Elle sert uniquement à vérifier si un nombre est premier ou non.

Elle permet de décomposer un nombre en un quotient et un reste, facilitant ainsi la résolution de problèmes de divisibilité.

Explication

La division euclidienne permet d'exprimer un nombre comme un produit d’un diviseur et d’un quotient, avec un reste, ce qui est essentiel pour analyser la divisibilité. Elle n’est pas utilisée pour vérifier si un nombre est premier, ni pour la somme des chiffres ou la parité.

7. Lequel de ces nombres est divisible par 1010 ?

43864386
43084308
43804380
48034803

$$4380$$

Explication

Un entier naturel est divisible par 1010 lorsque son chiffre des unités est 00 ; c’est le cas de 43804380. La somme des chiffres peut servir à tester la divisibilité par 99, mais elle ne remplace pas l’observation du chiffre des unités pour 1010.

8. Quand a été publié le crible d’Ératosthène permettant d’obtenir les nombres premiers jusqu’à 100 ?

Il a été publié au IVe siècle avant J.-C.
Il a été publié au XVIIe siècle.
Il a été publié au début du XXe siècle.
Il a été publié au XIXe siècle.

Il a été publié au IVe siècle avant J.-C.

Explication

Le crible d’Ératosthène a été inventé par le mathématicien grec Ératosthène au IIIe siècle avant J.-C. C’est une méthode ancienne pour trouver tous les nombres premiers jusqu’à un certain nombre.

9. En quoi la décomposition en facteurs premiers diffère-t-elle du calcul du PGCD de deux nombres ?

Le PGCD est obtenu en multipliant tous les facteurs premiers communs, alors que la décomposition en facteurs premiers ne donne pas cette information.
La décomposition en facteurs premiers est une étape dans le calcul du PPCM, alors que le PGCD ne s’y rapporte pas.
La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme produit de nombres premiers, tandis que le PGCD est le plus grand diviseur commun à deux nombres.
La décomposition en facteurs premiers permet de trouver tous les diviseurs d’un nombre, alors que le PGCD ne concerne qu’un seul nombre.

La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme produit de nombres premiers, tandis que le PGCD est le plus grand diviseur commun à deux nombres.

Explication

La décomposition en facteurs premiers permet d’écrire un nombre comme produit de facteurs premiers, ce qui facilite le calcul du PGCD en identifiant les facteurs communs. Le PGCD, quant à lui, est le plus grand diviseur commun, qui peut être déterminé à partir de cette décomposition.

10. Qui est crédité de la formulation de l'algorithme permettant de calculer le PGCD en utilisant des divisions successives ?

Euklide
Euclide
Gauss
Eratosthène

Euclide

Explication

L'algorithme d’Euclide, qui utilise la division successive pour déterminer le PGCD, a été formulé par le mathématicien grec Euclide. Gauss est connu pour ses travaux sur la théorie des nombres, mais pas pour cet algorithme spécifique.

11. Quelle est la conséquence directe de l'algorithme d’Euclide lorsqu'il est appliqué pour calculer le PGCD de deux nombres ?

Il donne le plus petit multiple commun non nul des deux nombres.
Il trouve le nombre premier le plus proche de chacun des deux nombres.
Il calcule la somme des deux nombres.
Il permet de déterminer le plus grand diviseur commun des deux nombres.

Il permet de déterminer le plus grand diviseur commun des deux nombres.

Explication

L'algorithme d’Euclide consiste à diviser successivement le plus grand nombre par le plus petit jusqu'à obtenir un reste nul, ce qui permet de déterminer le plus grand diviseur commun. La réponse sur le plus petit multiple ou la somme ne correspond pas à la fonction de cet algorithme, qui se concentre sur le PGCD.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 11 flashcards sur Arithmétique des entiers naturels.

Qu'est-ce qu'un diviseur d'un entier naturel n ?

Un entier naturel a > 0 tel que n=a×kn = a \times k pour un entier naturel k.

Diviseur: définition

Un entier qui divise n sans reste

Quels entiers naturels divisent tout entier naturel ?

1, lui-même, et tout entier naturel divise 0.

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Approfondir avec la fiche

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