Fiche de révision : Arithmétique des entiers naturels

📋 Plan du Cours

1. Diviseurs et multiples
2. Critères de divisibilité
3. Division euclidienne
4. Nombres premiers
5. Facteurs premiers et diviseurs
6. PGCD et algorithme d’Euclide
7. PPCM des nombres
8. Nombres premiers entre eux

📖 1. Diviseurs et multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Entier naturel a tel qu’il existe un entier naturel k vérifiant $n=a\times k$ avec a > 0 ; n est alors un multiple de a.

📝 Points essentiels

• 1 est diviseur de tout entier naturel, tout entier naturel est diviseur de lui-même et tout entier naturel est diviseur de 0.

💡 Astuce mémo

Diviseur : il entre dans n ; multiple : n contient le diviseur.

📖 2. Critères de divisibilité

📝 Points essentiels

📌 Un entier naturel est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9, et il est divisible par 10 si et seulement si son chiffre des unités est 0.

💡 Astuce mémo

2-3-5-9-10 : unités ou somme des chiffres.

📖 3. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne de a par b, avec b ≠ 0, associe à a et b les entiers naturels q et r tels que $a=b\times q+r$ avec $0\le r<b$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La division euclidienne de a par b permet d’encadrer a entre deux multiples consécutifs de b selon $b\times q\le a<b\times(q+1)$.

Compléments

📌 Dans une division euclidienne, a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

💡 Astuce mémo

Dividende = diviseur × quotient + reste, avec reste inférieur au diviseur.

📖 4. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel possédant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• 0 et 1 ne sont pas premiers, et 2 est le seul nombre pair qui soit premier.

📌 Pour tester si un entier n ≥ 2 est premier, il suffit de vérifier qu’aucun nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt n$ ne le divise.

Compléments

• Les nombres premiers à connaître jusqu’à 37 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 et 37.

• 🔄 Le crible d’Ératosthène permet d’obtenir les nombres premiers jusqu’à 100 en: écrivant les entiers de 1 à 100, barrant 1, entourant le premier entier non barré, barrant ses multiples, répétant l’opération jusqu’à épuisement des entiers

💡 Astuce mémo

Un nombre premier ne forme qu’une seule ligne de jetons.

📖 5. Facteurs premiers et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : Écriture unique d’un entier supérieur ou égal à 2 comme produit de facteurs premiers lorsqu’il n’est pas premier.

★ À maîtriser

• Pour décomposer un entier en facteurs premiers, on teste les nombres premiers dans l’ordre, on retient chaque diviseur autant de fois que possible et on s’arrête lorsque le quotient obtenu vaut 1.

📐 Formule — Si $N=a^n\times b^m\times c^p\times d^q$, alors N possède $(n+1)\times(m+1)\times(p+1)\times(q+1)$ diviseurs.

Compléments

• La décomposition en facteurs premiers de 140 est $140=2^2\times5\times7$.

• Pour déterminer tous les diviseurs de $140=2^2\times5\times7$, on choisit les exposants possibles de chaque facteur puis on multiplie toutes les combinaisons obtenues.

💡 Astuce mémo

Décomposer, choisir les exposants, multiplier.

📖 6. PGCD et algorithme d’Euclide

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Plus grand entier naturel pouvant diviser plusieurs entiers naturels non nuls.

★ À maîtriser

📌 Le PGCD de nombres décomposés en facteurs premiers est le produit des facteurs communs affectés du plus petit exposant.

• L’algorithme d’Euclide calcule le PGCD en divisant successivement le dividende par le diviseur, puis en remplaçant le dividende et le diviseur par le diviseur et le reste jusqu’à obtenir un reste nul.

Compléments

• L’algorithme d’Euclide donne $PGCD(858;210)=6$.

💡 Astuce mémo

Diviser, remplacer par le diviseur et le reste, recommencer jusqu’à zéro.

📖 7. PPCM des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Plus petit commun multiple non nul de plusieurs nombres.

★ À maîtriser

📌 Le PPCM de nombres décomposés en facteurs premiers est le produit de tous les facteurs communs ou non, chacun affecté du plus grand exposant.

Compléments

• Le PPCM de 6 et 9 vaut 18, donc les deux bateaux se retrouvent pour la première fois 18 jours après le 1er janvier 2020, soit le 19 janvier 2020.

💡 Astuce mémo

PGCD : exposants minimaux ; PPCM : exposants maximaux.

📖 8. Nombres premiers entre eux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres premiers entre eux : Deux nombres sont premiers entre eux lorsque 1 est leur seul diviseur commun, ce qui équivaut à dire que leur PGCD est égal à 1.

★ À maîtriser

📌 Si un entier N non nul est divisible par a et par b, et si a et b sont premiers entre eux, alors N est divisible par $a\times b$.

📌 Le théorème de Gauss affirme que si a divise $b\times c$ et si a est premier avec b, alors a divise c.

Compléments

• Comme 6 divise $35\times78$ et que 6 est premier avec 35, le théorème de Gauss permet de conclure que 6 divise 78.

💡 Astuce mémo

PGCD égal à 1 → le produit des diviseurs divise le nombre.

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM