Fiche de révision : Arithmétique et calculs fractionnaires

📋 Plan du Cours

1. Nombres relatifs et fractions
2. Additionner et soustraire des fractions
3. Multiplier et simplifier des fractions
4. Diviseurs et critères de divisibilité
5. Reconnaître les nombres premiers
6. Décomposer en facteurs premiers
7. PGCD et fractions irréductibles
8. Résoudre des problèmes de répartition

📖 1. Nombres relatifs et fractions

📝 Points essentiels

📌 Pour additionner ou soustraire des nombres relatifs, on applique les règles de signe et on calcule la somme ou la différence des valeurs numériques selon le cas.

💡 Astuce mémo

Signe, dénominateur commun, puis calcul

📖 2. Additionner et soustraire des fractions

★ À maîtriser

📌 Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut d’abord les réduire au même dénominateur, puis additionner ou soustraire leurs numérateurs.

Compléments

• Pour calculer $\frac{2}{7}-\frac{6}{5}$, on obtient $\frac{10}{35}-\frac{42}{35}=-\frac{32}{35}$ après réduction au dénominateur commun 35.

📖 3. Multiplier et simplifier des fractions

★ À maîtriser

📌 Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant de préférence avant le calcul.

Compléments

• En simplifiant avant de calculer, $\frac{28}{15}\times\frac{20}{21}=\frac{7\times4\times4\times5}{3\times5\times7\times3}=\frac{16}{9}$.

💡 Astuce mémo

Simplifier avant de multiplier → calcul plus court

📖 4. Diviseurs et critères de divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Entier b est un diviseur d’un entier a lorsque la division euclidienne de a par b donne un reste égal à 0 ; a est alors divisible par b et multiple de b.

📝 Points essentiels

• Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, on teste les entiers jusqu’à sa racine carrée et on associe à chaque diviseur trouvé son facteur correspondant.

💡 Astuce mémo

Diviseur de a ↔ multiple de b

📖 5. Reconnaître les nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre entier naturel qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Pour montrer qu’un entier N supérieur ou égal à 2 est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt{N}$.

Compléments

• Comme $\sqrt{157}\approx12{,}5$ et que 157 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 11, 157 est premier.

📖 6. Décomposer en facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : Tout entier non premier peut se décomposer en un produit de facteurs premiers.

📝 Points essentiels

• Pour décomposer 84 en facteurs premiers, on effectue des divisions successives par des nombres premiers et on obtient $84=2^2\times3\times7$.

💡 Astuce mémo

Diviser par 2, puis 3, puis les nombres premiers suivants

📖 7. PGCD et fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, c’est-à-dire dont le seul diviseur commun est 1.
• PGCD : Plus grand entier qui divise simultanément deux nombres.

📝 Points essentiels

• En décomposant 504 et 540 en facteurs premiers, on obtient $\frac{504}{540}=\frac{2^3\times3^2\times7}{2^2\times3^3\times5}=\frac{14}{15}$.

• Comme $504=2^3\times3^2\times7$ et $540=2^2\times3^3\times5$, leur PGCD est $2^2\times3^2=36$.

💡 Astuce mémo

Facteurs communs → PGCD → simplification

📖 8. Résoudre des problèmes de répartition

★ À maîtriser

• Pour répartir deux quantités en lots identiques utilisant tout le matériel, on cherche un diviseur commun des quantités, puis le nombre maximal de lots est leur PGCD et la composition d’un lot s’obtient par division.

Compléments

• Avec 162 nems et 108 samossas, le nombre maximal de barquettes identiques est le PGCD de 162 et 108, soit 54 barquettes contenant chacune 3 nems et 2 samossas.

💡 Astuce mémo

Répartition identique → diviseur commun → nombre maximal via le PGCD

📊 Tableaux de synthèse

Relations entre diviseur et multiple