Fiche de révision : Inférence bayésienne et tests

📋 Plan du Cours

1. Probabilité conditionnelle et Bayes
2. Partition et probabilités totales
3. Indépendance des événements
4. Vocabulaire des tests diagnostiques
5. VPP et maladie rare

📖 1. Probabilité conditionnelle et Bayes

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée P_A(B), est définie par $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ lorsque P(A) ≠ 0.

★ À maîtriser

📐 Formule — La relation entre intersection et probabilité conditionnelle est $P(A\cap B)=P_A(B)\times P(A)$.

📐 Formule — La formule de Bayes est $P_A(B)=\frac{P_B(A)\times P(B)}{P(A)}$ lorsque P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0.

Compléments

• Dans l’exercice de l’arbre, avec P(A)=0,15, P_A(B)=\frac{0,5\times0,1}{0,15}=\frac{1}{3}.

💡 Astuce mémo

Conditionner par A mène à l’intersection A ∩ B, puis Bayes inverse le conditionnement.

📖 2. Partition et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Une partition de l’univers Ω est une famille d’événements deux à deux incompatibles, tous non vides, dont la réunion est Ω.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si B1, B2, ..., Bn forment une partition de Ω, la formule des probabilités totales est $P(A)=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots+P(A\cap B_n)$.

📐 Formule — Pour une partition composée de E et de son complément, on peut écrire $P(T)=P(E)\times P_E(T)+P(\overline E)\times P_{\overline E}(T)$.

Compléments

• Dans l’étude du test de grossesse, la probabilité d’obtenir un test positif est P(T)=0,99×0,7+0,3×0,04=0,705.

💡 Astuce mémo

Un univers Ω découpé en morceaux incompatibles dont la réunion reconstitue Ω.

📖 3. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

★ À maîtriser

📌 Si P(A) ≠ 0, les événements A et B sont indépendants si et seulement si $P_A(B)=P(B)$.

Compléments

• Pour un photocopieur dont les pannes A et B sont indépendantes, avec P(A)=0,01 et P(B)=0,02, la probabilité qu’il soit en état de marche se calcule à partir de la probabilité qu’aucune panne ne survienne.

💡 Astuce mémo

Indépendance : connaître A ne change pas la probabilité de B ; dépendance : P_A(B) ≠ P(B).

📖 4. Vocabulaire des tests diagnostiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Sensibilité : La sensibilité d’un test est la probabilité d’obtenir un résultat positif chez une personne malade, soit $Se=P_H(T^+)$.
• Spécificité : La spécificité d’un test est la probabilité d’obtenir un résultat négatif chez une personne non malade, soit $Sp=P_{\overline H}(T^-)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La probabilité qu’un patient ne soit pas malade sachant que le test est négatif est $P_{T^-}(\overline H)=\frac{P_{\overline H}(T^-).P(\overline H)}{P(T^-)}$.

• Dans l’exemple présenté, la sensibilité vaut 0,6 et la spécificité vaut 0,98.

💡 Astuce mémo

La sensibilité regarde les malades, tandis que la spécificité regarde les non-malades.

📖 5. VPP et maladie rare

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur prédictive positive : La valeur prédictive positive est la probabilité d’être malade sachant que le test est positif, soit $VPP=P_{T^+}(H)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si f=P(H), si la sensibilité vaut 0,99 et si le taux de faux positifs vaut 0,01, alors $VPP=\frac{0{,}99f}{0{,}98f+0{,}01}$.

• Les fréquences et VPP correspondantes sont:
  • f=0,001 : VPP=0,09
  • f=0,01 : VPP=0,5
  • f=0,1 : VPP=0,92
  • f=0,3 : VPP=0,98
  • f=0,5 : VPP=0,99
  • f=0,8 : VPP=1,00

Compléments

• Dans un exemple de maladie rare, la probabilité d’être malade sachant que le test est positif est de 13,1 %, tandis que le taux de faux positifs est de 86,9 %.

💡 Astuce mémo

Plus la maladie est rare, plus les faux positifs peuvent diminuer la VPP.

📊 Tableaux de synthèse

Indicateurs d’un test diagnostique