QCM : Inférence bayésienne et tests — 13 questions

Question 1

1. Si $P(A)=0,4$ et $P(A\cap B)=0,12$ , quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ ?

3,33

0,48

0,28

0,3

Explication

La probabilité conditionnelle se calcule en divisant $P(A\cap B)$ par $P(A)$ , soit $0,12/0,4=0,3$ . Il ne faut pas multiplier les deux probabilités ni inverser les événements conditionnés.

Answer

Des événements incompatibles deux à deux, non vides, dont la réunion est $$\Omega$$

Answer

$$P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots+P(A\cap B_n)$$

Answer

$$0,7\times0,99+0,3\times0,04$$

Answer

$$A$$ et $$B$$ sont indépendants

Answer

$$P_A(B)=P(B)$$

Answer

La probabilité d’obtenir un résultat positif chez une personne malade

Answer

La probabilité d’obtenir un résultat négatif chez une personne non malade

Answer

La probabilité d’être malade sachant que le test est positif

Answer

$$\frac{0,99f}{0,98f+0,01}$$

Question 2

2. Sachant que $P_A(B)=0,25$ et $P(A)=0,6$ , comment calcule-t-on $P(A\cap B)$ ?

0,15

0,35

0,85

0,4167

Explication

L’intersection vaut le produit de la probabilité conditionnelle par la probabilité de l’événement conditionnant : $P(A\cap B)=0,25\times0,6=0,15$ . Une probabilité conditionnelle seule ne représente pas l’intersection.

Question 3

3. Si $P(A)=0,2$ , $P(B)=0,5$ et $P_B(A)=0,1$ , quelle est la valeur de $P_A(B)$ ?

0,04

0,1

0,5

0,25

Explication

La formule de Bayes donne $P_A(B)=\frac{P_B(A)\times P(B)}{P(A)}=\frac{0,1\times0,5}{0,2}=0,25$ . La valeur $0,1$ correspond à $P_B(A)$ et non à la probabilité recherchée.

Question 4

4. Quelle propriété caractérise une partition de l’univers $\Omega$ ?

Des événements non vides ayant tous la même probabilité dans

\Omega

Des événements incompatibles deux à deux, non vides, dont la réunion est

\Omega

Des événements quelconques dont l’intersection commune est

\Omega

Des événements compatibles deux à deux dont la réunion est un sous-ensemble de

\Omega

Explication

Une partition est constituée d’événements deux à deux incompatibles et non vides qui couvrent tout l’univers. L’égalité des probabilités ou la compatibilité entre événements n’est pas requise.

Question 5

5. Lorsque $B_1,B_2,\ldots,B_n$ forment une partition de $\Omega$ , quelle expression donne $P(A)$ ?

P(A)\times\bigl(P(B_1)+P(B_2)+\cdots+P(B_n)\bigr)

P_{B_1}(A)+P_{B_2}(A)+\cdots+P_{B_n}(A)

P(B_1\cap B_2\cap\cdots\cap B_n)

P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots+P(A\cap B_n)

Explication

La formule des probabilités totales additionne les probabilités des intersections de $A$ avec chaque élément de la partition. Additionner les probabilités conditionnelles seules ne tient pas compte des probabilités des éléments de la partition.

Question 6

6. Une partition est formée de $E$ et de son complément, avec $P(E)=0,7$ , $P_E(T)=0,99$ et $P_{\overline E}(T)=0,04$ . Quelle expression permet de calculer $P(T)$ ?

0,7\times0,99+0,3\times0,04

0,7\times0,04+0,3\times0,99

0,7+0,99+0,3+0,04

0,99+0,04

Explication

La probabilité totale additionne les contributions des deux cas : $P(T)=P(E)P_E(T)+P(\overline E)P_{\overline E}(T)$ , avec $P(\overline E)=0,3$ . Les probabilités conditionnelles doivent donc être pondérées par les probabilités des cas correspondants.

Question 7

7. Deux événements $A$ et $B$ ont des probabilités $P(A)=0,4$ , $P(B)=0,5$ et $P(A\cap B)=0,2$ . Que peut-on conclure ?

A

et

B

sont incompatibles

A

et

B

sont nécessairement équiprobables

A

et

B

sont indépendants

A

entraîne

B

Explication

L’indépendance est vérifiée car $P(A\cap B)=0,2=0,4\times0,5=P(A)P(B)$ . Des événements incompatibles auraient une intersection de probabilité nulle, ce qui n’est pas le cas ici.

Question 8

8. Si $P(A)\neq0$ , quelle condition équivalente à l’indépendance de $A$ et $B$ peut-on utiliser ?

P_A(B)=P(A)

P_A(B)=P(B)

P(A\cap B)=P(A)+P(B)

P_A(B)=P(A\cap B)

Explication

Lorsque $P(A)\neq0$ , l’indépendance équivaut à l’absence de modification de la probabilité de $B$ lorsqu’on sait que $A$ est réalisé : $P_A(B)=P(B)$ . L’égalité avec $P(A)$ ne caractérise pas l’indépendance.

Question 9

9. Que mesure la sensibilité d’un test diagnostique ?

La probabilité d’obtenir un résultat négatif chez une personne non malade

La probabilité d’obtenir un résultat positif chez une personne malade

La proportion de résultats positifs dans l’ensemble de la population

La probabilité d’être malade après un résultat positif

Explication

La sensibilité correspond à la probabilité qu’une personne malade obtienne un test positif, soit $Se=P_H(T^+)$ . La probabilité d’obtenir un résultat négatif chez une personne non malade relève de la spécificité.

Question 10

10. Quelle expression définit la spécificité d’un test diagnostique ?

La probabilité d’obtenir un résultat négatif chez une personne non malade

La probabilité d’être malade après un résultat positif

La probabilité d’obtenir un résultat positif chez une personne malade

La proportion de personnes malades détectées par le test

Explication

La spécificité mesure la probabilité d’un résultat négatif chez une personne non malade, soit $Sp=P_{\overline H}(T^-)$ . La proportion de personnes malades ayant un résultat positif décrit plutôt la sensibilité.

Question 11

11. Que représente la valeur prédictive positive d’un test ?

La probabilité que le test soit négatif sachant que la personne est non malade

La probabilité d’être malade sachant que le test est positif

La probabilité d’être non malade sachant que le test est négatif

La probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade

Explication

La valeur prédictive positive est la probabilité d’être malade après l’obtention d’un résultat positif, soit $VPP=P_{T^+}(H)$ . La probabilité d’un test positif chez une personne malade correspond à la sensibilité, et non à la VPP.

Question 12

12. Avec une fréquence de maladie $f$ , une sensibilité de 0,99 et un taux de faux positifs de 0,01, quelle formule donne la VPP ?

\frac{0,01f}{0,98f+0,99}

\frac{0,99f}{0,99f+0,01}

\frac{0,99f}{0,98f+0,01}

\frac{0,98f+0,01}{0,99f}

Explication

La VPP s’écrit $\frac{0,99f}{0,98f+0,01}$ dans ces conditions, car elle dépend de la fréquence de la maladie et des performances du test. La sensibilité ne varie pas avec la fréquence de la maladie, tandis que la VPP, elle, peut changer lorsque $f$ change.

Question 13

13. Quelle VPP correspond à une fréquence de maladie $f=0,01$ dans la série considérée ?

0,09

0,98

0,50

0,92

Explication

Pour $f=0,01$ , la VPP correspondante est 0,5, c’est-à-dire 50 %. La valeur 0,09 est associée à $f=0,001$ , tandis que 0,92 correspond à $f=0,1$ .

QCM : Inférence bayésienne et tests — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Si $P(A)=0,4$ et $P(A\cap B)=0,12$ , quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ ?

2. Sachant que $P_A(B)=0,25$ et $P(A)=0,6$ , comment calcule-t-on $P(A\cap B)$ ?

3. Si $P(A)=0,2$ , $P(B)=0,5$ et $P_B(A)=0,1$ , quelle est la valeur de $P_A(B)$ ?

4. Quelle propriété caractérise une partition de l’univers $\Omega$ ?

5. Lorsque $B_1,B_2,\ldots,B_n$ forment une partition de $\Omega$ , quelle expression donne $P(A)$ ?

6. Une partition est formée de $E$ et de son complément, avec $P(E)=0,7$ , $P_E(T)=0,99$ et $P_{\overline E}(T)=0,04$ . Quelle expression permet de calculer $P(T)$ ?

7. Deux événements $A$ et $B$ ont des probabilités $P(A)=0,4$ , $P(B)=0,5$ et $P(A\cap B)=0,2$ . Que peut-on conclure ?

8. Si $P(A)\neq0$ , quelle condition équivalente à l’indépendance de $A$ et $B$ peut-on utiliser ?

9. Que mesure la sensibilité d’un test diagnostique ?

10. Quelle expression définit la spécificité d’un test diagnostique ?

11. Que représente la valeur prédictive positive d’un test ?

12. Avec une fréquence de maladie $f$ , une sensibilité de 0,99 et un taux de faux positifs de 0,01, quelle formule donne la VPP ?

13. Quelle VPP correspond à une fréquence de maladie $f=0,01$ dans la série considérée ?

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QCM : Inférence bayésienne et tests — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Si P(A)=0,4P(A)=0,4P(A)=0,4 et P(A∩B)=0,12P(A\cap B)=0,12P(A∩B)=0,12, quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle de BBB sachant AAA ?

2. Sachant que PA(B)=0,25P_A(B)=0,25PA​(B)=0,25 et P(A)=0,6P(A)=0,6P(A)=0,6, comment calcule-t-on P(A∩B)P(A\cap B)P(A∩B) ?

3. Si P(A)=0,2P(A)=0,2P(A)=0,2, P(B)=0,5P(B)=0,5P(B)=0,5 et PB(A)=0,1P_B(A)=0,1PB​(A)=0,1, quelle est la valeur de PA(B)P_A(B)PA​(B) ?

4. Quelle propriété caractérise une partition de l’univers Ω\OmegaΩ ?

5. Lorsque B1,B2,…,BnB_1,B_2,\ldots,B_nB1​,B2​,…,Bn​ forment une partition de Ω\OmegaΩ, quelle expression donne P(A)P(A)P(A) ?

6. Une partition est formée de EEE et de son complément, avec P(E)=0,7P(E)=0,7P(E)=0,7, PE(T)=0,99P_E(T)=0,99PE​(T)=0,99 et PE‾(T)=0,04P_{\overline E}(T)=0,04PE​(T)=0,04. Quelle expression permet de calculer P(T)P(T)P(T) ?

7. Deux événements AAA et BBB ont des probabilités P(A)=0,4P(A)=0,4P(A)=0,4, P(B)=0,5P(B)=0,5P(B)=0,5 et P(A∩B)=0,2P(A\cap B)=0,2P(A∩B)=0,2. Que peut-on conclure ?

8. Si P(A)≠0P(A)\neq0P(A)=0, quelle condition équivalente à l’indépendance de AAA et BBB peut-on utiliser ?

9. Que mesure la sensibilité d’un test diagnostique ?

10. Quelle expression définit la spécificité d’un test diagnostique ?

11. Que représente la valeur prédictive positive d’un test ?

12. Avec une fréquence de maladie fff, une sensibilité de 0,99 et un taux de faux positifs de 0,01, quelle formule donne la VPP ?

13. Quelle VPP correspond à une fréquence de maladie f=0,01f=0,01f=0,01 dans la série considérée ?

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1. Si $P(A)=0,4$ et $P(A\cap B)=0,12$ , quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ ?

2. Sachant que $P_A(B)=0,25$ et $P(A)=0,6$ , comment calcule-t-on $P(A\cap B)$ ?

3. Si $P(A)=0,2$ , $P(B)=0,5$ et $P_B(A)=0,1$ , quelle est la valeur de $P_A(B)$ ?

4. Quelle propriété caractérise une partition de l’univers $\Omega$ ?

5. Lorsque $B_1,B_2,\ldots,B_n$ forment une partition de $\Omega$ , quelle expression donne $P(A)$ ?

6. Une partition est formée de $E$ et de son complément, avec $P(E)=0,7$ , $P_E(T)=0,99$ et $P_{\overline E}(T)=0,04$ . Quelle expression permet de calculer $P(T)$ ?

7. Deux événements $A$ et $B$ ont des probabilités $P(A)=0,4$ , $P(B)=0,5$ et $P(A\cap B)=0,2$ . Que peut-on conclure ?

8. Si $P(A)\neq0$ , quelle condition équivalente à l’indépendance de $A$ et $B$ peut-on utiliser ?

12. Avec une fréquence de maladie $f$ , une sensibilité de 0,99 et un taux de faux positifs de 0,01, quelle formule donne la VPP ?

13. Quelle VPP correspond à une fréquence de maladie $f=0,01$ dans la série considérée ?