QCM : Arithmétique : PGCD et PPCM — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour calculer le PGCD de 900900 et 360360 par décomposition en facteurs premiers, quelles puissances faut-il retenir pour les facteurs communs ?

Les plus grands exposants de chaque facteur commun
La somme des exposants de chaque facteur commun
Les plus petits exposants de chaque facteur commun
La différence des exposants de chaque facteur commun

Les plus petits exposants de chaque facteur commun

Explication

Le PGCD se construit avec les facteurs premiers communs affectés de leurs plus petits exposants. Le choix des plus grands exposants correspond au calcul du PPCM, et non à celui du PGCD.

2. Qu'est-ce que la décomposition en facteurs premiers d'un nombre ?

C'est la décomposition d'un nombre en facteurs premiers et composites.
C'est la factorisation d'un nombre en ses facteurs premiers et premiers.
C'est la somme de tous les diviseurs premiers d'un nombre.
C'est la représentation d'un nombre comme produit de ses facteurs premiers.

C'est la représentation d'un nombre comme produit de ses facteurs premiers.

Explication

La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme produit de ses facteurs premiers. La réponse qui correspond à cette définition est la première, tandis que les autres proposent des notions incorrectes ou incomplètes.

3. Quelle est la valeur du PGCD de 900900 et 360360 obtenue à partir de leurs décompositions en facteurs premiers ?

180180
18001800
9090
360360

$$180$$

Explication

Les facteurs communs retenus donnent 22×32×5=1802^2\times3^2\times5=180. La valeur 18001800 correspond au PPCM de ces deux nombres, tandis que 360360 est l’un des nombres de départ.

4. Quel est le résultat de la décomposition en facteurs premiers de 900 ?

900=23×32×5900=2^3 \times 3^2 \times 5
900=22×33×5900=2^2 \times 3^3 \times 5
900=22×32×5900=2^2 \times 3^2 \times 5
900=22×32×52900=2^2 \times 3^2 \times 5^2

$$900=2^2 \times 3^2 \times 5^2$$

Explication

La décomposition en facteurs premiers de 900 est 22×32×522^2 \times 3^2 \times 5^2. La première option est correcte, car elle correspond à cette décomposition, contrairement aux autres qui contiennent des exposants incorrects.

5. Dans l’algorithme des soustractions appliqué à deux entiers naturels non nuls a>ba>b, quelle transformation est répétée ?

Remplacer le couple (a,b)(a,b) par (b,a−b)(b,a-b)
Remplacer le couple (a,b)(a,b) par (a−b,b)(a-b,b)
Remplacer le couple (a,b)(a,b) par (b,r)(b,r)
Remplacer le couple (a,b)(a,b) par (a,a−b)(a,a-b)

Remplacer le couple $$(a,b)$$ par $$(a-b,b)$$

Explication

L’algorithme des soustractions conserve le second terme et soustrait celui-ci du premier, ce qui donne (a−b,b)(a-b,b). La transformation (b,r)(b,r) caractérise l’algorithme d’Euclide fondé sur les divisions euclidiennes.

6. Quel est le but principal de l'algorithme d’Euclide dans le calcul du PGCD ?

Calculer le PPCM en utilisant la relation avec le PGCD.
Comparer deux nombres pour voir s’ils sont premiers entre eux.
Trouver la décomposition en facteurs premiers d’un nombre.
Déterminer le plus grand commun diviseur en utilisant la division successive et le reste.

Déterminer le plus grand commun diviseur en utilisant la division successive et le reste.

Explication

L’algorithme d’Euclide vise à déterminer le plus grand commun diviseur en utilisant la division successive et le reste. La décomposition en facteurs premiers est une autre méthode, et le PPCM est lié au PGCD mais n’est pas son objectif principal.

7. Quand l’algorithme des soustractions s’arrête-t-il, et quelle valeur fournit-il ?

Quand les deux termes deviennent égaux ; leur somme est le PGCD
Quand le premier terme devient premier ; ce terme est le PGCD
Quand une différence devient nulle ; le dernier reste non nul est le PGCD
Quand le quotient devient nul ; le dernier quotient est le PGCD

Quand une différence devient nulle ; le dernier reste non nul est le PGCD

Explication

Les soustractions successives se poursuivent jusqu’à obtenir une différence nulle, et le dernier reste non nul est alors le PGCD. L’arrêt sur un quotient nul et l’utilisation du dernier quotient relèvent d’une confusion avec une autre formulation de l’algorithme d’Euclide.

8. Quand l'algorithme d’Euclide a-t-il été formulé pour la première fois dans l'histoire des mathématiques ?

Au XIXe siècle avec la formalisation de la théorie des nombres par Gauss.
Au IIIe siècle avant J.-C. par Euclide dans ses Éléments.
Au Ier siècle après J.-C. par Pythagore dans ses travaux.
Au XVIe siècle lors de la Renaissance par des mathématiciens européens.

Au IIIe siècle avant J.-C. par Euclide dans ses Éléments.

Explication

L'algorithme d’Euclide a été formulé par Euclide au IIIe siècle avant J.-C. dans ses Éléments, ce qui en fait l'un des plus anciens algorithmes connus. Les autres propositions correspondent à des périodes ou des figures historiques non liées à cet algorithme.

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Comment décompose-t-on 900 en facteurs premiers pour le PGCD ?

900=22×32×52900 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2.

PGCD décomposition primes

Plus petits exposants des facteurs communs

Quel est le PGCD de 900 et 360 par décomposition en facteurs premiers ?

Le PGCD est 22×32×5=1802^2 \times 3^2 \times 5 = 180.

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