QCM : Formules fondamentales de mathématiques — 14 questions

Explication

Une puissance d’une puissance multiplie les exposants, ce qui donne $a^{m\times n}$. L’addition des exposants concerne plutôt le produit de puissances de même base, comme $a^m\times a^n$.

Explication

Le binôme généralisé associe à chaque terme le coefficient $\binom{n}{k}$ et les puissances complémentaires $a^{n-k}$ et $b^k$. La présence des coefficients binomiaux distingue cette formule d’une simple somme de monômes.

Explication

Dans le cube d’une différence, les signes alternent entre les termes, selon $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. Le développement du cube d’une somme possède au contraire quatre termes positifs.

Explication

La racine carrée est toujours non négative, donc $\sqrt{a^2}=|a|$, quel que soit le signe de $a$. Écrire directement $a$ pourrait être faux lorsque $a$ est négatif.

Explication

Multiplier le numérateur et le dénominateur par $\sqrt a$ transforme le dénominateur en $a$ et donne $\frac{\sqrt a}{a}$. Cette opération rationalise le dénominateur, tandis que simplifier une racine modifie plutôt son radicande.

Explication

L’expression $x^2-9$ est une différence de deux carrés, puisque $9=3^2$, et se factorise donc en $(x-3)(x+3)$. Le carré d’une différence donnerait un terme croisé en $x$, absent ici.

Explication

Les deux termes contiennent le facteur commun $a$, qui est mis en évidence pour obtenir $a(b+c)$. Développer effectuerait l’opération inverse en supprimant les parenthèses et en faisant apparaître les produits.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, le polynôme possède une racine double et prend la forme $a(x-x_1)^2$. La forme avec deux facteurs distincts correspond au cas $\Delta>0$, où les deux racines sont différentes.

Explication

Le logarithme népérien $\ln(a)$ est défini lorsque $a>0$, et notamment $\ln(1)=0$. La confusion vient du fait que l’exponentielle est définie pour tout réel, tandis que le logarithme exige un argument strictement positif.

Explication

Le logarithme d’un quotient se transforme en différence : $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$. L’addition correspond au logarithme d’un produit, et non à celui d’un quotient.

Explication

La relation réciproque $\ln(e^a)=a$ s’applique à tout réel $a$, donc $\ln(e^{-3})=-3$. L’expression $\ln(-3)$ n’est pas définie dans les réels, car son argument est négatif.

Explication

L’identité fondamentale relie les carrés du cosinus et du sinus par $\cos^2x+\sin^2x=1$. Les autres égalités modifient soit l’opération entre les carrés, soit la puissance d’une fonction.

Explication

La formule d’addition du cosinus est $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$. La formule avec une addition entre les deux produits correspond au sinus de la somme.

Explication

La formule de l’angle double donne $\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$. La formule de différence $\sin(a-b)$ comporte deux termes distincts avec une soustraction, ce qui ne correspond pas à un angle double.