QCM : Modèles définis par une fonction — 20 questions

Question 1

1. Quelle est la caractéristique géométrique de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

C’est une courbe passant par

A(a;f(a))

et de pente variable.

C’est une droite passant par

A(a;f(a))

et de pente

f'(a)

.

C’est une droite passant par

A(a;f'(a))

et de pente

f(a)

.

C’est une droite passant par l’origine et de pente

f(a)

.

Explication

La tangente passe par le point de contact $A(a;f(a))$ et son coefficient directeur vaut $f'(a)$ . La confusion fréquente consiste à intervertir la valeur de la fonction et celle de sa dérivée dans les coordonnées et la pente.

Answer

C’est une droite passant par $$A(a;f(a))$$ et de pente $$f'(a)$$.

Question 2

2. Quelle équation représente la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

y=f'(x)(x-a)+f(a)

y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=f(a)x+f'(a)

y=f(a)(x-a)+f'(a)

Explication

La forme point-pente utilise la pente $f'(a)$ et le point de contact d’ordonnée $f(a)$ . L’expression $f(a)$ ne donne pas la pente de la tangente.

Answer

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Question 3

3. Que représente le nombre dérivé $f'(a)$ sur la courbe de $f$ ?

La pente moyenne de la courbe sur tout son domaine.

L’ordonnée du point de contact d’abscisse

a

.

Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse

a

.

La valeur de la fonction au point d’abscisse

a

.

Explication

Le nombre dérivé en $a$ est défini comme le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. L’ordonnée du point de contact est $f(a)$ , et non $f'(a)$ .

Answer

Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $$a$$.

Question 4

4. Quelles sont les règles de dérivation d’une somme et d’un produit de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ ?

(u+v)'=u'+v'

et

(uv)'=u'v+uv'

(u+v)'=u'+v'

et

(uv)'=uv'

(u+v)'=u'v'

et

(uv)'=u'+v'

(u+v)'=u'v+uv'

et

(uv)'=u'+v'

Explication

La dérivée d’une somme se calcule terme à terme, tandis que celle d’un produit contient deux termes : $u'v+uv'$ . Assimiler la règle du produit à celle de la somme omet l’un des deux facteurs dérivés.

Answer

$$(u+v)'=u'+v'$$ et $$(uv)'=u'v+uv'$$

Question 5

5. Quelle formule donne la dérivée de l’inverse d’une fonction dérivable $v$ ?

\left(\frac{1}{v}\right)'=\frac{1}{v'}

\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}

\left(\frac{1}{v}\right)'=\frac{v'}{v^2}

\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v^2}{v'}

Explication

La dérivée de l’inverse est $-v'/v^2$ , ce qui introduit un signe négatif et le carré de $v$ au dénominateur. Oublier le signe moins est la confusion la plus courante avec cette formule.

Answer

$$\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$$

Question 6

6. Si $u$ est dérivable, quelle est la dérivée de la fonction $x\mapsto e^{u(x)}$ ?

e^{u'(x)}u(x)

u(x)e^{u'(x)}

e^{u(x)}+u'(x)

u'(x)e^{u(x)}

Explication

La règle de la chaîne impose de multiplier l’exponentielle composée par la dérivée de sa fonction intérieure, soit $u'(x)e^{u(x)}$ . Remplacer $u'(x)$ par $u(x)$ ne tient pas compte de cette dérivation intérieure.

Answer

$$u'(x)e^{u(x)}$$

Question 7

7. Que peut-on déduire du signe de la dérivée lorsqu’une fonction dérivable est croissante ou décroissante sur un intervalle ?

Une fonction croissante vérifie

f'(x)\leq 0

et une fonction décroissante vérifie

f'(x)\geq 0

.

Le signe de

f'

ne présente aucun lien avec les variations de

f

.

Les deux variations imposent

f'(x)=0

sur tout l’intervalle.

Une fonction croissante vérifie

f'(x)\geq 0

et une fonction décroissante vérifie

f'(x)\leq 0

.

Explication

La croissance correspond à des pentes tangentes positives ou nulles, tandis que la décroissance correspond à des pentes négatives ou nulles. Inverser ces signes conduit à associer une pente positive à une diminution.

Answer

Une fonction croissante vérifie $$f'(x)\geq 0$$ et une fonction décroissante vérifie $$f'(x)\leq 0$$.

Question 8

8. Une fonction dérivable vérifie $f'(x)>0$ sauf éventuellement en un nombre fini de points sur un intervalle. Quelle conclusion est valable ?

La fonction est constante sur cet intervalle.

La fonction est strictement décroissante sur cet intervalle.

La fonction possède nécessairement un maximum local sur cet intervalle.

La fonction est strictement croissante sur cet intervalle.

Explication

Une dérivée strictement positive, avec d’éventuelles annulations isolées en nombre fini, entraîne une croissance stricte de la fonction. Une dérivée négative serait associée à la décroissance, et non à la croissance.

Answer

La fonction est strictement croissante sur cet intervalle.

Question 9

9. Quelle affirmation décrit correctement le lien entre un extremum local et l’annulation de la dérivée en un point intérieur $x_0$ ?

L’absence d’annulation de

f'(x_0)

garantit qu’un extremum local existe en

x_0

.

Un extremum local implique une dérivée strictement positive en

x_0

.

Un extremum local implique

f'(x_0)=0

, mais

f'(x_0)=0

ne suffit pas à conclure à un extremum.

L’égalité

f'(x_0)=0

implique toujours un extremum local, sans condition supplémentaire.

Explication

Pour une fonction dérivable, un extremum local intérieur impose une dérivée nulle, mais une dérivée nulle peut correspondre à un point sans extremum. L’annulation doit donc être complétée par l’étude du changement de signe ou d’autres informations.

Answer

Un extremum local implique $$f'(x_0)=0$$, mais $$f'(x_0)=0$$ ne suffit pas à conclure à un extremum.

Question 10

10. Quel type d’extremum local est indiqué lorsque $f'$ passe d’une valeur négative à une valeur positive en $x_0$ ?

Un minimum local en

x_0

.

Un point d’inflexion en

x_0

.

Un maximum local en

x_0

.

Une fonction constante au voisinage de

x_0

.

Explication

Avant $x_0$ , une dérivée négative indique une décroissance, puis une dérivée positive indique une croissance : la fonction passe donc d’une baisse à une hausse. Ce changement de signe caractérise un minimum local, tandis que le changement inverse caractérise un maximum.

Answer

Un minimum local en $$x_0$$.

Question 11

11. Comment caractérise-t-on la continuité d’une fonction sur un intervalle ?

Sa courbe peut être tracée sans lever le crayon ni effectuer de saut

Sa fonction dérivée existe et reste constante sur tout l’intervalle

Sa courbe possède une tangente horizontale en chaque point de l’intervalle

Sa courbe coupe chaque droite horizontale en un seul point

Explication

La continuité signifie que la courbe se trace d’un seul geste, sans rupture ni saut. L’existence d’une tangente ou d’une dérivée concerne une propriété plus forte et ne définit pas à elle seule la continuité.

Answer

Sa courbe peut être tracée sans lever le crayon ni effectuer de saut

Question 12

12. Quelle implication entre dérivabilité et continuité est correcte sur un intervalle ?

La continuité entraîne la dérivabilité, mais la dérivabilité ne garantit pas la continuité

La dérivabilité entraîne la continuité, mais la continuité ne garantit pas la dérivabilité

La dérivabilité et la continuité sont deux propriétés indépendantes sur l’intervalle

La continuité et la dérivabilité sont équivalentes dès que la fonction est bornée

Explication

Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue. En revanche, une fonction peut être continue en présentant un point anguleux où elle n’est pas dérivable.

Answer

La dérivabilité entraîne la continuité, mais la continuité ne garantit pas la dérivabilité

Question 13

13. Une fonction continue sur $[a;b]$ vérifie $f(a)=2$ et $f(b)=9$ . Que peut-on affirmer pour la valeur $k=6$ ?

La fonction prend la valeur

6

seulement si elle est strictement croissante

L’équation

f(x)=6

possède au moins une solution dans

[a;b]

L’équation

f(x)=6

possède exactement deux solutions dans

[a;b]

La valeur

6

ne peut être atteinte que par une fonction dérivable

Explication

Comme $6$ est comprise entre $f(a)=2$ et $f(b)=9$ , le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins une solution. Il ne garantit ni l’unicité ni un nombre précis de solutions sans hypothèse supplémentaire.

Answer

L’équation $$f(x)=6$$ possède au moins une solution dans $$[a;b]$$

Question 14

14. Si une fonction est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ , que peut-on conclure lorsqu’une valeur $k$ est comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ ?

L’équation

f(x)=k

admet une unique solution dans

[a;b]

La valeur

k

est atteinte seulement aux extrémités de l’intervalle

L’équation

f(x)=k

admet au moins deux solutions dans

[a;b]

L’existence d’une solution dépend de la dérivée seconde de la fonction

Explication

La continuité assure l’existence d’une solution et la stricte monotonie assure qu’il ne peut y en avoir deux. La conclusion est donc l’unicité de la solution dans l’intervalle.

Answer

L’équation $$f(x)=k$$ admet une unique solution dans $$[a;b]$$

Question 15

15. Quelle description distingue correctement une fonction convexe d’une fonction concave à l’aide de ses tangentes ?

Une fonction convexe a sa courbe au-dessous de ses tangentes, tandis qu’une fonction concave l’a au-dessus

Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de ses tangentes, tandis qu’une fonction concave l’a au-dessous

Une fonction convexe coupe ses tangentes, tandis qu’une fonction concave leur reste parallèle

Une fonction convexe possède des tangentes horizontales, tandis qu’une fonction concave possède des tangentes verticales

Explication

Par définition, une courbe convexe se situe au-dessus de chacune de ses tangentes et une courbe concave au-dessous. La position par rapport aux tangentes ne se réduit pas à leur orientation horizontale ou verticale.

Answer

Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de ses tangentes, tandis qu’une fonction concave l’a au-dessous

Question 16

16. Sur un intervalle, la dérivée $f'$ est croissante. Quelle propriété possède alors la fonction $f$ ?

Elle est convexe sur cet intervalle

Elle est nécessairement constante sur cet intervalle

Elle est concave sur cet intervalle

Elle change nécessairement de convexité sur cet intervalle

Explication

La croissance de $f'$ caractérise la convexité de $f$ . La concavité correspond au contraire à une dérivée décroissante, et non à une dérivée croissante.

Answer

Elle est convexe sur cet intervalle

Question 17

17. Comment définit-on la dérivée seconde $f''$ d’une fonction ?

C’est la dérivée de la fonction dérivée

f'

C’est la dérivée de la fonction elle-même sans passer par

f'

C’est la valeur de

f'

au point où la fonction s’annule

C’est la fonction obtenue en intégrant la dérivée première

f'

Explication

La dérivée seconde s’obtient en dérivant la dérivée première, donc $f''=(f')'$ . Une intégrale de $f'$ redonne une primitive, et non une dérivée seconde.

Answer

C’est la dérivée de la fonction dérivée $$f'$$

Question 18

18. Sur un intervalle, on sait que $f''(x)\ge 0$ pour tout $x$ . Quelle conclusion est valide ?

La fonction

f'

est nécessairement négative sur cet intervalle

La fonction

f

possède nécessairement un point d’inflexion dans cet intervalle

La fonction

f

est convexe sur cet intervalle

La fonction

f

est concave sur cet intervalle

Explication

Une dérivée seconde positive ou nulle indique que la dérivée première est croissante, ce qui entraîne la convexité de $f$ . Cette condition ne détermine ni le signe de $f'$ ni l’existence d’un point d’inflexion.

Answer

La fonction $$f$$ est convexe sur cet intervalle

Question 19

19. Quelle condition caractérise un point d’inflexion de la courbe d’une fonction ?

La courbe traverse sa tangente et change de convexité en ce point

La courbe touche sa tangente sans changer de convexité en ce point

La courbe coupe l’axe des abscisses et sa dérivée seconde reste de signe constant

La courbe possède une tangente horizontale et atteint nécessairement un maximum

Explication

Un point d’inflexion correspond à un changement de convexité accompagné du franchissement de la tangente. Une simple tangence, une tangente horizontale ou une intersection avec un axe ne suffit pas à caractériser un tel point.

Answer

La courbe traverse sa tangente et change de convexité en ce point

Question 20

20. Soit une fonction deux fois dérivable telle que $f''(a)=0$ et que $f''$ change de signe en $a$ . Quelles sont les coordonnées du point d’inflexion correspondant ?

(f'(a);a)

(a;f''(a))

(f(a);a)

(a;f(a))

Explication

L’annulation et le changement de signe de $f''$ en $a$ entraînent un changement de convexité, et le point de la courbe d’abscisse $a$ a pour ordonnée $f(a)$ . Les autres couples mélangent l’abscisse avec une valeur de dérivée ou inversent les coordonnées.

Answer

$$(a;f(a))$$

QCM : Modèles définis par une fonction — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la caractéristique géométrique de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

2. Quelle équation représente la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

3. Que représente le nombre dérivé $f'(a)$ sur la courbe de $f$ ?

4. Quelles sont les règles de dérivation d’une somme et d’un produit de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ ?

5. Quelle formule donne la dérivée de l’inverse d’une fonction dérivable $v$ ?

6. Si $u$ est dérivable, quelle est la dérivée de la fonction $x\mapsto e^{u(x)}$ ?

7. Que peut-on déduire du signe de la dérivée lorsqu’une fonction dérivable est croissante ou décroissante sur un intervalle ?

8. Une fonction dérivable vérifie $f'(x)>0$ sauf éventuellement en un nombre fini de points sur un intervalle. Quelle conclusion est valable ?

9. Quelle affirmation décrit correctement le lien entre un extremum local et l’annulation de la dérivée en un point intérieur $x_0$ ?

10. Quel type d’extremum local est indiqué lorsque $f'$ passe d’une valeur négative à une valeur positive en $x_0$ ?

11. Comment caractérise-t-on la continuité d’une fonction sur un intervalle ?

12. Quelle implication entre dérivabilité et continuité est correcte sur un intervalle ?

13. Une fonction continue sur $[a;b]$ vérifie $f(a)=2$ et $f(b)=9$ . Que peut-on affirmer pour la valeur $k=6$ ?

14. Si une fonction est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ , que peut-on conclure lorsqu’une valeur $k$ est comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ ?

15. Quelle description distingue correctement une fonction convexe d’une fonction concave à l’aide de ses tangentes ?

16. Sur un intervalle, la dérivée $f'$ est croissante. Quelle propriété possède alors la fonction $f$ ?

17. Comment définit-on la dérivée seconde $f''$ d’une fonction ?

18. Sur un intervalle, on sait que $f''(x)\ge 0$ pour tout $x$ . Quelle conclusion est valide ?

19. Quelle condition caractérise un point d’inflexion de la courbe d’une fonction ?

20. Soit une fonction deux fois dérivable telle que $f''(a)=0$ et que $f''$ change de signe en $a$ . Quelles sont les coordonnées du point d’inflexion correspondant ?

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QCM : Modèles définis par une fonction — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la caractéristique géométrique de la tangente à la courbe de fff au point d’abscisse aaa ?

2. Quelle équation représente la tangente à la courbe de fff au point d’abscisse aaa ?

3. Que représente le nombre dérivé f′(a)f'(a)f′(a) sur la courbe de fff ?

4. Quelles sont les règles de dérivation d’une somme et d’un produit de deux fonctions dérivables uuu et vvv ?

5. Quelle formule donne la dérivée de l’inverse d’une fonction dérivable vvv ?

6. Si uuu est dérivable, quelle est la dérivée de la fonction x↦eu(x)x\mapsto e^{u(x)}x↦eu(x) ?

7. Que peut-on déduire du signe de la dérivée lorsqu’une fonction dérivable est croissante ou décroissante sur un intervalle ?

8. Une fonction dérivable vérifie f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 sauf éventuellement en un nombre fini de points sur un intervalle. Quelle conclusion est valable ?

9. Quelle affirmation décrit correctement le lien entre un extremum local et l’annulation de la dérivée en un point intérieur x0x_0x0​ ?

10. Quel type d’extremum local est indiqué lorsque f′f'f′ passe d’une valeur négative à une valeur positive en x0x_0x0​ ?

11. Comment caractérise-t-on la continuité d’une fonction sur un intervalle ?

12. Quelle implication entre dérivabilité et continuité est correcte sur un intervalle ?

13. Une fonction continue sur [a;b][a;b][a;b] vérifie f(a)=2f(a)=2f(a)=2 et f(b)=9f(b)=9f(b)=9. Que peut-on affirmer pour la valeur k=6k=6k=6 ?

14. Si une fonction est continue et strictement monotone sur [a;b][a;b][a;b], que peut-on conclure lorsqu’une valeur kkk est comprise entre f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b) ?

15. Quelle description distingue correctement une fonction convexe d’une fonction concave à l’aide de ses tangentes ?

16. Sur un intervalle, la dérivée f′f'f′ est croissante. Quelle propriété possède alors la fonction fff ?

17. Comment définit-on la dérivée seconde f′′f''f′′ d’une fonction ?

18. Sur un intervalle, on sait que f′′(x)≥0f''(x)\ge 0f′′(x)≥0 pour tout xxx. Quelle conclusion est valide ?

19. Quelle condition caractérise un point d’inflexion de la courbe d’une fonction ?

20. Soit une fonction deux fois dérivable telle que f′′(a)=0f''(a)=0f′′(a)=0 et que f′′f''f′′ change de signe en aaa. Quelles sont les coordonnées du point d’inflexion correspondant ?

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1. Quelle est la caractéristique géométrique de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

2. Quelle équation représente la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

3. Que représente le nombre dérivé $f'(a)$ sur la courbe de $f$ ?

4. Quelles sont les règles de dérivation d’une somme et d’un produit de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ ?

5. Quelle formule donne la dérivée de l’inverse d’une fonction dérivable $v$ ?

6. Si $u$ est dérivable, quelle est la dérivée de la fonction $x\mapsto e^{u(x)}$ ?

8. Une fonction dérivable vérifie $f'(x)>0$ sauf éventuellement en un nombre fini de points sur un intervalle. Quelle conclusion est valable ?

9. Quelle affirmation décrit correctement le lien entre un extremum local et l’annulation de la dérivée en un point intérieur $x_0$ ?

10. Quel type d’extremum local est indiqué lorsque $f'$ passe d’une valeur négative à une valeur positive en $x_0$ ?

13. Une fonction continue sur $[a;b]$ vérifie $f(a)=2$ et $f(b)=9$ . Que peut-on affirmer pour la valeur $k=6$ ?

14. Si une fonction est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ , que peut-on conclure lorsqu’une valeur $k$ est comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ ?

16. Sur un intervalle, la dérivée $f'$ est croissante. Quelle propriété possède alors la fonction $f$ ?

17. Comment définit-on la dérivée seconde $f''$ d’une fonction ?

18. Sur un intervalle, on sait que $f''(x)\ge 0$ pour tout $x$ . Quelle conclusion est valide ?

20. Soit une fonction deux fois dérivable telle que $f''(a)=0$ et que $f''$ change de signe en $a$ . Quelles sont les coordonnées du point d’inflexion correspondant ?