Fiche de révision : Modèles définis par une fonction

📋 Plan du Cours

1. Tangente et nombre dérivé
2. Formules de dérivation
3. Dérivée et variations
4. Continuité et valeurs intermédiaires
5. Convexité et dérivée seconde
6. Points d’inflexion et position relative

📖 1. Tangente et nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente à une courbe : Droite passant par A(a; f(a)) et de coefficient directeur f'(a).
• Nombre dérivé : Coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

💡 Astuce mémo

Au point A, la tangente touche la courbe et prend la pente f'(a).

📖 2. Formules de dérivation

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v, on a $(u+v)'=u'+v'$ et $(uv)'=u'v+uv'.$

📐 Formule — Pour une fonction dérivable v, on a $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$ et, pour un quotient, $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

📐 Formule — Si u est dérivable, alors $(e^u)'(x)=u'(x)e^{u(x)}$.

Compléments

📐 Formule — Pour une fonction dérivable u, on a $(u^2)'(x)=2u'(x)u(x)$.

📐 Formule — Si g(x)=f(ax+b), alors $g'(x)=a f'(ax+b)$.

💡 Astuce mémo

SCPQI : Somme, Constante, Produit, Quotient, Inverse.

📖 3. Dérivée et variations

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable et croissante sur un intervalle, alors f'(x)≥0 ; si f est décroissante, alors f'(x)≤0.

• Si f' est strictement positive sauf éventuellement en un nombre fini de points, f est strictement croissante ; si f' est strictement négative sauf éventuellement en un nombre fini de points, f est strictement décroissante.

• Si f admet un extremum local en x₀, alors f'(x₀)=0, mais l’annulation de f'(x₀) ne suffit pas à garantir un extremum local.

• Si f' s’annule en x₀ en passant de négative à positive, f admet un minimum local ; si f' passe de positive à négative, f admet un maximum local.

💡 Astuce mémo

Signe de f' → sens de variation de f → extrema éventuels.

📖 4. Continuité et valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Fonction dont la courbe peut être tracée sans lever le crayon et sans saut.

★ À maîtriser

• Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

• Si f est continue sur [a;b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans [a;b].

• Si f est continue et strictement monotone sur [a;b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l’équation f(x)=k admet une unique solution dans [a;b].

Compléments

• Les fonctions de référence citées sont:
  • affines
  • carré
  • cube
  • inverse
  • racine carrée
  • exponentielle

💡 Astuce mémo

Continuité seule : au moins une solution ; continuité et stricte monotonie : une seule solution.

📖 5. Convexité et dérivée seconde

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité : Fonction dont la courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes.
• Dérivée seconde : Dérivée de la fonction dérivée f'.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante, et elle est concave si et seulement si sa dérivée est décroissante.

📌 Si f''(x)≥0 sur un intervalle, alors f est convexe sur cet intervalle ; si f''(x)≤0, alors f est concave.

💡 Astuce mémo

Signe de f'' → évolution de f' → convexité ou concavité de f.

📖 6. Points d’inflexion et position relative

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’inflexion : Point où la représentation graphique d’une fonction traverse sa tangente et change de convexité.

★ À maîtriser

📌 Si f est deux fois dérivable, si f'' s’annule en a et change de signe en a, alors la courbe de f admet un point d’inflexion de coordonnées (a; f(a)).

Compléments

• Pour la fonction cube f(x)=x^3, le point de coordonnées (0;0) est un point d’inflexion.

📐 Formule — Pour f(x)=5x^3+2x^2-6x+1, on a $f'(x)=15x^2+4x-6$ et $f''(x)=30x+4$.

💡 Astuce mémo

Convexité inchangée : pas d’inflexion ; changement de convexité : point d’inflexion.

📊 Tableaux de synthèse

Signe de la dérivée et variations

Convexité selon les dérivées