Fiche de révision : Formules fondamentales de mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Puissances et développements binomiaux
2. Racines et rationalisation
3. Identités et factorisations
4. Logarithmes et exponentielles
5. Formules de trigonométrie

📖 1. Puissances et développements binomiaux

★ À maîtriser

📐 Formule — Les règles de calcul des puissances sont $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{m\times n}$, $(ab)^n=a^n b^n$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

📐 Formule — Le développement binomial généralisé est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$, avec $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

📐 Formule — Les développements cubiques sont $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ et $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

Compléments

📐 Formule — Le développement généralisé de la somme de plusieurs termes vérifie $(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)+(2a_1a_2+2a_1a_3+\cdots+2a_{n-1}a_n)$.

💡 Astuce mémo

Multiplier les puissances, puis développer le binôme terme à terme

📖 2. Racines et rationalisation

★ À maîtriser

📐 Formule — Les règles des racines carrées sont $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$, $\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$ et $\sqrt{a^2}=|a|$.

📐 Formule — La rationalisation d'une racine isolée repose sur $\frac1{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}{a}$.

Compléments

• La simplification par carré parfait donne $\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2$.

• La rationalisation de $\frac1{\sqrt3+1}$ donne $\frac{\sqrt3-1}{2}$ en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt3-1$.

💡 Astuce mémo

Faire apparaître un carré parfait sous la racine

📖 3. Identités et factorisations

★ À maîtriser

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

📐 Formule — Un polynôme du second degré se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$ si $\Delta>0$ et en $a(x-x_1)^2$ si $\Delta=0$.

• La distributivité permet de développer $a(b+c)=ab+ac$ et de factoriser réciproquement $ab+ac=a(b+c)$.

Compléments

📐 Formule — Les exemples de factorisation par identité remarquable sont $x^2-9=(x-3)(x+3)$ et $x^2+6x+9=(x+3)^2$.

📐 Formule — La factorisation généralisée d'une différence de puissances est $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+b^{n-1})$.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme, factoriser fait le chemin inverse

📖 4. Logarithmes et exponentielles

★ À maîtriser

📐 Formule — Les propriétés algébriques du logarithme sont $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b$, $\ln(a^r)=r\ln(a)$, $\ln(1/a)=-\ln(a)$ et $\ln(\sqrt a)=\frac12\ln(a)$ pour des arguments positifs.

📐 Formule — Les relations réciproques sont $e^{\ln(c)}=c$ pour $c>0$ et $\ln(e^a)=a$ pour tout réel $a$.

📌 Le logarithme népérien $\ln(a)$ est défini pour tout $a\in\mathbb{R}_+^*$ et vérifie $\ln(1)=0$.

Compléments

📌 Pour $x>0$, $\ln(x)=a\Leftrightarrow x=e^a$ et, pour $b>0$, $e^x=b\Leftrightarrow x=\ln(b)$; de plus, $e^x\le b\Leftrightarrow x\le\ln(b)$.

💡 Astuce mémo

L'exponentielle et le logarithme s'annulent réciproquement

📖 5. Formules de trigonométrie

★ À maîtriser

📐 Formule — L'identité trigonométrique fondamentale est $\cos^2x+\sin^2x=1$.

📐 Formule — Les formules d'addition sont $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$ et $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$.

📐 Formule — Les formules de différence et de l'angle double sont $\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)$ et $\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$.

Compléments

• Pour les angles usuels associés aux valeurs de cosinus $1$, $\sqrt3/2$, $\sqrt2/2$, $1/2$ et $0$, les valeurs correspondantes du sinus sont respectivement $0$, $1/2$, $\sqrt2/2$, $\sqrt3/2$ et $1$.