Quel est le support d'une variable aléatoire discrète ?
L'ensemble de ses valeurs possibles.
Quel est le cardinal du support discret ?
Il est fini ou dénombrable.
Quel est le support d'une variable aléatoire continue ?
Un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\).
Quelles sont les probabilités ponctuelles d'une variable continue ?
Elles sont nulles.
Quelle condition vérifie chaque probabilité discrète ?
Elle est strictement positive au plus égale à 1.
Que vaut la somme des probabilités discrètes ?
Elle vaut 1.
Quelle condition vérifie la densité d'une variable continue ?
Elle est positive ou nulle sur \(\mathbb{R}\).
Que vaut l'intégrale de la densité sur \(\mathbb{R}\) ?
Elle vaut 1.
Quelle est la probabilité d'une valeur donnée en loi uniforme discrète ?
Elle vaut 1/n.
Quelle est l'espérance de la loi uniforme discrète sur {1,…,n} ?
Elle vaut (n+1)/2.
Quelle est la variance de la loi uniforme discrète sur {1,…,n} ?
Elle vaut (n+1)(n-1)/12.
Quelle est l'espérance d'une variable de loi de Bernoulli ?
Elle vaut p.
Quelle est la variance d'une variable de loi de Bernoulli ?
Elle vaut p(1-p).
Quelle est la probabilité P(X = k) en loi binomiale ?
Elle vaut C(n,k)p^k(1-p)^(n-k).
Quelle est l'espérance d'une loi binomiale Bin(n,p) ?
Elle vaut np.
Quelle est la variance d'une loi binomiale Bin(n,p) ?
Elle vaut np(1-p).
Qu'est-ce que la fonction de répartition de X ?
La fonction F telle que F(t)=P(X≤t).
Quelle propriété de variation a F ?
Elle est croissante.
Dans quel intervalle F prend-elle ses valeurs ?
Dans [0,1].
Quelle forme a F si X est discrète ?
Une fonction en escalier.
Que devient F si X est continue ?
Elle est continue.
Que représente la dérivée de F si X est continue ?
La densité f.
Qu'est-ce que la loi jointe d’un couple discret (X,Y) ?
La famille des probabilités P(X = x, Y = y).
Qu'impose chaque probabilité d'une loi jointe discrète ?
Elle appartient à l’intervalle [0,1].
Quelle est la somme des probabilités d'une loi jointe discrète ?
Elle vaut 1.
Comment obtient-on la loi marginale de X ?
En sommant la loi jointe sur toutes les valeurs de Y.
Quelle formule donne la loi marginale de Y ?
P(Y = y) = ∑x P(X = x, Y = y).
Quelle est la valeur de P(X = 0) dans l'exemple ?
0,3.
Quelle est la valeur de P(X = 2) dans l'exemple ?
0,6.
Quelle est la valeur de P(Y = 1) dans l'exemple ?
0,6.
Quand X et Y sont-elles indépendantes ?
Pour tout x et y, P(X=x, Y=y)=P(X=x)P(Y=y).
Qu'est-ce que la loi conditionnelle de Y sachant X=x ?
C'est la famille des probabilités P(Y=y \mid X=x).
Quelle est la formule de P(Y=y \mid X=x) ?
P(Y=y \mid X=x)=\frac{P(Y=y, X=x)}{P(X=x)}.
Que vaut la somme des probabilités conditionnelles pour un x fixé ?
Elle vaut 1.
Quelle borne vérifie P(Y=y \mid X=x) ?
Elle appartient à l'intervalle [0,1].
Que vaut P(Y=1 \mid X=0) dans l'exemple ?
Elle vaut 1/3.
Quelle propriété a Cov(X,Y) ?
Elle est symétrique.
Que vaut Cov(X,X) ?
La variance de X.
Que vaut Cov(X,Y) si X et Y sont indépendantes ?
Elle est nulle.
Quand la covariance nulle n'implique-t-elle pas l'indépendance ?
Sauf pour un vecteur gaussien.
Quelle est la formule de ρ(X,Y) ?
Cov(X,Y) divisé par √V(X)√V(Y).
Quelle borne vérifie |ρ(X,Y)| ?
Il est inférieur ou égal à 1.
Que signifie |ρ(X,Y)| = 1 ?
X et Y sont liés linéairement.
Quelle est la formule de Cov(X,Y) ?
Somme sur x et y de (x−E[X])(y−E[Y])P(X=x,Y=y).
Que vaut la moyenne empirique quand n tend vers l'infini ?
Elle converge en probabilité vers m.
Quel est l’avantage multi-plateforme cité pour R et RStudio ?
Leur caractère multi-plateforme.
Avec quelle commande installe-t-on tidyverse ?
install.packages("tidyverse").
Quelle commande calcule la moyenne ?
mean().
Quelles fonctions citées donnent des lois continues ou discrètes ?
unif(), geom(), norm(), binom(), exp(), pois(), beta(), t(), chisq(), f() et gamma().
Quelle commande fixe la graine aléatoire ?
set.seed(1234).
Quelle commande tire 5 valeurs normales de moyenne 10 et écart type 2 ?
rnorm(5,10,2).
Quelle commande donne le premier quartile d’une normale N(10,2) ?
qnorm(0.25,10,2).
Quelle commande calcule P(X ≤ 12) pour N(10,2) ?
pnorm(12,10,2).
Teste tes connaissances avec un QCM de 28 questions sur Bases et intuition des probabilités.
1. Une variable aléatoire discrète possède un support de cardinal fini ou au plus dénombrable : quelle caractéristique cela décrit-il précisément ?
2. Comment caractériser le support d’une variable aléatoire continue ?
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