QCM : Bases et intuition des probabilités — 28 questions

Explication

Pour une variable discrète, les valeurs possibles forment un support de cardinal fini ou au plus dénombrable. Le cas continu correspond au support de cardinal infini.

Explication

Une variable aléatoire continue a un support inclus dans R de cardinal infini. Cela la distingue d’une variable discrète qui a un support fini ou dénombrable.

Explication

Pour une variable continue, les probabilités ponctuelles sont nulles : pour tout x du support, P(X = x) = 0. Dire cela ne signifie pas que la valeur x est impossible.

Explication

Pour une variable discrète, on a une distribution : chaque probabilité ponctuelle est dans ]0,1] et la somme sur le support vaut 1. La condition par intégrale concerne la densité du cas continu.

Explication

Sous B(p) sur {0,1}, on a P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p. Les autres expressions ne correspondent pas à la définition.

Explication

Pour X ∼ Bin(n,p), la probabilité s’écrit P(X = k) = C(n,k)p^k(1 − p)^(n−k). Cette formule est spécifique au nombre d’essais n.

Explication

Pour la loi de Poisson P(λ), on a E[X] = λ et V[X] = λ. L’égalité entre espérance et variance est un point clé du modèle.

Explication

Pour une loi exponentielle E(λ), l’espérance vaut 1/λ. Ici, le paramètre λ correspond à un taux, pas à une moyenne.

Explication

La fonction de répartition est définie par F(t) = P(X ≤ t). Elle ne correspond pas à une densité de probabilité.

Explication

F est croissante, définie sur R et à valeurs dans [0,1]. Une densité, elle, peut dépasser 1 mais une fonction de répartition reste bornée.

Explication

Pour X discrète, la fonction de répartition est en escalier, tandis que pour X continue, F est continue et sa dérivée donne la densité f. L’inverse contredit cette distinction.

Explication

La loi jointe est la famille des probabilités P(X=x, Y=y) sur SuppX×SuppY. Elle traite simultanément X et Y, pas une variable seule.

Explication

Dans le cas discret, chaque probabilité est entre 0 et 1 et la somme sur tous les couples du support vaut 1. Ne sommer que sur une ligne ou une colonne ne donne qu’une marginale.

Explication

La marginale de X se déduit en sommant la loi jointe sur toutes les valeurs possibles de Y : P(X=x)=∑y P(X=x,Y=y). La somme doit porter sur Y pour isoler X.

Explication

La marginale de X se calcule en sommant la loi jointe sur toutes les valeurs de Y. Les autres choix correspondent soit à une somme sur la mauvaise variable, soit à une prise ponctuelle qui ne donne pas une marginale.

Explication

L’indépendance est équivalente à la relation P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y) pour tout x et tout y. Une covariance nulle n’est pas un critère direct ici, et l’additivité proposée est fausse.

Explication

La loi conditionnelle de Y sachant X=x est définie par les probabilités P(Y=y | X=x) pour les y du support de Y. Elle ne se confond pas avec la marginale P(Y=y).

Explication

La formule correcte utilise au dénominateur la probabilité P(X=x). Le dénominateur proposé comme P(Y=y) donnerait un calcul incorrect.

Explication

La covariance mesure la co-variation centrée : (x−E[X]) et (y−E[Y]) multipliés puis pondérés par la probabilité conjointe. Les autres formules correspondent à des quantités différentes (produit brut, différence d’espérances, carré des écarts).

Explication

L’indépendance entraîne Cov(X,Y)=0. En revanche, Cov(X,Y)=0 ne garantit pas en général l’indépendance (sauf cas particulier comme un vecteur gaussien).

Explication

Le coefficient ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(√V(X)√V(Y)) normalise la covariance via les écarts types. Les autres choix ne correspondent pas à cette formule de normalisation.

Explication

Le coefficient de corrélation vérifie toujours |ρ(X,Y)|≤1 et atteindre ±1 traduit une dépendance linéaire. Un ρ proche de 0 n’exclut pas une relation non linéaire, et ρ=0 n’implique pas l’indépendance en général.

Explication

Le théorème de convergence (loi des grands nombres) dit que la moyenne empirique converge en probabilité vers l’espérance commune m. Il ne s’agit pas de la convergence de la somme brute ni vers 0 par défaut.

Explication

Le résultat porte sur la moyenne empirique (1/n)∑ Xi, qui converge en probabilité vers m. Les autres propositions portent sur la mauvaise grandeur (somme brute, Xi individuels) ou contredisent la cible.

Explication

En R, sd() calcule l’écart type alors que cor() calcule une corrélation. mean() renvoie une moyenne et sort() trie les valeurs.

Explication

Fixer la graine fige l’état du générateur aléatoire, ce qui permet de reproduire les mêmes tirages. Cela ne choisit pas la loi des variables : la loi est fixée par la fonction de tirage (rnorm, runif, etc.).

Explication

rnorm(5,10,2) génère des réalisations d’une normale de moyenne 10 et d’écart type 2. pnorm, qnorm et dnorm calculent respectivement des probabilités, des quantiles et une densité plutôt que des tirages.

Explication

pnorm(12,10,2) fournit la probabilité cumulée P(X≤12). dnorm donnerait une densité en 12, tandis que qnorm calcule un quantile et mean() ne correspond pas à cette fonction.