Fiche de révision : Calculs numériques et puissances

📋 Plan du Cours

1. Sommes et différences de relatifs
2. Produits quotients et priorités
3. Fractions et opérations
4. Puissances entières
5. Notation scientifique et préfixes
6. Règles sur les puissances

📖 1. Sommes et différences de relatifs

★ À maîtriser

• Deux nombres relatifs de même signe ont une somme du même signe et dont la distance à zéro est la somme de leurs distances à zéro.

• Deux nombres relatifs de signes contraires ont une somme du signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro et dont la distance à zéro est la différence des distances à zéro.

• Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

Compléments

• Pour calculer une expression algébrique, on transforme les soustractions en additions, on regroupe les nombres positifs, on regroupe les nombres négatifs, puis on additionne les deux nombres obtenus.

💡 Astuce mémo

Même signe : on additionne les distances ; signes contraires : on les soustrait.

📖 2. Produits quotients et priorités

★ À maîtriser

📌 Dans un produit ou un quotient de deux nombres relatifs non nuls, des nombres de même signe donnent un résultat positif et des nombres de signes contraires donnent un résultat négatif.

📌 Dans un produit ou un quotient de plusieurs nombres relatifs non nuls, un nombre pair de facteurs négatifs donne un résultat positif et un nombre impair de facteurs négatifs donne un résultat négatif.

• 🔄 L'ordre des priorités est:
  1. Les calculs entre parenthèses
  2. Les exposants
  3. Les multiplications et divisions
  4. Les additions et soustractions

Compléments

📌 Lorsque des opérations ont le même niveau de priorité, elles sont effectuées de gauche à droite.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → exposants → multiplications/divisions → additions/soustractions.

📖 3. Fractions et opérations

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un dénominateur non nul, $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$ et $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$.

📐 Formule — Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$ : diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse.

• Pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents, il faut d'abord les écrire avec un dénominateur commun.

💡 Astuce mémo

Additionner impose un dénominateur commun ; diviser revient à multiplier par l’inverse.

📖 4. Puissances entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance d'exposant positif : Une puissance d'exposant entier positif non nul vérifie $a^n=a\times a\times\cdots\times a$ avec n facteurs égaux à a.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un nombre réel non nul a et un entier positif n, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📌 Pour tout nombre a non nul, $a^0=1$.

Compléments

• Pour tout entier positif n, $10^n$ est égal à 1 suivi de n zéros, tandis que $10^{-n}$ est l'inverse de $10^n$.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : multiplications répétées ; exposant négatif : inverse de la puissance.

📖 5. Notation scientifique et préfixes

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Un nombre positif est en notation scientifique lorsqu'il s'écrit $a\times10^n$ avec $1\leq a<10$ et n entier relatif.

★ À maîtriser

• Les préfixes de mesure correspondent à giga $10^9$, méga $10^6$, kilo $10^3$, hecto $10^2$, déca $10^1$, l'unité $10^0$, déci $10^{-1}$, centi $10^{-2}$, milli $10^{-3}$, micro $10^{-6}$ et nano $10^{-9}$.

Compléments

• La puissance électrique d'un radiateur de 8,2 kW vaut 8200 W, car 8,2 kW=8,2×10³ W.

💡 Astuce mémo

La virgule se déplace avec une puissance de 10, comme une échelle allant de giga à nano.

📖 6. Règles sur les puissances

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour des nombres réels non nuls a et b et des entiers relatifs n et p, $a^n\times a^p=a^{n+p}$.

📐 Formule — Pour des nombres réels non nuls a et b et des entiers relatifs n et p, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$.

📐 Formule — Pour des nombres réels non nuls a et b et un entier relatif n, $(a\times b)^n=a^n\times b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

💡 Astuce mémo

Même base : produit ADDITIONNE, quotient SOUSTRAIT, puissance MULTIPLIE.

📊 Tableaux de synthèse

Règles de signe