Fiche de révision : Calculs sur les puissances

📋 Plan du Cours

1. Signe et notation des puissances
2. Calcul et écriture des puissances
3. Puissances de dix
4. Écriture scientifique des nombres
5. Règles de calcul des puissances
6. Conditions et erreurs de calcul

📖 1. Signe et notation des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Multiplication répétée d’un même nombre, la base, par elle-même autant de fois que l’indique l’exposant.

★ À maîtriser

📌 Le signe d’une puissance dépend du signe de sa base et de la parité de son exposant : une base positive donne un résultat positif, tandis qu’une base négative donne un résultat positif si l’exposant est pair et négatif s’il est impair.

📌 Les parenthèses distinguent $(-2)^2=4$ de $-2^2=-(2\times2)=-4$, car dans le second cas le signe moins n’appartient pas à la base élevée au carré.

Compléments

• Dans $5^4$, 5 est la base et 4 est l’exposant.

💡 Astuce mémo

Parenthèses : base négative au carré positive ; sans parenthèses, −2² vaut −4.

📖 2. Calcul et écriture des puissances

★ À maîtriser

• Pour calculer une puissance, on multiplie la base par elle-même autant de fois que l’indique l’exposant.

Compléments

• Les valeurs des puissances de 2, 3, 4 et 5, pour les exposants 2 à 5, sont respectivement : 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32 ; 3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243 ; 4²=16, 4³=64, 4⁴=256, 4⁵=1 024 ; 5²=25, 5³=125, 5⁴=625, 5⁵=3 125.

• Pour écrire un nombre sous forme de puissance, on cherche une base répétée un nombre entier de fois dont la multiplication donne le nombre demandé.

• Les égalités 16=2⁴, 27=3³, 25=5², 64=4³, 100=10² et 1 000=10³ sont des exemples d’écriture de nombres sous forme de puissance.

📖 3. Puissances de dix

📝 Points essentiels

• Les puissances de dix de l’exposant 1 à 6 sont 10¹=10, 10²=100, 10³=1 000, 10⁴=10 000, 10⁵=100 000 et 10⁶=1 000 000.

📌 Pour un entier positif n, 10ⁿ est égal à 1 suivi de n zéros.

💡 Astuce mémo

Visualiser 10ⁿ comme 1 suivi de n zéros.

📖 4. Écriture scientifique des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : L’écriture scientifique d’un nombre est sa représentation sous la forme $a\times10^n$, où $1\leq a<10$ et où n est un entier relatif.

★ À maîtriser

📌 Pour un nombre supérieur ou égal à 10, l’exposant de sa notation scientifique est positif ; pour un nombre compris entre 0 et 1, il est négatif.

Compléments

• Pour écrire 0,0032 en notation scientifique, on déplace la virgule de 3 rangs vers la droite pour obtenir 3,2×10⁻³.

💡 Astuce mémo

Grand nombre : exposant positif ; nombre entre 0 et 1 : exposant négatif.

📖 5. Règles de calcul des puissances

★ À maîtriser

• Pour multiplier deux puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants : $a^m\times a^n=a^{m+n}$.

• Pour diviser deux puissances de même base, on conserve la base et on soustrait les exposants : $a^m\div a^n=a^{m-n}$.

• Pour élever une puissance à une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants : $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

Compléments

📌 Pour élever un produit à une puissance, on distribue l’exposant à chaque facteur : $(a\times b)^n=a^n\times b^n$.

📌 Pour élever un quotient à une puissance, on distribue l’exposant au numérateur et au dénominateur : $(a\div b)^n=a^n\div b^n$.

📖 6. Conditions et erreurs de calcul

📝 Points essentiels

📌 Les règles d’addition ou de soustraction des exposants pour multiplier ou diviser des puissances s’appliquent uniquement lorsque leurs bases sont identiques.

📌 L’addition de puissances ne permet pas d’additionner directement les exposants : $2^3+2^2=8+4=12$, et non $2^5$.

💡 Astuce mémo

Produit de puissances : bases identiques ; somme de puissances : pas d’addition des exposants.