Fiche de révision : Cercle trigonométrique et angles

📋 Plan du Cours

1. Cercle trigonométrique
2. Mesure des angles orientés
3. Mesure principale et propriétés
4. Images et périodicité
5. Cosinus et sinus
6. Angles associés

📖 1. Cercle trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Cercle de rayon 1 gradué par l’enroulement d’une droite dans le sens direct.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le périmètre du cercle trigonométrique vérifie $P=2\pi$.

📌 Pour tout entier k, les points associés aux réels x et x+2kπ sont confondus sur le cercle trigonométrique.

Compléments

• Le sens direct sur le cercle trigonométrique est le sens contraire des aiguilles d’une montre.

💡 Astuce mémo

Rayon 1 → périmètre 2π → un tour correspond à 2π.

📖 2. Mesure des angles orientés

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur unitaire : Vecteur de norme égale à 1.
• Mesure d’un angle orienté : La mesure de l’angle orienté (u, v) est la différence y-x entre les réels associés respectivement aux points du cercle représentant les vecteurs unitaires u et v.

★ À maîtriser

📌 Si α est une mesure de l’angle orienté (u, v), alors α+2kπ est aussi une mesure pour tout entier k, ce qui s’écrit (u, v)=α [2π].

Compléments

📌 L’angle orienté (u, v) n’existe que lorsque les vecteurs u et v sont non nuls.

💡 Astuce mémo

Sens direct : inverse des aiguilles d’une montre ; l’angle dépend de l’ordre (u, v).

📖 3. Mesure principale et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure principale : Unique mesure appartenant à l’intervalle ]-π;π].

★ À maîtriser

📌 Si u et v sont orthogonaux, alors (u, v)=π/2 [2π].

📌 Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si (u, v)=0 [2π] ou (u, v)=π [2π], ce qui se note aussi (u, v)=0 [π].

📐 Formule — Pour trois vecteurs non nuls u, v et w, la relation de Chasles s’écrit $(u,w)=(u,v)+(v,w)\ [2\pi].$

Compléments

📐 Formule — Les angles opposés vérifient $(u,v)=-(v,u).$

📐 Formule — Les angles égaux vérifient $(-u,-v)=(u,v)$ et les angles supplémentaires vérifient $(-u,v)=\pi+(u,v).$

💡 Astuce mémo

Orienter, réduire dans ]-π;π], puis appliquer Chasles.

📖 4. Images et périodicité

★ À maîtriser

📌 Deux réels ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple entier de 2π.

Compléments

• Les réels π/4 et 25π/4 ont la même image car leur différence vaut 6π, soit 3×2π.

• Pour déterminer l’image de 19π/4, on se place en π/4 puis on reporte l’arc correspondant dans le sens trigonométrique jusqu’au point associé à 3π/4.

📖 5. Cosinus et sinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus : Abscisse du point M de coordonnées (cos x, sin x), image de x sur le cercle trigonométrique.
• Sinus : Ordonnée du point M de coordonnées (cos x, sin x), image de x sur le cercle trigonométrique.

📝 Points essentiels

• Pour les angles en radians 0, π/6, π/4, π/3 et π/2, les cosinus correspondants sont respectivement 1, √3/2, √2/2, 1/2 et 0.

• Pour les angles en radians 0, π/6, π/4, π/3 et π/2, les sinus correspondants sont respectivement 0, 1/2, √2/2, √3/2 et 1.

📐 Formule — Pour tout réel x et tout entier relatif k, on a $-1\leq\cos x\leq1$, $-1\leq\sin x\leq1$, $\cos(x+2k\pi)=\cos x$, $\sin(x+2k\pi)=\sin x$ et $\cos^2x+\sin^2x=1$.

💡 Astuce mémo

Sur le cercle, cos x est l’abscisse et sin x l’ordonnée du point M.

📖 6. Angles associés

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour les angles π-x, on a $\cos(\pi-x)=-\cos x$ et $\sin(\pi-x)=\sin x$.