Fiche de révision : Signes et équations

📋 Plan du Cours

1. Signe des fonctions affines
2. Signe des produits
3. Transformations d’équations
4. Équations produit nul
5. Équations quotient
6. Inéquations quotient

📖 1. Signe des fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction croissante lorsque son coefficient directeur est positif et décroissante lorsqu’il est négatif.

📝 Points essentiels

• La fonction f définie par f(x) = 3x + 12 s’annule en x = −4 et est négative avant −4 puis positive après −4.

💡 Astuce mémo

Pente positive : négatif → positif ; pente négative : positif → négatif.

📖 2. Signe des produits

★ À maîtriser

📌 Pour déterminer le signe d’un produit, il faut connaître le signe de chacun de ses facteurs puis appliquer la règle des signes d’un produit.

• Pour E(x) = 4(x − 2)(x − 10), le tableau de signes donne E(x) positif sur ]−∞;2[, négatif sur ]2;10[, nul en 2 et 10, puis positif sur ]10;+∞[.

Compléments

• Pour F(x) = −2(3x − 3)(x + 5), le produit est négatif sur ]−∞;−5[, positif sur ]−5;1[, nul en −5 et 1, puis négatif sur ]1;+∞[.

• Pour G(x) = −3(2x − 3)(−3x + 7), les facteurs s’annulent en x = 3/2 et x = 7/3, et G est positif avant 3/2, négatif entre 3/2 et 7/3, puis positif après 7/3.

💡 Astuce mémo

Facteurs → signes → règle du produit.

📖 3. Transformations d’équations

★ À maîtriser

• Pour transformer une équation, on développe ou factorise selon l’expression, puis on regroupe tous les termes dans un même membre afin d’obtenir un membre égal à zéro.

Compléments

• L’équation x² + 2x + 3 = 4x − 5 devient x² − 2x + 8 = 0 après soustraction de 4x − 5 au membre de gauche.

• L’équation 3(x² + 1) = 2x(x + 1) devient x² − 2x + 3 = 0 après développement et regroupement des termes.

💡 Astuce mémo

Développer ou factoriser, tout ramener à zéro, puis résoudre.

📖 4. Équations produit nul

★ À maîtriser

📌 Une équation produit nul est vérifiée si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

• La factorisation 6x² − 19x + 8 = (3x − 8)(2x − 1) conduit aux solutions x = 8/3 et x = 1/2.

• Pour résoudre 6x³ − 19x² + 8x = 0, on met x en facteur, on obtient x(6x² − 19x + 8) = 0, puis on résout chaque facteur nul.

Compléments

• L’équation −x³ + 3x² + 10x = 0 se factorise en x(−x² + 3x + 10) = 0 et a pour solutions −2, 0 et 5.

💡 Astuce mémo

Factorisation → produit nul → annulation d’un facteur.

📖 5. Équations quotient

★ À maîtriser

📌 Dans une équation quotient, les dénominateurs doivent être non nuls ; leurs zéros sont les valeurs interdites.

• Pour résoudre une équation quotient, on détermine les valeurs interdites, on regroupe les fractions en une seule fraction égale à zéro, puis on annule le numérateur en conservant les restrictions.

• Pour l’équation (3x + 7)/(x − 2) = 6x/(2x + 3), les valeurs interdites sont x = 2 et x = −3/2, et la mise au même dénominateur donne (35x + 21)/((x − 2)(2x + 3)) = 0.

Compléments

• L’équation (3x + 7)/(x − 2) = 6x/(2x + 3) a pour solution x = −3/5, qui n’est pas une valeur interdite.

💡 Astuce mémo

Valeurs interdites → fraction unique → quotient nul.

📖 6. Inéquations quotient

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une inéquation quotient, on la met sous la forme quotient comparé à zéro, on repère les zéros et les valeurs interdites, on construit le tableau de signes, puis on sélectionne les intervalles correspondant à l’inégalité.

• Pour (3x + 9)/(4 − x) ≥ 0, le quotient s’annule en x = −3 et la valeur interdite est x = 4.

• La solution de (x + 2)(x − 4)/((x − 3)(x + 7)) < 0 est ]−7;−2[ ∪ ]3;4[.

💡 Astuce mémo

Zéros et interdits → tableau de signes → sélection des signes.

📊 Tableaux de synthèse

Signe d’une fonction affine