Fiche de révision : Champ magnétique et force de Lorentz

📋 Plan du Cours

1. Sources et nature du champ magnétique
2. Force magnétique et mouvement des charges
3. Forces magnétiques sur les courants
4. Moment magnétique et moteur électrique
5. Loi de Biot et Savart
6. Champs de boucles et de fils
7. Théorème d’Ampère
8. Applications du théorème d’Ampère

📖 1. Sources et nature du champ magnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Magnétostatique : Étude des champs magnétiques produits par des courants qui ne dépendent pas du temps.

★ À maîtriser

• Les sources de champ magnétique citées sont : les matériaux ferromagnétiques (fer, cobalt, nickel et acier), la Terre, le Soleil, les jets de particules chargées, les courants électriques

📌 À l’échelle macroscopique, les courants dans les conducteurs créent un champ magnétique ; à l’échelle microscopique, le mouvement orbital et le spin des électrons peuvent produire un champ résultant non nul dans les matériaux magnétiques.

• Aucun monopôle magnétique n’a été mis en évidence : un aimant possède toujours deux pôles, Nord et Sud, même lorsqu’il est coupé en deux, et ses lignes de champ sont fermées, sans début ni fin.

📌 Le pôle nord d’une boussole pointe vers le Nord géographique, mais correspond au pôle sud de l’aimant équivalent à la Terre ; les pôles géographique et magnétique sont légèrement distincts.

Compléments

• Le champ magnétique se mesure en teslas, avec $1\,\mathrm{T}=1\,\mathrm{N\,A^{-1}\,m^{-1}}$, et l’unité historique, le gauss, vérifie $1\,\mathrm{G}=10^{-4}\,\mathrm{T}$.

• Le champ magnétique terrestre à Paris vaut 47 μT, celui d’un aimant de réfrigérateur est de l’ordre du mT, et celui d’une IRM est généralement de 1 à 3 T, avec 11,7 T pour la recherche à Neurospin.

• Les aimants supraconducteurs du LHC fonctionnent à 2 K et produisent un champ de 8,3 T pour courber les protons sur les 27 km de l’accélérateur.

• Le LHC comprend 1 232 aimants dipolaires de 15 m et 35 tonnes chacun pour courber les faisceaux, ainsi que 392 aimants quadrupolaires pour les concentrer avant la collision.

• À l’extérieur d’un aimant, les lignes de champ magnétique partent du pôle Nord et convergent vers le pôle Sud, comme les lignes du champ électrique d’un dipôle électrique.

• En 1600, W. Gilbert postule que la Terre agit comme un aimant géant, dont le champ est produit par des courants de convection de fer et de nickel fondus dans le noyau externe.

💡 Astuce mémo

Les pôles Nord et Sud d’un aimant sont distincts, mais ses lignes de champ restent fermées.

📖 2. Force magnétique et mouvement des charges

🔑 Notions clés & Définitions

• Force de Lorentz magnétique : La force magnétique exercée sur une charge q de vitesse $\vec v$ dans un champ $\vec B$ est $\vec F=q\,\vec v\times\vec B$.

★ À maîtriser

• La force magnétique de Lorentz ne travaille pas et ne change donc pas l’énergie de la particule, contrairement à la force électrique.

• Dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire à la vitesse, une particule chargée suit un mouvement circulaire uniforme de vitesse constante, de rayon $R=\frac{mv}{|q|B}$ et de fréquence $f=\frac{|q|B}{2\pi m}$.

• Lorsque la vitesse n’est pas perpendiculaire à un champ magnétique uniforme, sa composante parallèle au champ reste constante et sa composante perpendiculaire produit un mouvement circulaire, donnant une trajectoire hélicoïdale.

📐 Formule - En présence de champs électrique et magnétique, la force totale sur une charge en mouvement est $\vec F=q\left(\vec E+\vec v\times\vec B\right)$.

Compléments

• La force magnétique est nulle si la charge est immobile, si sa charge est nulle ou si sa vitesse est colinéaire au champ magnétique.

• La force magnétique est perpendiculaire à la vitesse et au champ magnétique, son sens étant donné par la règle de la main droite pour le produit vectoriel.

• Dans un champ magnétique uniforme, le rayon de la trajectoire circulaire ne dépend que de la masse de la particule lorsque sa charge, sa vitesse et le champ sont fixés.

📐 Formule - Le pas de l’hélice est la distance parcourue parallèlement au champ en une période : $d=v_{\parallel}T$.

• Dans un sélecteur de vitesse, les forces électrique et magnétique se compensent lorsque la vitesse vérifie $v=\frac{E}{B}$, et la particule n’est alors pas déviée.

• Dans un spectromètre de masse, les particules suivent des trajectoires différentes selon leur rapport masse-charge m/q.

• Au LHC, le champ magnétique guide les particules sur une orbite sans leur faire gagner d’énergie, tandis que le champ électrique les accélère de 16 MeV par passage, à raison de 11 000 passages par seconde.

📖 3. Forces magnétiques sur les courants

🔑 Notions clés & Définitions

• Force de Laplace : Somme des forces de Lorentz exercées sur les porteurs de charge d’un conducteur parcouru par un courant.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Sur un élément de conducteur parcouru par un courant I dans un champ magnétique, la force élémentaire de Laplace est $d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B$.

• Une boucle de courant placée dans un champ magnétique uniforme ne subit pas de force résultante, mais elle peut subir un moment de force.

📖 4. Moment magnétique et moteur électrique

★ À maîtriser

📐 Formule - Le moment de force exercé sur une boucle de courant dans un champ magnétique est $\vec{\mathcal M}=I\,\vec S\times\vec B=\vec\mu\times\vec B$, où $\vec S$ est le vecteur surface de la boucle et $\vec\mu=I\vec S$ son moment dipolaire magnétique.

• Le moment de force tend à aligner le moment dipolaire magnétique de la boucle avec le champ magnétique, et il est nul lorsque ces vecteurs sont parallèles.

Compléments

• Le vecteur surface d’une boucle est normal à son plan et orienté selon la règle de la main droite par rapport au sens du courant ; le moment dipolaire magnétique s’exprime en A·m².

• Le moteur électrique fonctionne en inversant alternativement le sens du courant dans la boucle afin de maintenir sa rotation.

📖 5. Loi de Biot et Savart

★ À maîtriser

• En 1820, Hans Christian Oersted montre qu’un courant dévie l’aiguille d’une boussole, ce qui indique que le courant crée un champ magnétique.

• Toute charge électrique en mouvement est une source de champ magnétique.

📐 Formule - Un élément infinitésimal de courant situé en P crée en M le champ élémentaire $d\vec B(M)=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec l\times\overrightarrow{PM}}{PM^3}$.

📐 Formule - Le champ résultant en M créé par un courant dans un fil de A à B est $\vec B(M)=\int_A^B d\vec B(M)=\int_A^B\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec l\times\overrightarrow{PM}}{PM^3}$, où le point P varie de A à B. - J.B. Biot et F. Savart, 1820

Compléments

• La perméabilité magnétique du vide vaut $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\,m\,A^{-1}}$.

• Le champ élémentaire est perpendiculaire à l’élément de courant et à la direction PM, et son sens est donné par la règle de la main droite.

📌 Le champ magnétique est perpendiculaire aux plans de symétrie d’une distribution de courants et appartient à ses plans d’antisymétrie.

• La loi de Biot et Savart s’applique aux courants filiformes, aux nappes de courant de densité surfacique λ en A·m⁻¹ et aux courants volumiques de densité j en A·m⁻².

📖 6. Champs de boucles et de fils

★ À maîtriser

📐 Formule - Au centre d’une boucle circulaire de rayon R parcourue par un courant I, le champ vaut $\vec B(O)=\frac{\mu_0 I}{2R}\,\vec u_z$.

📐 Formule - Sur l’axe d’une boucle circulaire de rayon R, à une distance z de son centre, le champ vaut $\vec B(M)=\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\,\vec u_z$.

📐 Formule - À une distance r d’un fil rectiligne infini parcouru par un courant I, le champ vaut $\vec B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\vec u_\theta$.

Compléments

📐 Formule - Lorsque z est très supérieur à R, le champ sur l’axe de la boucle est approximativement $\vec B(M)\simeq\frac{\mu_0 I R^2}{2z^3}\,\vec u_z$.

• Une boucle parcourue par un courant crée un champ magnétique et peut servir à réaliser un électro-aimant.

• Autour d’un fil rectiligne parcouru par un courant, les lignes de champ sont des cercles concentriques dans des plans perpendiculaires au fil, orientés selon la règle de la main droite, et leur densité diminue avec la distance au fil.

📖 7. Théorème d’Ampère

★ À maîtriser

• Établi en 1822, le théorème d’Ampère relie la circulation du champ magnétique sur un contour fermé orienté à la somme algébrique des courants traversant la surface délimitée par ce contour.

📐 Formule - Pour un contour fermé orienté C, le théorème d’Ampère s’écrit $\oint_C\vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I_{\mathrm{enlacé}}$.

• Pour appliquer le théorème d’Ampère, on exploite les symétries et invariances pour déterminer la direction et la dépendance du champ, on choisit et oriente un contour adapté, on calcule la circulation et le courant enlacé, puis on applique le théorème pour déterminer le champ.

Compléments

📌 Un courant traversant la surface dans le sens déterminé par la règle de la main droite relativement au sens de parcours du contour est compté positivement; un courant opposé est compté négativement.

📌 Le théorème d’Ampère présenté ici est valable pour des courants continus et un champ magnétique créé dans le vide.

💡 Astuce mémo

Le contour d’Ampère transforme la circulation en somme des courants enlacés.

📖 8. Applications du théorème d’Ampère

🔑 Notions clés & Définitions

• Solénoïde : Bobine longue ou ensemble de spires jointives connectées en série et parcourues par le même courant I.

★ À maîtriser

📐 Formule - À l’extérieur d’un cylindre infini de rayon R parcouru par un courant total I, le champ à la distance r de son axe vaut $\vec B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\vec u_\theta$ pour r>R.

📐 Formule - Dans un cylindre infini de rayon R parcouru par un courant uniformément réparti, le champ à la distance r de l’axe vaut $\vec B(r)=\frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}\,\vec u_\theta$ pour r<R.

📐 Formule - À l’intérieur d’un solénoïde infini, le champ est uniforme, parallèle à l’axe de la bobine et de norme $B=\mu_0 n I$, où n est le nombre de spires par unité de longueur.

• À l’extérieur d’un solénoïde infini, le champ magnétique est nul.

Compléments

• Le champ magnétique est continu lors de la traversée de la surface du cylindre parcouru par le courant.

• Si le sens du courant dans un solénoïde est inversé, le sens du champ magnétique est également inversé.