Fiche de révision : Cinématique du point matériel

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la cinématique
2. Référentiels et trajectoires
3. Repères et dates
4. Position et équations horaires
5. Équations cartésiennes des trajectoires
6. Vitesse du point matériel
7. Accélération et repère de Frenet
8. Mouvements rectilignes usuels
9. Mouvement rectiligne sinusoïdal
10. Mouvement circulaire uniformément varié

📖 1. Fondements de la cinématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique : Partie de la physique qui étudie le mouvement d’un point matériel sans rechercher les causes de ce mouvement.

📝 Points essentiels

• Les caractéristiques étudiées sont:
  • la position
  • la vitesse
  • l’accélération

💡 Astuce mémo

Cinématique = décrire le mouvement, dynamique = expliquer ses causes

📖 2. Référentiels et trajectoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement : Changement de position dans l’espace et dans le temps.
• Référentiel : Objet, généralement solide, par rapport auquel on décrit le mouvement d’un mobile.
• Trajectoire : Ensemble des positions successivement occupées par ce mobile au cours du temps.
• Point matériel : Objet dont les dimensions sont négligeables par rapport à sa distance d’observation, comme la Lune pour un observateur terrestre.

📖 3. Repères et dates

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère temporel : Un repère temporel est défini par une origine correspondant à l’instant initial $t=0$, un appareil de mesure et une unité de temps, la seconde dans le Système international.

★ À maîtriser

📐 Formule — La durée entre les dates initiale et finale vérifie $\Delta t=t_f-t_i$.

Compléments

📐 Formule — Dans une phase retardée d’une durée $\Delta t$, l’instant correspondant est $t'=t-\Delta t$.

📐 Formule — Pour deux phases successives, la seconde équation horaire peut s’écrire $x_2(t)=\frac{1}{2}a(t-\Delta t)^2+v_0(t-\Delta t)+x_0$.

💡 Astuce mémo

Origine temporelle → date → durée

📖 4. Position et équations horaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Équations horaires : Les équations horaires donnent les coordonnées du mobile en fonction du temps, par exemple $x=f(t),\ y=g(t),\ z=h(t)$.
• Repère de Frenet : Le repère de Frenet utilise un vecteur unitaire tangent $\vec{T}$ à la trajectoire et un vecteur unitaire normal $\vec{N}$, perpendiculaire à $\vec{T}$ et orienté vers le centre de courbure.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un repère cartésien spatial, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.

Compléments

• Si $\overrightarrow{OM}=2t\vec{i}+(t^2-3)\vec{j}$, alors les équations horaires sont $x(t)=2t$ et $y(t)=t^2-3$.

📖 5. Équations cartésiennes des trajectoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne : L’équation cartésienne de la trajectoire est une relation entre les coordonnées du mobile indépendante du temps, obtenue en éliminant le paramètre temporel.

★ À maîtriser

• Une trajectoire est rectiligne lorsque son équation cartésienne est du premier degré, par exemple $y=ax$ ou $y=ax+b$.

• Une trajectoire est parabolique lorsque son équation cartésienne est de la forme $y=ax^2+bx+c$.

• Une trajectoire est circulaire lorsque son équation est $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=a^2$, où le centre est $C(x_0,y_0)$ et le rayon vaut $a$.

Compléments

• Pour $x=2t$ et $y=t^2-4$, l’élimination de $t$ donne $y=\frac{x^2}{4}-4$, donc la trajectoire est une parabole.

• Pour $x=2\sin(10t)$ et $y=2\cos(10t)$, l’identité trigonométrique donne $x^2+y^2=4$, donc le mobile décrit un cercle de centre $C(0{,}0)$ et de rayon $2$.

💡 Astuce mémo

Premier degré : droite ; second degré : parabole ; cercle : distance constante au centre

📖 6. Vitesse du point matériel

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur vitesse moyenne est $\vec{v}_m=\frac{\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1}}{t_2-t_1}$.

📐 Formule — Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position : $\vec{V}(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$.

📐 Formule — Dans la base cartésienne, le vecteur vitesse est $\vec{V}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}+\frac{dz}{dt}\vec{k}$, avec $V_x=\dot{x}, V_y=\dot{y}, V_z=\dot{z}$.

Compléments

• Pour $x=2t$ et $y=t^2-4$, le vecteur vitesse vaut $\vec{V}(t)=2\vec{i}+2t\vec{j}$ et sa norme vaut $V=2\sqrt{1+t^2}$.

💡 Astuce mémo

Position variable → dérivée temporelle → vitesse

📖 7. Accélération et repère de Frenet

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération : L’accélération caractérise la variation de la vitesse au cours du temps.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le vecteur accélération moyenne vérifie $\vec{a}_m=\frac{\vec{V}_2-\vec{V}_1}{t_2-t_1}$ et son unité SI est $\mathrm{m\,s^{-2}}$.

📐 Formule — L’accélération instantanée est $\vec{a}(t)=\frac{d\vec{V}}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$.

📐 Formule — Dans la base de Frenet, l’accélération s’écrit $\vec{a}=a_T\vec{T}+a_N\vec{N}$ avec $a_T=\frac{dv}{dt}$ et $a_N=\frac{v^2}{\rho}$.

💡 Astuce mémo

Vitesse variable → accélération ; courbure → composante normale

📖 8. Mouvements rectilignes usuels

🔑 Notions clés & Définitions

• MRU : Un mouvement rectiligne uniforme possède une trajectoire rectiligne, une vitesse constante et une accélération nulle.
• MRUV : Un mouvement rectiligne uniformément varié possède une trajectoire rectiligne et une accélération constante.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation horaire d’un MRU est $x(t)=V_xt+x_0$.

📐 Formule — Pour un MRUV, la vitesse et la position vérifient $V_x(t)=a_xt+V_{0x}$ et $x(t)=\frac{1}{2}a_xt^2+V_{0x}t+x_0$.

📌 Un mouvement rectiligne est accéléré si $\vec{a}\cdot\vec{v}>0$ et uniformément retardé si $\vec{a}\cdot\vec{v}<0$.

Compléments

📐 Formule — La relation indépendante du temps pour un MRUV est $V_x^2-V_{0x}^2=2a_x(x-x_0)$.

💡 Astuce mémo

MRU : vitesse constante ; MRUV : accélération constante

📖 9. Mouvement rectiligne sinusoïdal

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne sinusoïdal : Un mouvement rectiligne sinusoïdal possède une trajectoire droite et une abscisse sinusoïdale du temps donnée par $x(t)=X_m\cos(\omega t+\varphi)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La vitesse d’un mouvement rectiligne sinusoïdal est $v(t)=-\omega X_m\sin(\omega t+\varphi)$ et sa valeur maximale est $V_{\max}=\omega X_m$.

📐 Formule — L’accélération d’un mouvement rectiligne sinusoïdal vérifie $a(t)=-\omega^2x(t)$, soit $\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0$.

Compléments

📐 Formule — Dans un mouvement rectiligne sinusoïdal, $\Delta L=2X_m$ et $\omega=\frac{2\pi}{T}$, où $T$ est la période.

📐 Formule — Pour un mouvement circulaire de vitesse constante, le repère de Frenet donne $\vec{V}=V\vec{T}$ et $\vec{a}=\frac{V^2}{R}\vec{N}$.

💡 Astuce mémo

Position cosinus → vitesse sinus → accélération opposée à la position

📖 10. Mouvement circulaire uniformément varié

🔑 Notions clés & Définitions

• MCUV : Un mouvement circulaire uniformément varié est un mouvement dont la vitesse angulaire varie de façon uniforme et dont l’accélération angulaire est constante.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un MCUV, la vitesse angulaire vérifie $\dot{\theta}(t)=\ddot{\theta}t+\dot{\theta}_0$.

📐 Formule — L’équation horaire angulaire d’un MCUV est $\theta(t)=\frac{1}{2}\ddot{\theta}t^2+\dot{\theta}_0t+\theta_0$.

Compléments

📐 Formule — La relation indépendante du temps pour un MCUV est $\dot{\theta}^{\,2}-\dot{\theta}_0^{\,2}=2\ddot{\theta}(\theta-\theta_0)$.

💡 Astuce mémo

Accélération angulaire → vitesse angulaire → position angulaire

📊 Tableaux de synthèse

Types de mouvements rectilignes